Збірник дидактичних матеріалів У світі логарифмів .Алгебра 11 клас

Міністерство освіти і науки України
Відділ освіти Юр’ївської районної
державної адміністрації
Чаплинська середня загальноосвітня
школа I-III ступенів
У світі логарифмів
Балясна Антоніна Олексіївна
вчитель математики


2015 рік
ЗМІСТ
Передмова………………………………………………...............................4
Розділ1. Логарифм числа
1. Теоретичні відомості , приклади…………………..............................5
2. Тренувальні вправи…………………….………………......................7
3. Самостійні роботи………………………….……………....................8
Розділ2. Логарифмічна функція
1. Теоретичні відомості, приклади……………………..........................13
2. Тренувальні вправи……………………….………………..................14
3. Самостійні роботи………………………………………….................15
Розділ3. Логарифмічні рівняння
1. Теоретичні відомості,приклади……………………............................18
2. Тренувальні вправи………………………………………....................20
3. Самостійні роботи……………………………..…………....................21
Розділ4. Логарифмічні нерівності числа
1. Теоретичні відомості, приклади…………………………...................23
2. Тренувальні вправи………………………………………....................25
3. Самостійні роботи…………………………….………….....................26
Тематичне оцінювання з теми .Контрольна робота …………………..28
Література …………………………………………………………………. 32
Передмова
У збірнику міститься короткі теоретичні відомості про логарифмічну функцію ,властивості логарифмів,логарифмічні рівняння і нерівності та приклади їх розв’язування. А також різнорівневі завдання для самостійних і контрольних робіт та тренувальні вправи з теми. Самостійні роботи дані з кожної теми, а контрольні роботи з 2-3 тем у відповідності з рекомендаціями Міністерства освіти України.
Виконання самостійних робіт передбачено у три етапи на 3 уроках (по 15-25 хв). Спочатку на першому із цих уроків учні виконують завдання середнього рівня. На другому етапі учні, які досягли середнього рівня (поточних балів 5 або 6), виконують системи завдань достатнього рівня, а інші — повторно виконують завдання середнього рівня іншого варіанту. На третьому етапі системи завдань високого рівня пропонуються учням, що досягли достатнього рівня. Учням, що не досягли середнього чи достатнього рівнів, рекомендуються для виконання системи завдань відповідного рівня.
Інший спосіб використання самостійних робіт – виконання учнями завдань доступного рівня на завершальному етапі вивчення теми.
Рекомендовано для вчителів математики 11 класу.

РОЗДІЛ1. ЛОГАРИФМ ЧИСЛА
Теоретична частина
Означення: Логарифмом додатного числа b з основою а , де а>0 і а1, називають показник степеня, до якого потрібно піднести число а, щоб отримати число b.(loga b читається: логарифм числа b за основою a.)
Властивості логарифмівОсновна логарифмічна тотожність : alogab =b ; Також з означення логарифма випливає , що при а>0 і а1
loga1=0; logaa =1
Логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів :
loga xy= loga x + loga y
Логарифм частки дорівнює різниці логарифмів:
loga xy = loga x - loga y.
loga xb = b loga x
logak bk = loga b
loga b = logcb logca ;
logab = 1logba ;



Важливі випадки логарифмів
Десятковий логарифм - це логарифм за основою 10. Позначається lg x.
За визначенням log10 x = lg x. lg 10 = 1, lg 10000 = 4, lg 0.001 = -3
Натуральний логарифм - це логарифм за основою e (де Неперове число e = 2,71828...). Позначається ln x. За визначенням loge x = ln x.
Приклад1.. Розв’яжіть рівняння: 1) 3х=7 ; 2) 0,42х-5=9.
Розв’язання:1) За означенням логарифма випливає , що х= log37.
2) Маємо : 2х – 5= log0,49 ; 2х= log0,49 +5 ; х = log0,49+52.
Відповідь: 1) log37; 2) log0,49+52 .
