Конспект урока математики по теме Применение производной к исследованию функции
Открытый урок математики по теме: «Применение производной к исследованию функций
и построению графиков»
Учитель: Данилова Г.И.
Группа: 121
Тип урока: урок открытия нового знания.
Цель: Создать условия для формирования у студентов умения с помощью производной исследовать функцию на монотонность и экстремумы
Задачи:
Учиться решать задачи на применение производной к исследованию функций на монотонность и экстремумы.
Развивать умение анализировать, сопоставлять, сравнивать, формулировать выводы по результатам собственной деятельности; развивать такие качества личности, как ясность и точность мысли, логическое мышление, алгоритмическая культура, интуиция, критичность.
Воспитывать средствами математики культуру личности: умения выслушать и принимать во внимание взгляды других людей, умение справляться с неопределённостью и сложностью.
Используемые образовательные технологи: проблемное обучение, развитие критического мышления, ИКТ, технология сотрудничества и партнерства.
Информационно – обучающее обеспечение урока: интерактивная доска презентация, раздаточный материал.
Методы: деятельностный, проблемно-поисковый, метод групповой работы, самостоятельной работы.
Формы организации деятельности : индивидуальная работа, работа в парах, фронтальная работа, работа в группах
План урока:
I. Организационный момент (мотивирование к учебной деятельности)
II. Актуализация опорных знаний
III. Создание проблемной ситуации
IV. Открытие нового знания
V. Первичное закрепление.VI. Самостоятельная работа
VII. Задание на дом.
VIII. Подведение итогов. Рефлексия
Ход урока
Структурные
элементы урока. Деятельность учителя. Деятельность
учащихся. УУД
1.Мотивирование к учебной деятельности
(организационный момент).
Цель: подготовить учащихся к работе на уроке. Здравствуйте, ребята, садитесь!
Сегодня на уроке мы продолжим изучать тему «Производная функции» и рассмотрим вопрос применения производной к исследованию функции.
Учащиеся приветствуют учителя
Личностные: осмысление внутренней позиции ученика на уровне положительного отношения к уроку;
Регулятивные: самореализация и организация своего рабочего места.
2. Актуализация опорных знаний.
Цель: подготовить учащихся к восприятию нового материала - Прежде чем приступить к изучению новой темы, я предлагаю вам расшифровать фразу, которая станет девизом нашего сегодняшнего урока.
- Разделитесь на группы по 4 человека. Ваша задача как можно скорее вычислить производные предложенных функций. (Приложение 1)
Проверка осуществляется фронтально с использованием интерактивной доски.
- Итак, наш сегодняшний урок пройдет под девизом:
«Деятельность – единственный путь к знаниям».
Б. Шоу
- Как вы понимаете эти слова?
-Вспомним некоторые свойства функции:
Что называется областью определения функции?
Что называется множеством значения функции?
Какая функция называется возрастающей?
Какая функция называется убывающей?
Что такое точки экстремума (экстремумы функции)?
По графику функции определите основные свойства функции:
11874513462000-Д(у);
-Е(у);
-промежутки возрастания;
-промежутки убывания;
-промежутки знакопостоянства;
- точки экстремума;
-экстремумы функции.
Назовите способы задания функции
Какой самый наглядный?
Как построить график? Выполняют задание в парах, заполняют листы
Студенты высказывают свое мнение
Студенты отвечают на вопросы
Графический.
По точкам Регулятивные: учатся работать по предложенному учителем плану;
Личностные: осознание своих эмоций, интереса к изучению математики;
Познавательные: актуализация изученных способов действий, развитие мыслительных операций;
3. Создание проблемной ситуации.
Цель: подведение студентов к формулированию темы и постановке задач урока. Составление плана работы - А всегда – ли подойдет данный способ построения графика функции?
- Зададим в системе координат две точки произвольного графика функции. Попробуйте показать, как может выглядеть график функции между этими точками
- Сделайте вывод.
