Урок обобщения и систематизации знаний по теме Комплексные числа
ГПОУ ЯО Ярославский градостроительный колледж
МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА
ОБОБЩАЮЩЕГО УРОКА
ПО ТЕМЕ "КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА"
ПО ДИСЦИПЛИНЕ
«Математика (Элементы высшей математики)»
ДЛЯ СПЕЦИАЛЬНОСТЕЙ
09.02.04 Информационные системы (по отраслям)
09.02.02 Компьютерные сети
21.02.05 Земельно-имущественные отношения
Ярославль 2016 г.
Разработчик: преподаватель математики ЯГК Шереметьева Н.В.
Аннотация
Данная работа представляет собой методическую разработку урока обобщения и систематизации знаний по теме «Комплексные числа».
Повторение изученного материала осуществляется в процессе решения задач с выбором ответа. Каждое задание сопровождается интересными фактами о жизни и деятельности величайшего математика – Леонарда Эйлера. Студенты проследят историю жизни этого человека, тесно переплетающуюся с судьбой России. Данная разработка продолжает направленность на воспитание чувства патриотизма и любви к Родине, гордости за людей, прославивших Россию. Методическая работа аналогична разработке урока, посвященного Софье Ковалевской, по теме "Производная и её приложение". Данные разработки уроков успешно апробированы, пробуждают в студентах неподдельный интерес и творческую активность.
Материалы данной работы могут быть использованы преподавателями колледжа при подготовке и проведении занятий в группах второго курса специальностей 09.02.02, 09.02.04, 21.02.05.
2017 год – 310 лет со дня рождения великого математика и человека
Леонарда Эйлера
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Цели урока:
1. Обучающие:
систематизация знаний по теме “Комплексные числа”;
отработка умения решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом;
повторение основных форм комплексных чисел и отработка умений выполнять действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической и показательной формах;
отработка умения осуществлять переход между разными формами комплексных чисел.
2. Развивающие:
развитие мышления учащихся при решении математических задач;
формирование познавательного интереса к изучению математики.
3. Воспитывающие:
воспитание чувства патриотизма, любви к Родине посредством знакомства с историей жизни, достижениями великих математиков России и их ролью в развитии науки;
формирование математической культуры речи;
формирование чувства ответственности, умения слушать друг друга.
Содержание урока:
Организационный момент (постановка целей урока, объяснение формы проведения урока – 2 мин.).
Ход урока
2.1 Проверка домашнего задания (3 мин.).
2.2. Повторение основных фактов и теорем темы (5 мин.).
2.3. Решение упражнений с выбором ответа (35 мин.).
2.4. Доклады студентов о вкладе Эйлера в развитие математики и физики (15 мин.).
2.5. Самостоятельная работа по теме “ Комплексные числа ” (27 мин.).
Подведение итогов урока, домашнее задание (3 мин.).
Оборудование урока:
Плакат с портретом Эйлера.
Таблица «Значения тригонометрических функций при некоторых значениях аргумента».
Раздаточный материал с текстами заданий и вариантами ответов.
Компьютер, экран для показа учебной презентации.
Ход урока:
1. Вступление
Российской математической науке чрезвычайно повезло: у ее колыбели стоял гений, Леонард Эйлер, один из величайших математиков всех времен и народов. Творчество Эйлера, едва умещающееся в 760 книгах и научных статьях, охватило все разделы математики того времени. Именно этому воистину гениальному человеку и будет посвящен наш сегодняшний урок.
Решая предложенные математические задачи, мы проследим историю жизни Леонарда Эйлера, тесно связанную с историей России. Кроме этого, мы повторим основные факты и теоремы темы “Комплексные числа” и их приложение к решению задач.
Во второй части урока мы пишем практическую работу по теме «Комплексные числа».
2.1 Проверка домашнего задания.
Преподаватель проверяет наличие выполненного домашнего задания – обобщающей таблицы по теме "Комплексные числа".
2.2. Повторение основных фактов и теорем темы.