Приклад 2. Обчисліть значення виразу : 1) 102+2 lg 7; 2)9log3 4 – 0,5
Розв’язання:1) Застосовуючи властивості степенів і основну логарифмічну тотожність, отримуємо:
102 + 2 lg 7 = 102 ∙ 102 lg 7 = 100 ∙ (10lg 7)2 = 100 ∙ 72 = 4900
2) Маємо :
9log3 4 – 0,5 = (32) log3 4 – 0,5 = (32) log3 4 : (32)0,5 = (3 log3 4)2 : 3 = 42 : 3 = 163Приклад 3.. При якому значенні х виконується рівність: 1) log12x =-5 ; 2) logx16 =4 ?
Розв’язання:1) Вираз log12х визначено при х>0. З означення логарифма випливає , що (12)-5 =х , тобто х= 32. 2) Вираз logx16 визначено при х>0 і х≠1. Згідно з означенням логарифма маємо : х4 = 16 .Звідси х=2.
Приклад 4. Обчисліть значення виразу:
log220 + log212 – log215 ; 2) 12log369 + 13log368.
Розв’язання:1) Використовуючи теореми про логарифм добутку і логарифм частки , отримуємо:
log220+ log212 – log215= log2 (20 ∙12) - log215= log220∙1215 =log16=4.
2)Маємо:
12log369 + 13log368= 12log3632 + 13log3623 =log363 + log362 =log366= 12.
Приклад 5. Відомо , що lg2=a , log27=b .Знайдіть lg56.
Розв’язання: Маємо:
lg56 = lg(8 ∙7) = lg8 + lg7 =lg23 + log27log210 = 3lg2 + log27 ∙lg2= 3a +ba.
Тренувальні вправи
Обчислити:
І. 1) log842 ; 2) log5255 ; 3) 42-log2 3 ; 4) 251-log5 3.
II. 1) log4 log9 81; 2) log9 log4 64; 3)4log2 5 + 2 log0,253; 4)3log916 – log278.
III. 1) log4 log11 121 + log16 2 ; 2) log8 log14 196 – log7 7 ; 3) 2log25+2log0,55 ;
4) 2log77+2log1 3 7;
Розв’язати рівняння:
I. 1) log4 x = - 12 ; 2) log8 x = - 13 ; 3) logx 4 = 13 ;
4) logx 9 = 23 ; 5) x2 + 2log2x = 12; 6) x2 + 3log3x = 20.
II. 1)log4sinx =- 12 ; 2)log8cosx = - 13 ; 3)log2x-1(4,5x) =2;
4)log3x-1(3x+1) =2; 5)2x2 + 5log5x =25log510 ;6) 3x2 + 0,5log0,5x =36log630.
III. 1) log3(tgx +4) = 2 ; 2) log2(tgx +1) = 2; 3)logcosxsinx = 1;
4) logsinx(3cosx) = 1; 5)cos2x – 0,25∙3log3cosx =0,125.
Диктант
Логарифмом числа b за основою а називається…
Вказати неправильну рівність:
а). log 2 16 = 4;а). log 3 27 = 3
б). log 3 = 4;б). log 0,5 0,5 = 1;
в). log 0.1 = 0;в). log 2 0.125 = – 3;
г). lg 1000 = 3;г). lg 1000 = 5;
Подати в показниковій формі:
log 2 64 = 6;log5 25 = 2;
Знайти х:
а). log 5 х = 2;а). log 3 х = 2;
б). log 3 27 = х;б). log 3 81 = х.
Обчислити: 81 log 9 836 log 6 7
Чи має зміст вираз:
а). log 4 (– 64); a). log 2 (– 4);
б). log 6 (– 6)2;б). log 8 (– 16)2.
Самостійні роботи
Варіант 1.
Середній рівень
1.Обчислити:
1) log2 64; ; ;
2) log6 2 + log6 3; ; ;3) .
2.Прологарифмувати за основою 5 вираз .
3.Знайти lg x = lg 12 + 5lg a + lg b – 4lg c.
Достатній рівень
1.1) Обчислити: ; ; .2) Прологарифмувати за основою 3 вираз .
3) Знайти x, якщо .
2.log2 3 = a; log2 5 = b. Знайти: log2 15; log2 6; log2 75; log3 5.