Студенты на интерактивной доске изображают эскизы графиков:
889003937000
Этот способ построения графика подойдет, если функция элементарная, и нам заранее известно, как примерно выглядит ее график. В случае если функция сложная можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими точками трудно предугадать. Регулятивные: умение принимать цель урока и следовать ей в учебной деятельности.Коммуникативные:
Планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, контроль, коррекция, оценка действий партнера;
- Что же делать, как нам выполнить это задание?
- Выяснить, как ведет себя функция, помогает ее производная.
- Сформулируйте цель нашего сегодняшнего урока Узнать какие есть правила для определения поведения функции на числовом промежутке
Учащиеся формулируют тему и цель урока
Составить (создать, разработать) правило (алгоритм), с помощью которого можно исследовать функции на монотонность и экстремумы с помощью производной
4. Открытие нового знания.
Цель: организовать и направить к цели познавательную деятельность учащихся.
- Между характером монотонности функции и знаком её производной есть определенная связь. Попробуем установить эту связь.
- Создадим 4 рабочие группы, в составе которых вы «откроете» зависимость между свойствами монотонности функции, экстремумами и знаками производной. Для каждой группы предлагается план проведения исследования. Каждая группа по окончанию работы должна сделать выводы по своему вопросу и представить их. (Приложение 2)
После того, как студенты высказали свои гипотезы, формулируем достаточный признак возрастания и убывания функции, необходимое и достаточное условия существования экстремума
- Сформулировать алгоритм исследования функции на монотонность и экстремумы, расставив предложения в нужном порядке
Сделать выводы о монотонности функции и о её точках экстремума.
Найти точки, в которых производная равна 0
Найти производную функции y=f(x).
Отметить эти точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках.
Найти область определения функции Работают в группах, строят гипотезы о зависимости между свойствами монотонности функции, экстремумами и знаками производной
Записывают в тетрадь
Работа с интерактивной доской (выстраивание алгоритма в правильном порядке) Познавательные: самостоятельное выделение и формулирование познавательной цели, поиск и выделение необходимой информации, структурирование знаний.
Коммуникативные: оформление своих мыслей согласно заданным рамкам обсуждения, аргументация своих суждений.
Регулятивные: осмысление выделенных учителем ориентиров действия в новом учебном плане.
5.Первичное закрепление
Цель: установить усвоили или нет учащиеся связь между фактами, содержание новых понятий, закономерностей, устранение обнаруженных проблем 1. На интерактивную доску проецируются таблицы. Назовите по следующим данным промежутки возрастания, убывания и точки максимума и минимума:
а)
x (-7; 1) 1 (1; 6) 6 (6; 7)
f '(x) + 0 - 0 +
f(x) 10 -3 б)
х (-3; 0) 0 (0; 4) 4 (4; 8) 8 (8;+∞)f '(x) + 0 - 0 + 0 -
f(x) -3 -5 6 в) По данным каждой из таблиц схематически построить график (на доске и в тетрадях)
Исследование функции на монотонность и экстремумы по графику ее производной
а)
- Найти промежутки убывания функции, указать наибольшую из длин этих промежутков;
- Найти промежутки возрастания функции, укажите наименьшую из длин этих промежутков
38100-75755500
б)
2273309080500
- Найдите число точек максимума функции;
- Найдите число точек минимума функции. Назовите их
в)
- Сформулируйте 10 вопросов на определение свойств функции по графику производной функции
Найдите точку максимума функции у = 9х2– х3.
Найдём производную функции:
Найдем нули производной:
18х –3х2 = 0
3х(6 – х) = 0
Решая уравнение получим:
Определяем знаки производной функции на интервалах и отметим их на эскизе. Подставляем произвольное значение из каждого интервала в выражение производной:
у(–1)'=18 (–1) –3 (–1)2 = –21< 0
у(1)'=18∙1 –3∙12 = 15 > 0
у(7)'=18∙7 –3∙72 = –1< 0
Ответ:
Исследовать функцию на монотонность, указать точки экстремума:
Выполняют у доски
Выполняют у доски
Примерные вопросы:
1) количество промежутков возрастания функции y = f(x);2) длину промежутка убывания функции y = f(x);3) количество точек экстремума функции y = f(x);4) точку максимума функции y = f(x);
И т.д….