На доске выполнены следующие записи:
Формы комплексных чисел:
алгебраическая ; ; тригонометрическая ;показательная . .
2. i = ; i2 = .
Проводится фронтальный опрос по следующим вопросам (с последовательным заполнением пропусков на доске):
Какие числа называются комплексными? Что называют мнимой единицей?
Какова геометрическая интерпретация комплексных чисел? Что называют модулем и аргументом комплексного числа?
Какие формы комплексных чисел существуют?
Какие операции можно выполнять над комплексными числами в алгебраической форме?
Какие операции можно выполнять над комплексными числами в тригонометрической форме? Какие правила при этом справедливы?
Какие операции можно выполнять над комплексными числами в показательной форме?
Как осуществляется переход между различными формами комплексных чисел?
2.3. Решение упражнений с выбором ответа
На каждую парту выдается раздаточный материал с текстом заданий и вариантами ответов. Студенты решают предложенные задания в рабочей тетради. Параллельно на доске производится проверка решения предложенных задач. Первые три студента, решившие все задания основной и дополнительной части верно, получают оценки «отлично».
Текст заданий:
Леонард Эйлер (1707 – 1783)
Леонард Эйлер родился в семье небогатого протестантского священника Пауля Эйлера 4 (15) апреля 1707 года.
1. Какой город считается родиной этого великого человека?
Решите квадратное уравнение: .
Город Базель,
Швейцария Дрезден, Германия Марсель, Франция Бристоль, Великобритания
Ответ
Именно этот город в начале XVIII века являлся центром образования и культуры европейского масштаба.
Первоначальное образование Эйлер получил от отца. Пастор, хотя и готовил сына к духовной карьере, учил его также и математике. После домашнего обучения Эйлер был отправлен в гимназию. Именно тогда судьба сталкивает его с замечательным математиком, членам семьи которого предстояло сыграть решающую роль в судьбе Эйлера.
2. Чьи лекции, помимо обучения в гимназии, посещал юный Леонард Эйлер?
Вычислите: .
Профессор Г. Лейбниц Даламбер О.Коши И. Бернулли
Ответ -1
Профессор очень скоро заметил в молодом человеке необыкновенный талант и стал выделять дополнительное время для индивидуальных занятий с Леонардом. Беседы о математике часто проходили в кругу семьи, и Эйлер подружился с сыновьями профессора Николаем и Даниилом.
В 1723 году Леонард получил степень магистра искусств: на испытании он произнес на латыни речь о сравнении философии Декарта и Ньютона. Отец, Пауль Эйлер, считал, что сын должен пойти по его пути: стать священником. Научная карьера в то время не была особенно престижной, да и число претендентов на профессорские места сильно превышало число вакансий.
А в это время в далекой России императрица Екатерина I, исполняя волю внезапно умершего супруга Петра I, открыла в 1725 году Петербургскую академию наук. Своих ученых в России тогда не было, и решено было пригласить ученых из Европы. Но именитые ученые от переезда в Россию отказывались, считая это мероприятие сомнительным и очень рискованным. Только благодаря назначению больших окладов в Россию поехали сыновья профессора: Николай, прежде бывший профессором римского права, стал профессором математики (с окладом 1000 руб. в год), а Даниил – профессором физиологии (с окладом 800 руб.). Братья (по просьбе Эйлера) хлопотали перед императрицей о месте для своего друга. И такое место нашлось – должность адъюнкта с окладом 200 руб. в год.
3. На какой кафедре было предложено работать Леонарду Эйлеру?
Выполните действия: , если , . Результат представьте в тригонометрической форме.
Кафедра математики физики физиологии химии
Ответ
Эйлер стал усиленно готовиться к отъезду, и весной 1727 года отправился в Россию. Но по иронии судьбы практически в день его приезда умирает Екатерина I. Само дальнейшее существование академии казалось тогда крайне проблематичным. Да и вообще в XVIII веке судьба академии все время висела на волоске. Многие видные политики и монархи того времени не понимали ее функций, и академия наук существовала лишь "для престижа России". В 1730 году началось массовое бегство ученых из академии. Эйлер не поддался общей панике, и благодаря этому занял вакантное место профессора на кафедре физики (с окладом 400 руб.), а через два года возглавил кафедру математики вместо покинувшего Россию Даниила.