3.Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що .
Високий рівень
1.1) Обчислити: ; .2) Прологарифмувати за основою 10 вираз .
3) Знайти x, якщо .
2.Обчислити log4 5  log5 6  log6 7  log7 8.
3.Довести тотожність .
Варіант 2.
Середній рівень
1.Обчислити:
1) log3 81; ; ;
2) log21 3 + log21 7; ; ;
3) .
2.Прологарифмувати за основою 7 вираз .
3.Знайти lg x = lg 2 + 3lg a + 2lg b – lg c.
Достатній рівень
1.1) Обчислити: ; ; .2) Прологарифмувати за основою 5 вираз .
3) Знайти x, якщо .
2.log7 2 = a; log7 3 = b. Знайти: log7 6; log7 ; log7 18; log3 2.
3.Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що .
Високий рівень
1.1) Обчислити: ; .2) Прологарифмувати за основою вираз .
3) Знайти x, якщо .
2.Обчислити log3 49    log25 27.
3.Довести тотожність .
Варіант 3.
Середній рівень
1.Обчислити:
1) log5 125; ; ;
2) log12 2 + log12 72; ; ;3) .
2.Прологарифмувати за основою 3 вираз .
3.Знайти lg x = lg 2 + 3lg a + lg с – lg b.
Достатній рівень
1.1) Обчислити: ; ; .2) Прологарифмувати за основою 2 вираз .
3) Знайти x, якщо .
2.log3 2 = a; log3 7 = b. Знайти: log3 14; log3 6; log3 28; log2 7.
3.Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що .
Високий рівень
1.1) Обчислити: ; .2) Прологарифмувати за основою 3 вираз .
3) Знайти x, якщо .
2.Обчислити log8 9, якщо log12 18 = a.
3.Довести тотожність .
Варіант 4.
Середній рівень
1.Обчислити:
1) ; ; ;
2) log3 6 + log3 ; ; ;3) .
2.Прологарифмувати за основою 2 вираз .
3.Знайти lg x = lg 5 + 2lg a  lg b + lg c.
Достатній рівень
1.1) Обчислити: ; ; .2) Прологарифмувати за основою 10 вираз .
3) Знайти x, якщо .
2.log5 2 = a; log5 3 = b. Знайти: log5 6; log5 ; log5 12; log2 3.
3.Використовуючи формулу переходу до нової основи логарифма, довести, що .
Високий рівень
1.1) Обчислити: ; .2) Прологарифмувати за основою 2 вираз .
3) Знайти x, якщо .
2.Обчислити log6 16, якщо log12 2 = a.
3.Довести тотожність .
РОЗДІЛ2. ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЯ
Теоретичні відомості
35585403175
Означення. Логарифмічною називається функція у = loga x, де а>0, а1,
обернена до показникової у = ах
Властивості:
1). Д (log) = (0; + );
2). Е (log)= (– ; + );
3). Якщо а >1, то функція у = log aх – зростає, а якщо 0 < а < 1 – спадає;
36252152527304). Графік проходить через точку (1;0);
5).Неперервна.
6).Функція диферинційовна.
7).Пряма х=0 – вертикальна асимптота, коли х прямує до нуля справа.
Приклад 1. Порівняйте з одиницею основу а логарифма , коли відомо , що loga5< loga4.
Розв’язання : Оскільки 5>4 , а loga5< loga4, то доходимо висновку , що а<1.
Приклад 2 .Знайдіть область визначення функції : 1)f(x) = log0,3(x2 + 3x) ; 2) f(x) = logх-4(16-x).
Розв’язання :1)Оскільки областю визначення логарифмічної функції є множина додатних чисел , то областю визначення даної функції є множина розв’язків нерівності x2 + 3x>0. Маємо: х(х+3)>0 ; x<-3 або x> 0.
Отже ,D(f)= (-∞ ; -3)∪(0; +∞ ).
2)Область визначення даної функції знайдемо , розв’язавши систему нерівностей
16-х>0,x-4>0,x-4 ≠1.Тоді x<16,x>4x≠5; 4<x<55<x<16. Звідси D(f)= (4 ; 5)∪(5; 16 ).