Записывают в тетрадь образец решения
Один человек у доски, остальные в тетрадях
область определения ,
найдем первую производную ;найдем критические точки: ; ;
Исследуем знак производной в полученных промежутках, решение представим в виде таблицы.
2,5
- 0 +
↓ Минимум1,25 ↑
Познавательные: умение следовать образцу и правилу.
Регулятивные: проявление самостоятельности и инициативности в разных видах деятельности.
Коммуникативные: оформление своих мыслей согласно заданным рамкам обсуждения, аргументация своих суждений.
Самостоятельная работа.
Цель: проверить на сколько студенты усвоили новый материал
Разноуровневая самостоятельная работа
3 уровня сложности, 2 варианта
Приложение 3 Студенты самостоятельно выбирают уровень сложности задания, в ходе выполнения имеет право повысить уровень сложности Регулятивные: проявление самостоятельности и инициативности в разных видах деятельности.
Познавательные: понимание смысла задания, возможность применить первоначальные способы поиска информации.
Домашнее задание.
Цель: сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения. № 279 (а,б)
№ 281 (а,б)
№ 290 (а,б) Записывают домашнее задание Рефлексия учебной деятельности
Цель: оценить учащимися свою деятельность и деятельность своих товарищей на уроке Наш урок подходит к концу. Чему мы учились сегодня на уроке?
Продолжите предложения:
1)Точка Х0 называется точкой максимума функции, если …
2)Точка Х0 называется точкой минимума функции, если …
3) Если функция возрастает, то производная ….
4) Если функция убывает, то производная …..
5) В точках экстремумов производная равна …
Выскажите, пожалуйста, свою точку зрения по нашему сегодняшнему уроку, продолжите фразы:
- Сегодня на уроке я научился…
- Сегодня на уроке я повторил…
- На уроке мне было трудно …
- Мне было интересно (что?) …
Спасибо за урок !- определять промежутки монотонности и точки экстремума функции по графику функции и графику её производной.
- Вывели алгоритм, при помощи которого можно находить промежутки возрастания и убывания функции и точки максимума и минимума аналитически.
Студенты отвечают
Студенты высказывают свое мнение Личностные: оценивание разного вида деятельности на уроке.
Регулятивные: формирование умения адекватно оценивать свою деятельность и деятельность своих товарищей.
Найти производную функции:
y y’
ex – 4x2 + 7 ex + 3x2 lnx + 5 x6 – 4sinx 20x4 – ex 2x – ex log5x + ex 12x3 – ex 2x6 + 4sinx ex + 6x2 9x2 – cosxlnx – 2cosx x+ 3sinx 2x3 – x2 + x 3x – 5x x2+ sinx Приложение 1
Найти производную функции:
y y’
ex – 4x2 + 7 ex + 3x2 lnx + 5 x6 – 4sinx 20x4 – ex 2x – ex log5x + ex 12x3 – ex 2x6 + 4sinx ex + 6x2 9x2 – cosxlnx – 2cosx x+ 3sinx 2x3 – x2 + x 3x – 5x x2+ sinx Приложение 2
1 группа.
Установите зависимость между возрастанием функции и знаком производной (укажите промежутки)
1 группа
функция производная
y=x4-2x2-3
Найдите производную данной функции.
Внимательно рассмотрите графики функции и ее производной.
Сформулируйте гипотезу о связи между характером монотонности функции и знаком её производной. Для этого ответьте на следующие вопросы:
укажите промежутки возрастания функции;
названные промежутки рассмотрите на графике производной;
где они расположены выше или ниже оси х?
Сделайте вывод, заполнив таблицу.
х f ’(x) f (x) Попробуйте описать этот факт, используя математические термины:
Вывод:
2 группа.
Установите зависимость между убыванием функции и знаком производной (укажите промежутки2 группа
функция производная
y=x4-2x2-3
Найдите производную данной функции.
Внимательно рассмотрите график функции и график ее производной.
Сформулируйте гипотезу о связи между характером монотонности функции и знаком её производной. Для этого ответьте на следующие вопросы:
укажите промежутки убывания функции;
названные промежутки рассмотрите на графике производной функции;
где они расположены выше или ниже оси х;
Сделайте вывод, заполнив таблицу.