За эти годы Эйлер стал в академии заметной фигурой. Большинство академиков не слишком ревностно относились к своим не вполне четко определенным обязанностям. Эйлер же постоянно делает доклады на академических конференциях, читает публичные лекции, пишет учебник по арифметике для академической гимназии и научно-популярные статьи в "Санкт-Петербургские ведомости". Он в комиссии по исследованию пожарного насоса, пилильной машины, весов, магнитов, подробно вникает в многочисленные технические проекты, участвует в составлении генеральной карты России. В 1735 году, когда Эйлер в 3 дня выполнил правительственное задание, на которое академики требовали 3 месяца, он ослеп на правый глаз.
Но, несмотря на многочисленные обязанности, благодаря фантастической работоспособности и поразительной целеустремленности, Эйлер изыскивал время для своего главного дела – занятия математикой. Именно в эти годы он сложился как великий ученый. Критически переосмыслив труды Лейбница и Ньютона по математическому анализу и механике, Ферма по теории чисел, он нашел свой собственный путь в науке.
В 1733 году Эйлер женился, был прекрасным семьянином, отцом пятерых детей. Но в 1740 году скончалась императрица Анна Иоанновна. И хотя Эйлер к этому времени достиг своего пика положения в академии (непререкаемый научный авторитет, максимальный оклад), подорванное изнурительными трудами здоровье, общая усталость, напряжение из-за политической нестабильности в стране ввергли 33-летнего Эйлера в состоянии депрессии. И в это время ему приходит предложение от короля Фридриха II стать директором математического отделения академии.
4. В какую академию наук поехал работать Леонард Эйлер?
Представьте число в показательной форме.
Академия Стокгольмская Берлинская Парижская Лондонская
Ответ
В этот период жизни Эйлер руководил обсерваторией и ботаническим садом, изданием географических карт и календарей, осуществлял надзор за работой насосов и труб в королевской резиденции. В это время Эйлер опубликовал 380 научных работ, написал книги по вариационному исчислению, математическому анализу, о вычислении орбит планет, по кораблестроению и навигации, о движении Луны. Несмотря на все свои заслуги, Эйлер оставался для короля Фридриха человеком второго сорта, был героем анекдотов, т.к. не был столь изыскан и остроумен, как требовали законы высшего света. Когда освободилось место президента академии, Эйлеру отказали в этой должности. Эйлер сталь всерьёз задумываться об отъезде.
Тем временем в России отношение к академии изменилось к лучшему. Екатерина II очень хотела заполучить Эйлера в Петербург. К тому же связи Эйлера с Петербургской академией наук никогда не прерывались: за время работы в Европе он опубликовал в "Трудах Петербургской академии" 109 работ. На получаемые из России деньги он закупал для академии книги, приборы, подбирал кандидатов на научные должности, писал отзывы на научные работы, причем не только математиков. Екатерина удовлетворила почти все условия, которые выдвинул Эйлер, и он возвратился в Россию. Разгневанный Фридрих делал многое, чтобы воспрепятствовать отъезду Эйлера, например, удерживая одного из сыновей Эйлера в армии. Но Эйлер был непреклонен в своем решении.
5. В каком году Эйлер вернулся в Петербург?
Какое из представленных чисел является , если ?
Год 1760 1766 1769 1773
Ответ
Эйлер привез в Россию много неопубликованных рукописей. Он, как и прежде, был полон новых идей и проектов. Но, к сожалению, его проект реорганизации академии наук так и не был принят императрицей. Вскоре после приезда он лишился зрения и во втором глазу, но не прекращал работы, диктуя свои сочинения. Эйлеру пытались восстановить зрение, удалив катаракту и запретив перегрузку на зрение. Но разве мог Эйлер "не вычислять"? Он предпочел потерю зрения пассивности. Впрочем, он мог вполне разборчиво писать на черной доске мелом. Несмотря на потерю зрения, работоспособность Эйлера не снизилась. За полтора десятка лет он продиктовал более 400 статей и 10 больших книг. Это половина всех его трудов! К слепоте стала присоединяться глухота. Несмотря на это Эйлер продолжал работать по-прежнему интенсивно.