Приклад 3.Порівняйте :
1)log26 і log27 ; 2) log0,26 і log0,27 ; 3) log67 і log76 ; 4) logπ44 і0 ; 5) log1638 і -2.
Розв’язання: 1) Оскільки логарифмічна функція у=log2х є зростаючою , то
log26 < log27.
2)Оскільки логарифмічна функція у=log0,2х є спадною,то log0,26> log0,273) Маємо: log67 >log66, тобто log67>1. Разом з тим log77 >log76,тобто 1>log76 .Отже , log67>1>log76.
4) Ураховуючи , що 0< π4 <1, маємо : logπ44 < logπ41. Отже , logπ44 <0.5) Маємо : -2 =log16(16)-2 = log1636. Оскільки log1638 <log1636 , то log1638<-2.
Тренувальні вправи
1.Знайти область визначення функції:
І. 1) у= 2х-5 +log3(3-x); 2) y=43x+6 +log2(1-x); 3) y= log4x-2x+3 ;
4) y= log23-xx+1 ; 5)y=log3sinx ; 6) y=log2cosx ; 7) y=lg (tgx-1) ; 8) y=lg (-tgx+1).
II.1) y= 9-x2∙lgx2 ; 2) y= 16-x2∙ log2(x2 -5x +6) ; 3) y=lg⁡(x+2) ;
4) y= log0,5(x2-2x) + 9-x2 ; 5) y= log0,3(2sinx-1).
III. 1) y=x-|x|∙ log3(x-2) ; 2) y= log0,5(lg2x-lgx) ; 3)y=lgsinx +-x2 +7x.
2.Побудуйте графік функції :
І. 1) у= log0,5x +1 ; 2) y=2log2 x ; 3) y= log3x -1 .
II. 1) y= log0,5(x+1) ; 2)y=3log3(1-x2) ; 3) y= log2|x| ; 4)y = |log2x|.
III. 1) y= |log2x-1| ; 2) y= log 0,5|x-1| ; 3) y= lgsinx ; 4) y= log2log2x.
Самостійні роботи
Варіант 1.
Середній рівень
1.Побудувати графік функції y = log3 x і записати її властивості.
2.Порівняти числа:а) log3 5,4 і log3 6,2;б) і .
3.Знайти область визначення функції y = log0,4 (3x – 1).
Достатній рівень
1.1) Побудувати графік функції y = log2 (x + 1) і записати її властивості.
2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:
а) loga 7 < loga 5;б) loga 7,1 > loga 5,9.
2.Знайти область визначення функції y = log2 sin x.
3.Розв’язати графічно рівняння log0,5 x = 2x – 5.
Високий рівень
1.1) Побудувати графік функції .
2) Порівняти числа: а) log0,4 7 і 0;б) log9 1,3 і 0.
2.Знайти область визначення функції .
3.Побудувати графік функції і записати її властивості.
Варіант 2.
Середній рівень
1.Побудувати графік функції і записати її властивості.
2.Порівняти числа:а) log11 0,7 і log11 0,6;б) і .
3.Знайти область визначення функції y = log7 (5x + 3).
Достатній рівень
1.1) Побудувати графік функції y = log0,5 (x + 1) і записати її властивості.
2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:
а) loga 1,2 < loga 2,2;б) loga 0,3 > loga 0,5.
2.Знайти область визначення функції y = log0,4 cos x.
3.Розв’язати графічно рівняння log2 x = x + 1.
Високий рівень
1.1) Побудувати графік функції .
2) Порівняти числа: а) 0 і log0,4 0,5;б) 0 і log7 1,2.
2.Знайти область визначення функції .
3.Побудувати графік функції і записати її властивості.
Варіант 3.
Середній рівень
1.Побудувати графік функції і записати її властивості.
2.Порівняти числа:а) log7,1 3,7 і log7,1 3,9;б) і .
3.Знайти область визначення функції .
Достатній рівень
1.1) Побудувати графік функції y = log2 (x  2) і записати її властивості.
2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:
а) loga  < loga 4;б) loga  > loga 3.
2.Знайти область визначення функції .
