Мультимедийный учебно-методический комплект по математике по теме «Производная»
Департамент образования г. Москвы
ГБПОУ Колледж автомобильного транспорта № 9
Мультимедийный учебно-методический комплект по математике по теме «Производная»
(блочная система)
Выполнила: Чердакли Л.Н.
2015 г.
Пояснительная записка.
В различных теоретических и практических исследованиях часто приходится применять понятие «Производная функции».
Дидактический материал по теме «Производная» позволяет студентам наиболее полно изучить эту тему, помогает применять полученные знания при решении практических задач.
В дидактическом материале представлены теоретические материалы по теме «Производная функция», рассмотрено применение производной при исследовании функций и решении уравнений, предложены задания для самостоятельного изучения и закрепления новых знаний и умений. Это пособие поможет подготовиться к ЕГЭ по математике.
Дидактический материал представлен в 2-х разделах: теоретический и практический. Это позволяет быстро и легко изучить теоретический материал и отработать его на практике. Главная задача заключается в том, чтобы объяснение было доступно каждому студенту независимо от его успеваемости. Теория написана доступным языком даже для тех, кто плохо усваивает учебный материал. Практические задачи подобраны так, чтобы начать с самых простейших и закончить сложными задачами.
Весь материал разделен на блоки. В первом блоке рассмотрен краткий теоретический материал, способствующий эффективному развитию навыков и умений. Во втором блоке рассмотрено решение типовых примеров, решение упражнений с применением карточек-инструкций, рассмотрено применение производной в технике. В третьем блоке предложены задания для самостоятельной работы (тренажер, тесты, индивидуальные задания, решение задач практического содержания).
Данные материалы способствуют развитию моторной и смысловой памяти, умению анализировать, сравнивать, отбирать ключевые задания по теме и методы их решения, способствуют становлению информационной компетенции (работа со справочником, дополнительной литературой).
Блок I.Производная функции.
1. Актуализация знаний.
производная
определение
формулы
правила
- производная суммы
- производная произведения
- производная частного
- физический смысл
-геометрический смысл
производная сложной функции
2. Определение производной.
Производная функции
Физический смысл
Vср=St+Δt-S(t)ΔtГеометрический смысл
f'x=k=tgαf'x=limΔx→0fx0+Δx-f(x)Δx
3.Уравнение касательной к графику функции f(x) в точке xo.y =f(xo) + f'xo(x-xo) 4.Применение производной к исследованию функций.
Достаточный и необходимый признак возрастания (убывания) функции: при f ′(х) >0 функция возрастает; при f ′(х) <0 функция убывает.
Необходимые условия экстремума функции: если в точке хо f ′(хо) = 0.
Достаточные условия экстремума функции: если функция непрерывна в точке хо и в этой точке производная меняет знак, то точка хо – экстремум функции.
Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке, надо найти значения в критических точках и на концах отрезка, выбрать из них наибольшее и наименьшее.
Блок 2.Производная и ее применение.
Таблица 1
Производные элементарных функций Примеры
(с)'=0; (kx+b)'=k; (x)'=1f(x)=5; f ′(x)=0.
f(x)=5x+6; f ′(x)=5.
(xn)'=nxn-1f(x)=x5; f ′(x)=5x4.
(sinx)'=cosxf(x)=2sin x; f ′(x)=2cosx.(cos x)′= - sin x f(x)=3cosx; f ′(x)= - 3sinx.
(tg x)′ = 1cos2x f(x)=7tg x; f ′(x)=7cos2x .
(ctg x)′ = 1sin2xf(x) = 4ctg x; f ′(x) = -4sin2x .
Правила дифференцирования
С – постоянная; u, v - функции
(Cu)′ = C(u)′ f(х) = 5х2; f ′(х) = (5x2)′ = 5(x2)′ = 5·2x = 10x.