Блестящие умственные способности и фантастическая работоспособность не покинули его до последних дней. В день смерти он занимался математикой с внуком, производил вычисления, связанные с движением воздушного шара, обсуждал с учениками недавнее открытие планеты Уран. Вечером на 77-м году жизни он скончался от инсульта.
Похоронен Эйлер был на Смоленском кладбище Петербурга. Позднее останки Эйлера перенесли в некрополь Александро-Невской лавры. Все трое сыновей и их дети остались в России. Петербургская академия продолжала издание неопубликованных работ еще в течение 50 лет!
Исключительная личность Эйлера, его беспрецедентная роль в истории Академии заставили искать нестандартные способы почтить его память. Академики решили на свои средства изготовить бюст "бессмертного Эйлера, равно достойного восхищения своим гением, и своими достоинствами", а их "прославленный начальник" (Дашкова) прибавила к этому великолепную колонну.
Дополнительные задания:
6. Представьте в показательной форме комплексное число .
7. Найдите тригонометрическую и алгебраическую форму для числа .
8. Вычислите и , и изобразите их на комплексной плоскости, если . Представьте результаты в алгебраической форме
Ответы:
№ задания Ответ
1 Базель, Швейцария
2 И. Бернулли
3 физиологии
4 Берлинская
5 1766
6
7
8 =
; ; ;
; ; .
2.4. Доклады студентов о вкладе Эйлера в развитие математики и физики
Заслушиваются доклады студентов о вкладе Эйлера в развитие математики. Время, отводимое на один доклад, 2-3 минуты. Желательно, чтобы доклады сопровождались презентацией с показом основных формул и теорем. Темы и краткое содержание докладов могут быть следующие:
1. Вклад Эйлера в теорию чисел
В теории чисел у Эйлера был предшественник – Ферма. Он оставил много сформулированных теорем, но не оставил их доказательств. Эйлер доказал или опроверг почти все теоремы Ферма (например, уравнение не имеет решения в целых взаимно простых числах при п=3 и п=4).
Он нашел сумму ряда , а также сумму рядов вида
2. Вклад Эйлера в геометрию
Прямая Эйлера. Точка пересечения высот треугольника, центр описанной окружности и точка пересечения медиан лежат на одной прямой (прямой Эйлера).
Теорема о многогранниках. В выпуклом многограннике количество ребер, вершин и граней связано соотношением В – Р + Г = 2.
Знаменитая задача о кенигсбергских мостах была решена Эйлером. Он показал, что нельзя пройти все мосты, пройдя по каждому лишь раз. В современной теории графов граф, который можно обойти, пройдя через каждое ребро только один раз, называется эйлеровым.
3. Вклад Эйлера в математический анализ
Из 30 томов математической серии трудов Эйлера 19 посвящены дифференциальному и интегральному исчислению. Формула века (формула Эйлера): .
Если взять , то формула примет вид: . Академик А.Н.Крылов считал, что эта формула объединяет арифметику (-1), геометрию (π), алгебру () и анализ ().
Распространено мнение, что математический анализ по существу начинается с Эйлера. Он уточняет определение функции, вводит современное нам обозначение f(x), разрабатывает классификацию функций (четные, нечетные), обратную функцию.
До Эйлера логарифмы и тригонометрические функции входили в математику в виде таблиц. Он вводит понятие этих функций, выводит важные формулы: , , формулы приведения. Логарифмы и тригонометрию в школе до сих пор изучают по Эйлеру.
Эйлер совместно с Лагранжем разработал теорию решения экстремальных задач, которая в ХХ веке легла в основу теории оптимального управления.