3.Розв’язати графічно рівняння log2 x = x  4.
Високий рівень
1.1) Побудувати графік функції .
2) Порівняти числа: а) log 0,8 і 0;б) і 0.
2.Знайти область визначення функції .
3.Побудувати графік функції і записати її властивості.
Варіант 4.
Середній рівень
1.Побудувати графік функції і записати її властивості.
2.Порівняти числа:а) log1,1 0,3 і log1,1 0,5;б) і .
3.Знайти область визначення функції .
Достатній рівень
1.1) Побудувати графік функції y = log3 (x + 1) і записати її властивості.
2) Порівняти основу a > 0 з одиницею, якщо:
а) loga 0,6 < loga 0,5;б) loga 5,9 > loga 5,7.
2.Знайти область визначення функції .
3.Розв’язати графічно рівняння .
Високий рівень
1.1) Побудувати графік функції .
2) Порівняти числа: а) log0,7 5 і 0;б) і 0.
2.Знайти область визначення функції .
3.Побудувати графік функції і записати її властивості.
РОЗДІЛ 3.ЛОГАРИФМІЧНІ РІВНЯННЯ
Теоретичні відомості
Означення :Рівняння виду logax=b , де a>0 , a ≠1 , називають найпростішим логарифмічним рівнянням.
При розв’язанні багатьох логарифмічних рівнянь застосовують таку теорему:
Теорема. Нехай a>0 , a ≠1.Якщо logax1 = logax2 , то x1 = x2 , і навпаки , якщо x1>0 , x2>0 і x1 = x2 , то logax1 = logax2.
Наслідок. Нехай a>0 , a ≠1. Рівняння виду logaf(x) = logag(x) рівносильне будь-якій із систем fx=g(x)fx>0 або fx=g(x)gx>0.
Вибір відповідної системи , як правило, пов'язаний з тим , яку з нерівностей, fx>0 чи gx>0 , розв’язати легше .
Приклад1. Розв'яжіть рівняння log22 х – 3log2 x = 4.
Розв'язання: Позначимо log2 x  через у. Дане рівняння набере вигляду:
У2 – 3y = 4; у2 – 3у – 4 = 0; у1 = 4; у2 = -1.
Звідси log2 x = 4 або log2 x =-1;
x = 24;  x = 2-1; 
x = 16, x = 12.
Відповідь:16 ;12 .
Приклад2. Розв’яжіть рівняння lg(x2 -4x+2) =lg(2x-3)
Розв'язання:Дане рівняння рівносильне системі x2 -4x+2=2x-32x-3>0 . Маємо: х2 -6х+5=0х>32; х=1 ,х=5. Оскільки х>32 , то коренем рівняння буде х=5.
Відповідь: 5.
Приклад3. Розв’яжіть рівняння log3(2x-1) +log3(x-2) =3.
Розв'язання: Дане рівняння рівносильне системіlog32x-1x-2=3,2x-1>0,x-2>0. Звідси 2x-1x-2=32x>2; 2x2-5x-25=0x>2; x=5x=-52x>2. Отримуємо х=5.
Відповідь: 5.
Приклад4. Розв'яжіть рівняння lg x = 1 – х графічно.
Розв'язання:В одній і тій самій системі координат будуємо графіки функції у = lg x і у = 1 – х (рис. 165). Абсциса точки перетину побудованих графіків дорівнює 1. Отже, х = 1 — корінь даного рівняння.
Відповідь: 1.

Тренувальні вправи
Розв’яжіть рівняння :
1)log3(x2-1)=1 ; 2) log2(x-2) =1 ; 3) lg(3x-17) –lg(x+1)=0 ; 4)lg(x2-2x)=lg(2x+12); 5) log4(x-1-2)=1 ; 6) log0,5(x2-x)= -1 ;
7) log2(x+1)-log2(x-1)=1 ; 8)2lg(x-1) = lg(1,5x+1) ; 9)log22x+ log2x2=-1;
10)xlgx=10 ; 11)x+2 ∙log3x =0 ; 12)lg(10x2) ∙lgx=1.
