Учебный материал Площадь многоугольника через определить второго порядка для элективного курса по математике, 10 класс.
Тема занятия:
Площадь многоугольника через определитель второго порядка.
Цель:1. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка с применением формул тригонометрии.
2.Самостоятельная творческая работа по разработке формул площадей четырехугольника, пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника с использованием определителя II-го порядка.
3. Научить учащихся способу вычисления площади четырехугольника с координатами его вершин для использования на ЕГЭ.
I. Введение. На уроках алгебры мы познакомились с необычным способом решения систем двух линейных уравнений с двумя переменными с помощью определителя второго порядка.
Использование определителей оказалось удивительно полезным и интересным при решении и анализе систем.
А используется ли понятие определителя в геометрии?
Постараемся сегодня ответить на этот вопрос.
II. Объяснение нового материала. Вывод формулы площади треугольника через определитель II-го порядка в прямоугольной системе координат.
Создание проблемы.
Площадь треугольника
Определителем второго порядка называют значение разности произведений чисел
a
·d - b
·c, записываемых для удобства вычислений в виде таблички из четырех чисел..
13 EMBED Equation.3 1415
Выведем формулу площади треугольника в виде определителя, составленного из разности координат вершин треугольника.
Докажем, что площадь треугольника равна: 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Пусть в прямоугольной системе координат А(х1,у1), В(х2,у2), С (х3,у3) – вершины треугольника. Найти площадь треугольника АВС.
Обозначим стороны треугольника через АС=b, АВ =с и угол между ними через 13 EMBED Equation.3 1415ВАС=
·, по известной формуле тригонометрии получим: S= Ѕ bс
·sin
·.
Угол
· можно представить в виде разности:
· =
·-
·, где
· и
· – углы, образованные соответственно сторонами АВ и АС с осью Ох.
Поэтому S =Ѕ bс
·sin (
·-
·) =Ѕbс
·(sin
·
· cos
· - cos
·
·sin
·).
Из рисунка имеем
c
· cos
·= АВ2=А1В1= х2 – х1,
с
· sin
·=В2В = у2-у1,
b
· cos
·=АС2=А1С1=х3-х1,
b
· sin
·=С2С=у3-у1.
Следовательно, S=Ѕ((х2х1)(у3-у1)-(х3-х1)(у2-у1).
Заметим, что эта формула при ином расположении вершин может дать площадь треугольника S со знаком «минус».
Поэтому формулу площади треугольника запишем в виде S =±Ѕ((х2х1)(у3-у1)-(х3-х1)(у2-у1), где знак выбирается так, чтобы для площади получалось положительное число.
Используя понятие определителя второго порядка 13 EMBED Equation.3 1415= аd-bс, формулу можно записать в удобной для запоминания форме:
S треуг. = ±13 EMBED Equation.3 1415.
Постановка проблемы: определить площадь четырехугольника , пятиугольника, квадрата, правильного шестиугольника, n-угольника через координаты их вершин.
Рекомендации: Определение площади многоугольника сводится к определению площадей треугольников. Для этого достаточно разбить многоугольник на треугольники, площади которых вычисляют по найденной формуле. Правильный шестиугольник разбивается на равные четырехугольники
II. Учащиеся. Самостоятельное решение проблемы (работа учащихся в группах дифференцировано: продвинутый уровень-площадь четырехугольника и пятиугольника, базовый уровень-площадь четырехугольника, шестиугольника, квадрата).
1.Площадь четырехугольника
Выведем формулу для вычисления площади четырехугольника на примере трапеции.
Пусть трапеция задана координатами своих вершин в прямоугольной системе координат.
Диагональ разделит трапецию на два треугольника, площади которых найдем через определитель.
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
= 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Запишем выражение в удобной для запоминания форме, в виде определителя
13 EMBED Equation.3 1415
Вывод: Площадь четырехугольника равна половине определителя, элементами столбцов и строк которого является разность координат вершин четырехугольника, взятых по диагонали.
Нумерацию координат можно рассмотреть в любом порядке.
Пример. Вычислить площадь четырехугольника с координатами его вершин
(1;1), (3;4), (6;3), ((3;1).
По формуле через определитель 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Сделаем проверку, вычислив площадь трапеции как сумму площадей, через высоты треугольников.
13 EMBED Equation.3 1415
Получили равные ответы.
2. Площадь правильного шестиугольника.
Площадь правильного шестиугольника найдем как сумму площадей двух равных четырехугольников.
13 EMBED Equation.3 1415
Площадь ромба, квадрата или параллелограмма находятся аналогично, разбиением фигуры на равные треугольники.
3. Площадь квадрата.
.Если центр многоугольника расположен в начале координат, то формула площади многоугольника записывается с помощью координат одной или двух вершин:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Площадь квадрата равна учетверенному произведению координат одной вершины треугольника.
Площадь правильного восьмиугольника выражается через определитель с помощью координат двух вершин многоугольника
4. Площадь пятиугольника. Выведем формулу для вычисления площади пятиугольника:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
умножая двучлены, получим
13 EMBED Equation.3 1415
Раскроем скобки, приведем подобные слагаемые, которые при этом взаимно- уничтожаются, и получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Сгруппируем произведения относительно равных абсцисс или равных ординат, получим:
13 EMBED Equation.3 1415
Поменяем знаки, получается в итоге:
13 EMBED Equation.3 1415.
Площадь пятиугольника равна сумме абсцисс вершин треугольника, умноженных на разность ординат соседних вершин.
5.Аналогично запишем формулу для n -угольника
Формула площади n- угольника через координаты своих вершин
имеет вид:
±Ѕ ( ( х1
·(у2-уn +
х2
·(у3-у1) +
х3
·(у...- у2) +
..+
хn-1
·(уn-) +
хn
·(у1-уn-1)).
Подведение итогов: Выступления учащихся.
+
Литература:
1. Эрдниев О.П. Учебник для средней школы.
2.Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики.
у
(х2,у2) (х3,у3)
S2
S1
(х1,у1) (х4,у4)
13 EMBED Equation.3 1415
у
(х1у1) (х2у2)
(х4у4) (х3у3)
х
у (х2,у2) (х3,у3)
(х1,у1) (х4,у4)
х
у
(х1,у1) (х2,у2)
(0,0) х
13 EMBED Equation.3 1415
у (х3,у3)
(х2,у2)
S1 S2 (х4,у4)
S3
(х1,у1)
(х5,у5)
х
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native