(u + v)′ = u′ + v′ f(х) = 3 +5х; f ′(х) = (3 + 5x)′=
3′ + 5(x)′= 0 + 5·1 = 5
(u·v)′ = u′·v + u·v′ f(x) = х2(3х-2); f ′(х) = (х2)′·(3х – 2) + х2(3х – 2)′ = 2х(3х – 2) +х2·3 = 6х2 – 4х + 3х2 = 9х2 – 4х
(uv)'=u'·v-u·v'v2f(x)=x2+1x2-1; f 'х= (x2+1x2-1)'=x2+1'·x2-1-x2+1·x2-1'x2-12=2xx2-1-x2+12x(x2-1)2 = 2x3-2x-2x3-2x(x2-1)2= 4x(x2-1)2 .
φfx-сложная функция.
(φ(fх))'=φ'(f(х))·f'(х)f(х) = (х2+2х – 1)4;
f ′(х) = 4(х2+2х – 1)3·(х2 + 2х – 1)′ =
4(х2 + 2х – 1)·(2х + 2).
Геометрический смысл производной Уравнение касательной к графику функции f(х) в точке хо:
у = f(хо) + f ′(хо)·(х – хо) Составить уравнение касательной к параболе f(х) = х2 – 4х в точке с абсциссой хо = 1.
f ′(х) = 2х – 4
f(хо) = 12 - 4·1 = - 3
f ′(хо) = 2·1 – 4 = - 2
(1; - 3) – точка касания
k = f ′(х) = - 2 – угловой коэффициент касательной
у = - 3 + (-2)(х – 1) = - 2х – 1
Уравнение касательной:
у = - 2х – 1
Производная второго порядка
у′′ = (у′(t))′ у = х3; у′ = 3х2; у′′(х) = (3х2)′ = 6х
Механический смысл производной
Закон движения – S(t)
Скорость – V(t) = S′ (t)
Ускорение – а(t) = V ′(t) = S′′(t) Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 3t2 – 5. Найти скорость точки через 2 секунды (путь – метры, время – секунды).
V(t) = (3t2 – 5)′ = 6t
V(2) = 6·2 = 12 м/сПрименение производной при решении упражнений.
1.Найти производную функцию f(х)=5х9.
Воспользуемся формулой (Сu)′= сu′, получим f ′(х) = (5х9)′= 5(х9)′
Используем формулу (хn)′ =nxn-1
f ′(x) = 5(x9)′ = 5·9·x9-1 = 45x8
Ответ: f ′(х) = 45х8.
2.Вычислить значение производной функции f(х) = 3x2-х+72х+5 при х = 1.
Решение:
Полагая u = 3x2 – x + 7; v = 2x + 5, имеем f(х) = uv .Применяем формулу производной частного: f ′(х) = (uv)'=u'·v-v'·uv2Вычисляем отдельно производные функций u и v
(u)′ = (3x2 – x + 7)′ = 6x – 1
(v)′ = (2x + 5)′ = 2
Подставляем найденные выражения в последнюю дробь:
f ′(х) = 6х-12х+5-(3x2-х+7)·2(2х+5)2 = 12x2-2х+30х-5-6x2+2х-14(2х+5)2=6x2+30х-19(2х+5)2Найдем значение производной при х = 1:
f ′(1) = 6·12+30·1-19(2·1+5)2 = 1749 .
Ответ: 1749.3.Найти точки экстремума функции f(х) = х55-х4-5.Решение:
Для нахождения точек экстремума функции необходимо найти производную f ′(х), найти значения х, в которых она равна нулю.
f ′(х) = (х55-х4-5)′ = 55х4-4х3-0=х4-4х3х4-4х3=0
х3х-4=0
x3=0 или х-4=0
х1 = 0 х2 = 4
х1 и х2 – точки экстремума.
f ′(х) + - +
f(х) 0 4 х
Рисунок 1
При переходе через точку х = 0 производная меняет знак с плюс на минус, а у функции возрастание переходит в убывание, значит точка х = 0 – точка максимум. При переходе через точку х = 4 производная меняет знак с минуса на плюс, а у функции убывание переходит в возрастание, значит точка х = 4 – точка минимум.