II. 1)log243x-1=25log52 ; 2)log0,52(1-x2)=4 ; 3)log4(sin2x+1,5)=0,5 ;
4)log2(x2+4x+1)+1 =log2(6x+2) ; 5)log3(3-x)+log3(4-x) = 1 +2log32.
III. 1)log5(6-5x) = 1-x ; 2) |x-3| ∙lgx = 2(x-3) ; 3) xlogx (x-3)= 4 ;
4)log0,5(log22x-3log2x+4) =-1;5)3log3xx=2log9xx2;6)x2 ∙logx27 ∙log9x=x+4
Самостійні роботи
Варіант 1.
Середній рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) 2x = 3;2) log4 (5x + 1) = 2;3) log2 (2x + 1) = log2 (x – 2).
2.log2 x + log2 (x + 6) = 4.
3..
Достатній рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) lg (3x – 1) – lg (x + 5) = lg 5;2) 3lg2 (x  1) – 10lg (x – 1) + 3 = 0.
2.log7 log3 log2 x = 0.
3.Розв’язати систему рівнянь
Високий рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) log2 x + logx 2 = ;2) .2. .
3.Розв’язати систему рівнянь
№ 94.Варіант 2.
Середній рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) 7x = 2;2) log3 (5x  1) = 2;3) log2 (x  7) = log2 (11  x).
2.log3 (x + 1) + log3 (x + 3) = 1.
3..
Достатній рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) lg (x – 1) – lg (2x  11) = lg 2;2) .
2.log2 log3 log4 x = 0.
3.Розв’язати систему рівнянь
Високий рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) 2logx 27  3log27 x = 1;2) .
2.0,1xlg x – 2 = 100.
3.Розв’язати систему рівнянь
Варіант 3.
Середній рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) 5x = 4;2) log2 (3x  1) = 3;3) log5 (x + 1) = log5 (7  x).
2.log5 (x + 1) + log5 (2x + 3) = 0.3. .
Достатній рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) lg (x + 6) – lg (2x  3) = 2  lg 25;2) .
2.log5 log3 log2 log2 x = 0.
3.Розв’язати систему рівнянь
Високий рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) log3 x  ;2) log2 x + log4 x + log16 x = 7.
2..
3.Розв’язати систему рівнянь
Варіант 4.
Середній рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) 9x = 5;2) log4 (5x + 1) = 2;3) log0,3 (13  x) = log0,3 (x + 3).
2.lg (x  3) + lg (x + 6) = lg 2 + lg 5.3. .
Достатній рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) log2 (3x  1) + log2 (x  1) = 1 + log2 (x + 5);2) .
2.lg lg lg x = 0.
3.Розв’язати систему рівнянь
Високий рівень
Розв’язати рівняння:
1.1) logx 10 +lg x = 2;2) log3 x log9 x log27 x  log81 x = .
2..
3.Розв’язати систему рівнянь

РОЗДІЛ4.ЛОГАРИФМІЧНІ НЕРІВНОСТІ
Теоретичні відомості
Логарифмічними нерівностями називаються нерівності, в яких змінна знаходиться під знаком логарифма.
Основний метод розв’язування логарифмічних нерівностей – зведення їх до найпростіших нерівностей, обидві частини яких – логарифми з однаковою основою
При розв’язуванні логарифмічних нерівностей використовують такі властивості монотонності логарифмічної функції:
З двох логарифмів деяких чисел з однаковими основами, більшими від одиниці, більший той, число якого більше.
З двох логарифмів деяких чисел з однаковими основами, більшими від 0, але меншими від 1, більший той, число якого менше.
Якщо ліва частина нерівності є лінійною відносно деякого логарифм, а в правій є число, то обидві частини нерівності зводяться до логарифмів з однією основою.
Нелінійні нерівності відносно логарифму розв’язують введенням нової змінної.
 Основні методи розв’язання логарифмічних нерівностей:
1) перетворення із застосуванням логарифмічних тотожностей з урахуванням ОДЗ;
2) Заміна нерівності рівносильною системою;
3) заміна змінної.
Обов’язковим є знаходження області допустимих значень.