Х f ’(x) f (x) Попробуйте описать этот факт, используя математические термины:
Вывод:
3 группа
На графике функции и графике производной функции укажите точки экстремума (точки максимума)
2 группа
Функция Производная
y=x3+3x2-1 Найдите производную данной функции.
Внимательно рассмотрите графики функции и график ее производной.
Рассмотрите график, попытайтесь сформулировать гипотезу о точках экстремума графика производной функции.
Попробуйте описать тот факт, какие точки называются точками максимума, и как на графике производной определить точки максимума, используя математические термины. Для этого ответьте на следующие вопросы:
в какой точке х функция имеет максимальное значение? х=…
Изменяется ли характер монотонности графика функции при переходе через точку х= …?
что происходит с графиком функции
слева от точки х= …
справа от точки х= …
Проверьте, выполняется ли условие, что f(x)<f(x0) на этом промежутке. Если условие выполняется, то точка называется точкой максимума
Найдите эту точку на графике производной функции
Изменяется ли характер монотонности графика функции при переходе через эту точку?
Изменяются ли знаки производной при переходе через эту точку?
Какой знак имеет производная слева от этой точки?
Какой знак имеет производная справа от этой точки?
Вывод: Если в точке хо производная меняет знак с … на … , то хо является точкой максимума.
Таким образом, точка х= … является точкой максимума функции.
4 группа
На графике функции и графике производной функции укажите точки экстремума (точки минимума)
2 группа
Функция Производная
y=x3+3x2-1 Найдите производную данной функции.
Внимательно рассмотрите графики функции и график ее производной.
Рассмотрите график, попытайтесь сформулировать гипотезу о точках экстремума графика производной функции.
Попробуйте описать тот факт, какие точки называются точками минимума, и как на графике производной определить точки минимума, используя математические термины. Для этого ответьте на следующие вопросы:
В какой точке х функция имеет минимальное значение? х = …
Изменяется ли характер монотонности графика функции при переходе через эту точку?
что происходит с графиком функции
слева от точки х = …,
справа от точки х = …
Проверьте, выполняется ли условие, что f(x) > f(x0) на этом промежутке. Если условие выполняется, то точка называется точкой минимума.
Найдите эту точку на графике производной функции
Изменяется ли характер монотонности графика функции при переходе через эту точку?
Изменяются ли знаки производной при переходе через эту точку?
Какой знак имеет производная слева от этой точки?
Какой знак имеет производная справа от этой точки?
Вывод: Если в точке хо производная меняет знак с …. на … , то хо является точкой минимума.
Таким образом, точка х = …. Является точкой минимума функции
Приложение 3
Вариант №1.
Уровень 1
Заполните таблицу
у =-3х5+5х3 .
1. D(f)=R, f(x) непрерывна на D(f).
2. QUOTE f'x=-15х4+15х2 QUOTE -15х2х2-1=-15х2х-1х+1; D(f') = D(f) = f'x= 3. Критические точки: f'x=0; х = -1, х = 0, х = 1.
4. Таблица
x f’(x) f(x) Вариант №1.
Уровень 2
Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции
у =-3х5+5х3 .
1. D(f)=
2. f'x= 3. Критические точки:
4. Таблица
x f’(x) f(x) Вариант №1.
Уровень 3
Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции
у=-3х5+5х3.
Вариант №2.
Уровень 1
Заполните таблицу
у =2х4-4х2+15 .
1. D(f)=R, f(x) непрерывна на D(f).
2. QUOTE f'x=-15х4+15х2 QUOTE -15х2х2-1=-15х2х-1х+1; D(f') = D(f) = f'x= 3. Критические точки: f'x=0; х = -1, х = 0, х = 1.
4. Таблица
x f’(x) f(x) Вариант №2.
Уровень 2
Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции
у =2х4-4х2+15 1. D(f)=
2. f'x= 3. Критические точки:
4. Таблица
x f’(x) f(x) Вариант №2.
Уровень 3
Найдите промежутки возрастания, убывания и экстремумы функции
у =2х4-4х2+15.