Ответ: xmax=0; xmin=4.4.Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = х42-2х+32 на отрезке [ - 1;2].
Решение:
Функция достигает своего наибольшего или наименьшего значения на отрезке, либо в точках экстремума, либо на концах этого отрезка.
Найдем значение функции на концах отрезка [ - 1; 2].
f(- 1) = (-1)42-2-1+32=12+2+32=4f(2) = 242-2·2+32=8-4+32=512Найдем производную данной функции и приравняем ее к нулю:
f ′(х) = 142-2·1+32=02x3-2=0х3-1=0
х3=1
х = 1
Точка х = 1∈[-1;2]Вычислим значение данной функции в этой точке.
f(1) = 142-2·1+32=12-2+32=0Наибольшее значение: max[-1;2]f(2)= 5,5.
Наименьшее значение: min[-1;2]f1=0.Ответ: max[-1;2]f(2)= 5,5; min[-1;2]f1=0.5.Кривая задана уравнением у = x2+5х+3. Определить угол наклона касательных к положительному направлению оси ОХ, проведенных к кривой в точках с абсциссами х = - 2 и х = 0.
Решение:
Найдем производную: у′ = 2х+5
Обозначив угол наклона касательной в точке с абсциссой х = - 2 через α, а в точке с абсциссой х = 0 через β, получим:
tgα=y'-2=2-2+5=1
α=arctg 1
α=45⁰
tgβ=y'0=2·0+5=5
β=arctg 5
β≈79⁰
Ответ: 45⁰; 79⁰.
6.Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к кривой у = х3 в точке С(-2;-8).
Решение:
у ′ = k
Найдем производную функции у = х3
у′ = (х3)'=3x2у′ (-2) = 3(-2)2 = 12
k = 12
Ответ: k = 12.
Карточки – инструкции для решения заданий по теме
«Производная и ее применение».
I.Приращение аргумента и приращение функции.Вычислить приращение функции f(х) = 2х2 + 1 в произвольной точке.
Таблица 2
№ План вычисления приращения Применение плана
1 Фиксируем произвольное значение аргумента хо и находим значение функции f(хо) х = хо
f(хо) = 2хо2 + 1
2 Задаем аргументу приращение Δх и находим значение функции f(хо + Δх) х = хо + Δхf(хо + Δх) = 2(хо + Δх)2 + 1 =
2(хо2 +2хо·Δх + Δх2) + 1 =
2хо2 + 4хо·Δх + 2Δх2 + 1
3 Находим приращение функции
Δf = f(хо + Δх) – f(хо)
Δf = 2хо2 + 4хо·Δх + 2Δх2 + 1 – 2хо2 - 1 = 4хо·Δх + 2Δх2
Используя план вычисления приращения функции, решите задания трех уровней сложности.
Уровень А:
1.f(х) = 3х – 8; 2. f(х) = 2 – х2; 3. f(х) = х3 + 4.
Уровень В:
1. f(х) = 5х; 2. f(х) = 6х; 3. f(х) = 7х.
Уровень С:
1. f(х) = sinх2; 2. f(х) = 1 - cosх; f(х) = tg 3x.
2.Производная функции.
Вычислить производную функции f(х) = 9х2 – х + 2 в точке хо = 2.
Таблица 3
№ План вычисления производной функции Применение плана
1 Фиксируем точку и даем приращение
х + Δх2 Вычисляем приращение функции Δf = f(хо + Δх) - f(х)
Δf = 9(х + Δх)2 - (х + Δх) + 2 – (9х2 – х + 2) = 9х2 + 18хΔх + 9Δх2 – х – Δх + 2 – 9х2 + х – 2 = 18хΔх + 9Δх2 - Δх3 Находим отношение приращения функции к приращению аргумента
ΔfΔx = fх+Δх-f(х)ΔхΔfΔx=Δx(18х+9Δx-1)Δx = 18х + 9Δx – 1
4 Находим производную
f ′(х) = limΔx→0ΔfΔxf ′(х) = limΔx→0(18х+9Δx-1) =
= 18х – 1
5 Находим f(хо) F(2) = 18·2 – 1 = 35
Используя план вычисления производной функции в точке, решите задания 3-х уровней сложности.