Системи, що містять логарифмічні рівняння, називаються системами логарифмічних рівнянь. При їх розв’язанні застосовують ті ж методи, що й при розв’язанні алгебраїчних рівнянь:
Метод підстановки;
Метод додавання;
Метод множення тощо. При цьому враховуються особливості розв’язання логарифмічних рівнянь.
При розв’язуванні багатьох логарифмічних нерівностей застосовують таку теорему.
Теорема. При а>1 нерівність logax1 > logax2 виконується тоді і тільки тоді , коли x1> x2 > 0 ; при 0<а<1 нерівність logax1 > logax2 виконується тоді ітьльки тоді , коли 0<x1< x2.
Наслідок. Якщо а>1 , то нерівність loga fx > loga gx рівносильна системі fx>g(x)gx>0. Якщо 0<а<1 , то неірвність loga fx > loga gx рівносильна системі fx<g(x)fx>0.Приклад1. Розв’яжіть нерівність log2x>3.
Розв'язання: Оскільки 3= log223то можна записати: log2x > log223. Ця нерівність рівносильна такій : х>23 .Звідси х>8.
Відповідь: (8; +∞).
Приклад2. Розв’яжіть нерівність log0,3x ≥ 1.
Розв'язання:Маємо: log0,3x ≥ log0,30,3. Ця нерівність рівносильна системі х≤0,3;х>0.
Відповідь: (0; 0,3].
Приклад3. Розв’яжіть нерівність log12(3x-4) < log12x-2.Розв'язання: Дана нерівність рівносильна системі 3х-4>x-2,x-2>0. Звідси x>1,x>2; x>2.Відповідь: (2; +∞).
Тренувальні вправи
Розв’яжіть нерівність :І. 1)log2(2-5x) >1 ; 2) log0,2 (4-2x)> -1 ; 3) log0,3x-31-x <0 ;
4) log0,4 (2x-5) > log0,4(x+1); 5)log2(x-1) + log2x ≤ 1 ; 6) 2x+3log4x >0 ;
7)log2sinx+13x2 +2 >0 .II. 1)4log4(4-9x)<16 ; 2) lg2+6 < 5lgx ; 3)log2x2 +3x+3 >1 ;4) log2x- 2logx2+1 ≥0;
5)log3x +log3(x-1)-1 ≤ log32 ; 6) 2x-3log2x >0 ; 7) 4-x < log2 (6+ 2x) .
III. 1)lg2(-x)+lgx2 -3 <0; 2) log2x + |log2x| -4 >0;3)log0,5(x2-x-20)-log0,5(x+4)>0
4)x+3log4x2 ≥ 0 ; 5) log2|1+ 1x | >1 ; 6) log0,5 log42x-1x+1 <1 ;7) 4log22xx2-2 ≥ 2.
Самостійні роботи
Варіант 1.
Середній рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) log5 x > 2;2) .
2..3. .
Достатній рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) log2 (x2 – 13x + 30) > 3;2) .
2..3. logx (x + 2) > 0.
Високий рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) log0,4 (x2 + 2x – 3) > log0,4 (x – 1);2) log3 – x (x – 2,5) > 0.
2.xlg x < 100x.3. .
Варіант 2.
Середній рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) log6 x > 2;2) .
2..3. .
Достатній рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) ;2) .
2..
3.logx (x + 3) > 0.
Високий рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) log0,7 (x2  2x – 3)  log0,8 (9  x);2) log2x + 3 x2 < 1.
2.xlg x < 1000x2.
3..
Варіант 3.
Середній рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) log5 x > 2;2) .
2..3. .
Достатній рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) ;2) .
2..3. logx (3x  1) > 1.
Високий рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) log0,2 (x + 1) + log0,3 (5  x)  log0,2 (x + 7);2) log0,5 log8  < 0.
2..
3..
Варіант 4.
Середній рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) log2 x > 3;2) .
2..3. .
Достатній рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) ;2) .
2..3. log4 (5x  1) > 1.
Високий рівень
Розв’язати нерівність:
1.1) log0,8 (x + 2) + log0,8 (6  x)  log0,8 (x + 8);2) .