4. Вклад Эйлера в механику
Эйлер впервые опубликовывает свою механику, основанную не на геометрическом языке (как у Ньютона), а на языке дифференциального и интегрального исчисления. На основе теории Эйлера были составлены лунные таблицы, которые позволяли мореплавателям определять долготу в открытом море. Эти таблицы использовались вплоть до 1915 года, когда их вытеснили радиосигналы.
3. Самостоятельная работа по теме “Комплексные числа”.
Пояснительная записка.
Работа рассчитана на двадцать пять минут, включает в себя 4 варианта по 5 заданий. На выполнение одного задания отводится в среднем 5 минут.
Для успешного написания работы студент должен знать:
понятие комплексного числа, геометрическую интерпретацию комплексных чисел;
формы комплексных чисел (алгебраическую, тригонометрическую, показательную);
действия с комплексными числами в различных формах;
методику перехода между разными формами комплексных чисел;
методику решения квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.
Самостоятельная работа предназначена для проверки следующих умений студентов:
решать квадратные уравнения с отрицательным дискриминантом;
выполнять действия над комплексными числами в алгебраической, тригонометрической формах;
осуществлять переход между разными формами комплексных чисел.
Критерии оценки выполнения самостоятельной работы:
«5» - за 5 правильно выполненных заданий (95%-100% работы);
«4» - за 4 правильно выполненных задания (80%-90% работы);
«3» - за 3 верно выполненных задания (50%-75% работы);
«2» - менее 50% работы выполнено верно.
Варианты
Вариант 1
Решите уравнение: .
Вычислите: .
Выполните действия и запишите результат в показательной форме: .
Представьте число в тригонометрической и показательной формах: .Представьте число в тригонометрической форме: . Найдите все и постройте их на комплексной плоскости.
заданий
Вариант 2
Решите уравнение: .
Вычислите: .
Выполните действия и запишите результат в показательной форме: .
Представьте число в тригонометрической и показательной формах: .Представьте число в тригонометрической форме: . Найдите все и постройте их на комплексной плоскости.
Вариант 3
Решите уравнение: .
Вычислите: .
Выполните действия и запишите результат в показательной форме: .
Представьте число в тригонометрической и показательной формах: .Представьте число в тригонометрической форме: . Найдите все и постройте их на комплексной плоскости.
Вариант 4
Решите уравнение: .
Вычислите: .
Выполните действия и запишите результат в показательной форме: .
Представьте число в тригонометрической и показательной формах: .Представьте число в тригонометрической форме: . Найдите все и постройте их на комплексной плоскости.
Ответы:
№ зад. Вариант 1 Вариант 2 Вариант 3 Вариант 4
1
2 i 3+ i
3
4
5
2
4. Подведение итогов урока.
Вот и подошел к концу наш урок, посвященный Леонарду Эйлеру. Хочется отдать дань упорству, трудолюбию, мудрости этого великого человека, который все жизненные трудности умел переносить с высоко поднятой головой. И даже потеря зрения не стала для него катастрофой: "Теперь я буду меньше отвлекаться от занятий математикой", - сказал Эйлер. Написав огромное количество гениальных трудов, он оставил много красивых догадок и начальных идей доказательств. Его учебники адресованы последователям, а не исследователям – таково завещание Леонарда Эйлера грядущим векам и народам.
Домашнее задание: задача Леонарда Эйлера.
Трое господ при входе в ресторан отдали свои шляпы, а при выходе получили их обратно. Сколько существует вариантов, при которых каждый из них получил чужую шляпу?
Литература:
Афанасьева О.Н. Сборник задач по математике для техникумов. - М.: Наука, 1987.
Богомолов Н.В. Математика/ Н.В. Богомолов, П.И. Самойленко. – М.:Дрофа, 2013, 400 с.
Гандикин С. Жизнеописание Л.Эйлера \\ Математика, №6/2007 г.
Долбилин Н. Леонард Эйлер \\ Математика, №6/2007 г.
Дорофеева Л. О вкладе Эйлера в развитие математики \\ Математика, №6/2007 г.
Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика /Под ред. М.Д.Аксенова. – Аванта+, 2000.