Проект по теме Определители второго порядка.
Определители
второго порядка.
Работу выполнил: Пономарев Антон (10 а класс)
Руководитель: Игошева Светлана Витальевна Введение.
На уроках алгебры мы решаем системы линейных уравнений с несколькими неизвестными, используя для этого три известных нам метода: графический метод, метод алгебраического сложения и метод подстановки.
Я выбрал тему «Определители», потому что захотел узнать, есть ли еще какой-нибудь метод решения систем линейных уравнений? Насколько он рационален, по сравнению с известными мне методами?
Я поставил перед собой следующие цели:
- Ознакомиться со способом решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными с помощью определителей
- Рассмотреть разновидности этого метода решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными
Открытие определителей приписывают японскому математику С.Кова и Г.Лейбницу. Современная теория восходит к работам Ж.Бине, О.Коши и К.Якоби в начале 19 века.
Определители второго порядка.
Любые четыре числа, которые мы для удобства обозначим 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, можно расположить в виде квадратной таблицы
А=13 EMBED Equation.3 1415
называемой матрицей размерности (213 EMBED Equation.3 14152) или квадратной матрицей второго порядка. Можно считать, что матрица А образована двумя строками (13 EMBED Equation.3 1415) и (13 EMBED Equation.3 1415) , каждую из которых можно рассматривать как вектор (говорят вектор-строка) , или двумя столбцами
13 EMBED Equation.3 1415 , 13 EMBED Equation.3 1415
(говорят вектор-столбец).
Каждой квадратной матрице второго порядка можно поставить в соответствие число, называемое её определителем (определителем второго порядка) и обозначаемое 13 EMBED Equation.3 1415:
13 EMBED Equation.3 1415.
Первый индекс i каждого из чисел 13 EMBED Equation.3 1415 указывает на номер строки, в которой находится число, а второй индекс j - номер столбца.
Определители второго порядка вычисляются по правилу
13 EMBED Equation.3 1415.
Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными.
Общий вид
13 EMBED Equation.3 1415
(Хотя бы один из коэффициентов при неизвестных предполагается отличным от нуля.)
Определитель системы
13 EMBED Equation.3 1415
Первый случай. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то система имеет и притом единственное решение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Второй случай. Если
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,
то система неопределённа, так как тогда
13 EMBED Equation.3 1415
т. е. второе уравнение системы получается из первого умножением на k. Система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными, имеющему бесконечно много решений: достаточно задать произвольно y, как мы найдем соответствующее x, или обратно: по заданному x найдем соответствующее y.
Третий случай. Определитель 13 EMBED Equation.3 1415, а один из определителей
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
не равен нулю. В этом случае система противоречива и не имеет решения.
Примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей.
Пример №1. Найти решение системы
13 EMBED Equation.3 1415
Находим
13 EMBED Equation.3 1415
Система имеет единственное решение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
Пример №2. Найти решение системы
13 EMBED Equation.3 1415
Находим
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Второе уравнение получено из первого умножением на 2.
Система сводится к одному уравнению 13 EMBED Equation.3 1415 или 13 EMBED Equation.3 1415 и, следовательно, имеет бесконечное множество решений:
13 EMBED Equation.3 1415
По заданному значению x всегда можно найти соответствующее значение y.
Пример №3. Найти решение системы
13 EMBED Equation.3 1415
Находим
13 EMBED Equation.3 1415
Уравнения противоречивы. Система не имеет решений.
Определители третьего порядка.
Девять элементов 13 EMBED Equation.3 1415, где I – номер строки, а j – номер столбца (13 EMBED Equation.3 1415) , располагаются в квадратную таблицу
13 EMBED Equation.3 1415
которая является квадратной матрицей третьего порядка. Матрица третьего порядка состоит из трех векторов-столбцов или же из трех векторов-строк. Ей можно поставить в соответствие число, которое называется определителем третьего порядка и обозначается
13 EMBED Equation.3 1415
Определитель второго порядка, полученный из определителя третьего порядка вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент 13 EMBED Equation.3 1415, называется минором этого элемента:
13 EMBED Equation.3 1415
Каждый определитель третьего порядка можно разложить по элементам строки или столбца:
13 EMBED Equation.3 1415 и т. д.
Используя это свойство, можно вычислить определитель четвертого порядка, сведя его к четырем определителям третьего порядка, и т. д.
Определитель третьего порядка непосредственно можно вычислить по следующей схеме:
+ + +
_ _ _
т. е. к элементам определителя приписываются справа два первых столбца, и находится алгебраическая сумма произведений «диагональных» элементов:
13 EMBED Equation.3 1415
Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными.
Общий вид
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Определитель системы
13 EMBED Equation.3 1415
Первый случай. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то система имеет решение
13 EMBED Equation.3 1415
Второй случай. Если 13 EMBED Equation.3 1415 и все три определителя, стоящие в числителях, тоже равны нулю, то система неопределенна. Она сводится к двум или к одному уравнению с тремя неизвестными.
Задавая одно или два неизвестных, решаем затем либо систему двух уравнений с двумя неизвестными, либо одно уравнение с одним неизвестным.
Третий случай, 13 EMBED Equation.3 1415, один из определителей, стоящих в числителе, не равен нулю. Уравнение противоречиво.
Примеры решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей.
Пример №1. Найти решение системы
13 EMBED Equation.3 1415
Находим
13 EMBED Equation.3 1415
Система имеет единственное решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Пример №2. Найти решение системы
13 EMBED Equation.3 1415
Находим
13 EMBED Equation.3 1415
Система неопределенна и, следовательно, имеет бесчисленное множество решений. Нетрудно заметить, что последнее уравнение есть сумма первых двух.
Рассмотрим систему
13 EMBED Equation.3 1415
так как 13 EMBED Equation.3 1415, то систему можно решать относительно x и y, считая z неизвестным:
13 EMBED Equation.3 1415
Находим
13 EMBED Equation.3 1415
Общее решение
13 EMBED Equation.3 1415
Пример №3. Найти решение системы
13 EMBED Equation.3 1415
Находим
13 EMBED Equation.3 1415
Система противоречива и, следовательно, не имеет решений.
Заключение.
Метод решения систем линейных уравнений с несколькими неизвестными с помощью определителей достаточно необычен, но более рационален и точен, нежели графический метод. Но если в системе линейных уравнений присутствуют, как минимум, трехзначные числа, то вычисление значений неизвестных становится затруднительным без использования калькулятора.
Библиографический список.
Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. «Справочник по математике». Москва «Высшая школа» 1987год.
Петраков И.С. «Математические кружки в 8-10 классах». Москва «Просвещение» 1987год.
3. Интернет – сайт «www.wikipedia.org» Содержание.
Введение1
Определители второго порядка...2
Системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными3
Примеры решения систем двух линейных уравнений с двумя неизвестными с помощью определителей..5
Определители третьего порядка..7
Системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными.9
Примеры решения систем трех линейных уравнений с тремя неизвестными с помощью определителей10
Заключение..13
Библиографический список...14
Содержание..15
13PAGE 15
13PAGE 141615
13 EMBED Equation.3 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native