2..3. .
Тематичне оцінювання: Контрольна робота
Варіант 1.
Середній рівень
1.1) Побудувати графік функції y = log2 x і записати її властивості.
2) Розв’язати рівняння log2 (3x + 1) = 4.
2.Розв’язати рівняння log2 x + log2 (x + 2) = 3.
3.Розв’язати нерівність .
Достатній рівень
1.1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.
2) Прологарифмувати за основою 4 вираз .
3) Розв’язати нерівність lg (3x + 4) < lg 2x.
2.Розв’язати рівняння log5 log3 log2 x = 0.
3.Розв’язати систему рівнянь
Високий рівень
1.1) Побудувати графік функції y = 1 + log3 (x  1).
2) Розв’язати рівняння log2 x – 2logx 2 = 1.
3) Розв’язати нерівність .
2.Розв’язати рівняння xlg x = 1000x2.
3.Розв’язати систему рівнянь .

Варіант 2.
Середній рівень
1.1) Побудувати графік функції і записати її властивості.
2) Розв’язати рівняння log5 (2x  1) = 3.
2.Розв’язати рівняння .
3.Розв’язати нерівність .
Достатній рівень
1.1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.
2) Прологарифмувати за основою вираз .
3) Розв’язати нерівність .
2.Розв’язати рівняння lg log3 log4 x = 0.
3.Розв’язати систему рівнянь
Високий рівень
1.1) Побудувати графік функції y = 1 + .
2) Розв’язати рівняння log2 x + logx 2 = 2,5.
3) Розв’язати нерівність .
2.Розв’язати рівняння .
3.Розв’язати систему рівнянь .
Варіант 3.
Середній рівень
1.1) Побудувати графік функції і записати її властивості.
2) Розв’язати рівняння lg (3x + 1) = 2.
2.Розв’язати рівняння .
3.Розв’язати нерівність .
Достатній рівень
1.1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.
2) Прологарифмувати за основою 2 вираз .
3) Розв’язати нерівність .
2.Розв’язати рівняння log2 log3 lg x = 0.
3.Розв’язати систему рівнянь
Високий рівень
1.1) Побудувати графік функції y = 2 + .
2) Розв’язати рівняння log3 x = 1 + logx 9.
3) Розв’язати нерівність .
2.Розв’язати рівняння .
3.Розв’язати систему рівнянь .
Варіант 4.
Середній рівень
1.1) Побудувати графік функції і записати її властивості.
2) Розв’язати рівняння log3 (4x + 1) = 2.
2.Розв’язати рівняння .
3.Розв’язати нерівність .
Достатній рівень
1.1) Побудувати графік функції y =  і записати її властивості.
2) Прологарифмувати за основою 2 вираз .
3) Розв’язати нерівність .
2.Розв’язати рівняння log8 log9 lg x = 0.
3.Розв’язати систему рівнянь
Високий рівень
1.1) Побудувати графік функції y = .
2) Розв’язати рівняння log3 x + 2logx 3 = 3.
3) Розв’язати нерівність .
2.Розв’язати рівняння .
3.Розв’язати систему рівнянь
Література
1.Мерзляк А.Г., Полонський В.Б. Збірник задач і контрольних робіт з алгебри для 11класу. - Харків «Гімназія», 2009р.
2. Мерзляк А.Г., Полонський В.Б, Якир М.С. Алгебраїчний тренажер. – Київ: «А.С.К», 1997р.
3. Кушнір І.А. Рівняння і нерівності. – К.: Астра, 1996р.
4. Сканаві М.І. Збірник задач з математики. – К.: «Онікс», 2005р.
5. Ясінський В.В., Мазур К.І., Мазур О.К. Вибрані конкурсні задачі з математики. – К.: «Фенікс», 2002 р.
6. Кушнір І. У світі логарифмів. – К.: «Факт», 2004р.
7. Нелін Є.П., Долгова О.Є. Алгебра і початки аналізу 10 клас. – Х.: «Світ дитинства», 2008р.
8.Саакян С.М..Задачи по алгебре и начала анализа для 10-11 классов.- М.:Просвящение,1990р.