Конспект урока алгебры Решение задач с помощью рациональных уравнений (10 класс)

МБОУ Гимназия г. Новый Уренгой
«Решение задач с помощью рациональных уравнений»
конспект урока алгебры в 10 классе
Автор: учитель математики
Цыганкова Н.В.
2015
Решение задач при помощи рациональных уравнений.
Урок алгебры в10 классе.
Цели урока:
Закрепить:
• умения составлять рациональные уравнения по условию задачи;
• умения определять, соответствуют ли найденные корни уравнения условию задачи;
• умения решать текстовые задачи при помощи рациональных уравнений;
• умения решать текстовые задачи разными способами.
Познакомить учащихся с методом подобия при решении текстовых задач, который приводит к составлению рационального уравнения.
Оборудование.
1) Плакаты:
«Математическая задача иногда столь же увлекательна, как кроссворд, и напряженная умственная работа может быть столь же желанным упражнением, как стремительный теннис»
Дж. Пойа
«Крупное научное открытие даёт решение крупной проблемы,
но и в решении любой задачи присутствует крупица открытия»
Дж. Пойа
«Умение решать задачи – такое же практическое искусство, как умение плавать или бегать. Ему можно научиться только путем подражания или упражнения».
Дж. Пойа
«Если хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а если
хотите научиться решать задачи, то решайте их»
. Дж. Пойа
2) Отпечатанные тексты обобщенного приема решения задач с помощью
уравнений для каждого ученика.
3) Мультимедийный проектор для демонстрации слайдов с задачами для устной работы, решения задачи различными способами.
ХОД УРОКА Сообщается тема урока и его цели.
Начиная с 2003 года, в экзаменационные материалы ЕГЭ включаются текстовые задачи. Предлагаются задачи на проценты, на сплавы и смеси, на работу, на движение и т.д. Как правило, с текстовыми задачами справляются около 40% экзаменуемых. Решение текстовых задач вызывает изрядные затруд-нения у многих школьников. Быть может это происходит потому, что многие виды задач изучались в основной школе, т.е. до 10 класса. В контрольных измерительных материалах ЕГЭ текстовые задачи во второй части, это задание 11. Умение решать ту или иную задачу зависит от многих факторов. Однако, прежде всего, необходимо научиться различать основные типы задач и уметь решать простейшие из них.
Задачи на движение – классический тип текстовых задач. Разнообраз-ные объекты движутся в одном или разных направлениях, в условии перечислен ряд данных, по которым требуется найти некоторую величину, например, ско-рость, расстояние, время, за которое это расстояние пройдено… Зачастую знания одной формулы s = vt оказывается недостаточно, необходимо провести самосто-ятельное исследование задачи.
Сегодня мы рассмотрим задачи, в которых объекты движутся по прямой, и решение которых может привести к рациональному уравнению.

I. Фронтальная работа.
Ответить на вопросы:
1) Какие уравнения называют рациональными уравнениями?
2) Что называют корнем уравнения с неизвестным х?
3) Что значит решить уравнение?
4) Какие уравнения называют равносильными?
5) Какие преобразования приводят уравнение к равносильному уравнению?

II. Устная работа.
На экране появляются слайды 2 и 3 с заданиями для устной работы.
1. Катер, развивающий в стоячей воде скорость 20 км/ч, прошел 36 км против течения и 22 км по течению, затратив на весь путь 3 часа. Найдите скорость течения реки.
Для решения этой задачи составлено уравнение

Ответить на вопросы:
1) Что принято за х?
2) Что выражается суммой
3) Что выражается разностью
4) Что выражается дробью
5) Что выражается дробью
6) Что выражается суммой
2. Расстояние между двумя населенными пунктами 50 км. Из этих пунктов одновременно навстречу друг другу выехали мотоциклист и велосипедист. Скорость мотоциклиста на 30 км/ч больше. Встретились они на расстоянии 10 км от одного из населенных пунктов. Какова скорость велосипедиста?
Составьте уравнение для решения задачи.
III. Решение задачи.
Задача I тура школьной олимпиады по математике в 9 классе из учебного пособия по математике: А.В.Шевкин «Школьная математическая олимпиада. Задачи и решения».
Две старушки вышли одновременно навстречу друг другу из двух городов. Они
встретились в полдень, и первая достигла чужого города в 4 часа пополудни, а вторая - в 9 часов. Узнайте, когда они вышли из своих городов.
Эту задачу один из учащихся решает у доски. Заслушиваем коментарии учащегося по решению задачи. Просматриваем слайды 4, 5, 6.

Предлагаю учащимся решение данной задачи методом подобия (2 способ).
Один из учащихся решает эту задачу у доски, комментирует решение. Демонстрирую решение этой задачи на слайде 8.

Построим схематически графики движения первой и второй старушек: AD и CB соответственно. Точка N соответствует моменту их встречи. KL отсекает промежутки времени движения старушек до встречи. AL – промежуток времени движения до встречи.
Пусть до встречи старушки шли х часов. Из условия задачи следует, что KD = 4, LB = 9. Требуется найти AL. На экране появляется слайд 7.
A
D
C
B
K
L
xx4
9
Расстояние
Время движения
N
A
D
C
B
K
L
xx4
9
Расстояние
Время движения
N

На экране появляется слайд 8.
Рассмотрим ∆NKD и ∆NLA: ∆NKD подобен ∆NLA по двум углам.
Рассмотрим ∆ NKC и ∆NLB: ∆ NKC подобен ∆NLB по двум углам.
Из подобия двух пар треугольников следует, что и , то есть
.
Составим и решим уравнение:
, где х ≠ 0.
= 36,
= ± 6.
Это уравнение имеет единственный положительный корень 6, поэтому старушки были в пути 6 ч и вышли из своих городов в 12 – 6 = 6 ч утра.
Ответ: в 6 ч утра.
Метод подобия приводит к более простому решению задачи.
3 способ. На экране появляется слайд 9. Объясняю решение и учащиеся записывают это решение в тетради.
4 способ. Появляется слайд 10, 11.

V. Итоги урока.
Домашнее задание: задачи № 286, 294 на с. 399-400 (решить различными способами), учебник «Алгебра и начала математического анализа. 10 класс» С.М. Никольский, М.К. Потапов, Н.Н. Решетников, А.В. Шевкин.

Обобщенный приём решения задач с помощью уравнений:
1). Изучить содержание задачи (выявить: а) название величин, содержащихся в задаче;
б) функциональные связи и основное отношение между ними; в) количество различных
ситуаций в задаче; г) известные и неизвестные величины в каждой ситуации и связи
между ними; если удобно, оформить полученные данные в виде таблицы).
2). В зависимости от данных, полученных в п.1, выбрать величину, которую удобно
(наиболее выгодно для решения) принять за неизвестное, и записать её обозначение.
3). Выразить (на основе п.1 ) все величины в задаче через неизвестное и данные.
4). Используя основное отношение и найденные зависимости между величинами
(или выписав их из таблицы поиска), установить равенство или неравенство однородных
и записать на этой основе уравнение.
5). Решить полученное уравнение.
6). Вычислить значение искомой величины.
.
7). Выполнить, если нужно, проверку, исследование.
8). Рассмотреть возможность других способов решения задачи (на основе других
зависимостей между величинами), выбрать наиболее рациональный.
9). Записать ответ.