Уровень А:
1. f(х) =2х + 3 в точке х = 2; 2. f(х) = 3х2 – 2 в точке х = 3;
Уровень В:
1. f(х) = cosх в точке х = π6; 2. f(х) = х+5 в точке х = 4.
Уровень С:
1. f(х) = 1х+3 в точке х = - 2; 2. f(х) = sin2х в точке х = π2 .
3.Уравнение касательной к графику функции f(х) в точке хо.
Написать уравнение касательной к графику функции f(х) = х2 – 4х в точке с абсциссой хо = 1.
Таблица 4
№ План составления уравнения касательной к кривой в точке Применение плана
1 Вычисляем значение функции f(х) в точке х = хо хо = 1 f(хо) = 12 - 4·1 = - 3
2 Находим производную функции f ′(х) = 2х – 4
3 Вычисляем значение производной в точке хо, т.е. угловой коэффициент касательной. f ′(хо) = f ′(1) = 2·1- 4 = - 2
4 Подставляем числа в уравнение касательной у = f(хо) + f ′(хо)(х – хо) у = - 3 + (- 2)(х – 1)
у = - 3 – 2х + 2
у = - 2х – 1
Используя формулу уравнения касательной решить примеры 3-х уровней.
Уровень А:
1. f(х) = х3 – 2х в точке хо = 2; 2. f(х) = х2 + 3х в точке хо = 3.
Уровень В:
1.f(х) = sin3х в точке хо = π6 .
Уровень С:
1.f(х) = 1х2 в точке хо = 2.
4.Общая схема исследования функции и построения графика.
Исследовать функцию f(х) = 3х4 – 4х3 + 1 и построить график.
Таблица 5
№ План исследования Применение плана
1 Область определения D(f) D(f) = R
2 Исследовать на четность(нечетность) f(-х) = 3(-х)4 – 4(-х)3 + 1 = 3х4 + 4х3 +1
функция ни четная ни нечетная
3 Находим нули функции 3х4 – 4х3 + 1 = 0
(х – 1)2·(3х2 + 2х + 1) = 0
х – 1 = 0
х = 1
4 Находим производную и критические точки f ′(хо) = 12х3 – 12х2
12х2(х – 1) = 0
х = 0 х – 1 = 0
х = 1
5 Находим промежутки монотонности, точки экстремумы и экстремумы функции f ′(х) _ _ min +
f(х) 0 1 х
f ′(-1)<0; f ′(0,5)<0; f ′(2)>0
х = 1- точка экстремум
min f(1) = 0
6 Находим предел функции limх→∓∞3х4-4х3+1=∞7 Строим эскиз графика функции
у
1
0 1 х
Используя план исследовать и построить графики функций 3-х уровней.
Уровень А:
1.f(х) = х2 – 3х + 2; 2. f(х) = - 2х2 + 3х + 2
Уровень В:
1. f(х) = 3х – х3; 2. f(х) = х3 – 3х2 + 4
Уровень С:
1. f(х) = х2 + 1х; 2. f(х) = 2х2 – х4 – 1.
5.Наибольшее и наименьшее значение функций.
Найти наибольшее и наименьшее значение функции у = х3 – 2х2 – 3 на промежутке 0;2.
Таблица 6
№ План нахождения уmax и уmin на промежутке 0;2Применение плана
1 Находим производную функции у′ = 3х2 – 4х
2 Находим критические точки у′ = 0 3х2 – 4х = 0
х(3х – 4) = 0
х = 0 3х – 4 = 0
3х = 4
х = 433 Выбираем точки, лежащие внутри промежутка 0∈0;2; 43∈0;24 Находим значения функции в критических точках и на концах промежутка у(0) = - 3
у(43) = (43)3 – 2(43)2 – 3 = - 4527у(2) = 23 - 2·22 – 3 = - 3
5 Выбираем наибольшее и наименьшее max у(х) = у(0) = у(2) = - 3
min у(х) = у(43)=-4527Используя план нахождения наименьшего и наибольшего значений функции решить примеры 3-х уровней сложности.
Уровень А:
1.у = 2х2 - х - 6 на промежутке -1;3;
2.у = 3х2 – х3 на промежутке -1;1Уровень В:
1.у = х4 – 2х2 - 3 на промежутке 0;1;
2.у = 3х5 – 5х3 на промежутке 2;3;
Уровень С:
1.у = 2sinх+cos2х на промежутке 0:2π;
2. у = х + 1х+2 на промежутке -5;-2,5.
Применение производной в технике.
1.Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией f(х) = 0,0017х2 – 0,18х + 10,2. При какой скорости расход горючего будет наименьший. Найдите этот расход.
Решение:
Исследуем расход горючего с помощью производной:
f ′(х) =0,0034х – 0,18
f ′(х) = 0
0,0034х – 0,18 = 0
0,0034х = 0,18
х ≈53.
Найдем расход горючего, для этого определим знак второй производной в критической точке.
f ′′(х) = (0,0034х – 0,18)′ = 0,0034 >0, следовательно расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим.
f(53) = 5,43 л.
Ответ: 5,43 л.
2.Автомобиль приближается к населенному пункту со скоростью 72 км/ч. Висит дорожный знак «Ограничение скорости» 36 км/ч. За 7 секунд водитель, увидев знак, нажал на тормозную педаль. С разрешаемой ли скоростью автомобиль въехал в населенный пункт, если тормозной путь определяется формулой S = 20t – t2.
Решение:
S′ = (20t – t2)′ = 20 - 2t
S′(7) = 20 - 2·7 = 6 м/с.
6м/с = 21,6 км/ч.
Ответ: да.
3.Маховик за время t поворачивается на угол φ=8t-0,5t2 (t – сек.; φ - радианы). Определите угловую скорость ω в конце 3 секунды. Найдите момент, когда прекратится вращение.
Решение:
φ'= (8t – 0,5t2)′ = 8 – 0,5·2t = 8 – t
φ′(t) = ω = 8 – t
ω(3) = 8 – 3 = 5 рад/с.
Вращение прекратится в момент, когда ω=0.
8 – t = 0
t = 8 с.
Ответ: 8 секунд.
Блок 3. Задания для самостоятельной работы.
Тренажер.
Найти производную:
f(x) = 4х3 + 6х + 3;
f(x) = 7х2 – 56х + 8;
f(x) = 4х-7x2+4;f(x) = sinх+cosх;f(x) = 2х·cosх;f(x) = 2х;f(x) = ех+5.Найти угловые коэффициенты касательных к графикам функций в точке с заданными абсциссами:
f(x) = 3х – х2 х0 = - 2;
f(x) = 3x2 х0 = 1.
Найти экстремумы:
f(x) = 7x2-5х+8;
f(x) = 13х3-12х2;f(x) =х1+х2.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданных отрезках:
f(x) = х + 1х х∈-2;12;
f(x) = х4 – 2х2+3 х∈-4;3.
Тестовые задания по теме «Производная».
1.Найти значение производной функции, если f(х) =3+5х4 – 10х10
1)20х3 – 10х9 3)3+5х3 – 10х9
2)3+5х4 +5 4)20х3 – 100х9
2.Найти производную функции у = (4х+2)91)36(4х+2)8 3)36х+18
2)9(4х+2)8 4)9(4х+2)6
3.Через точку графика функции с абсциссой х0 проведена касательная. Найти угловой коэффициент касательной к оси абсцисс, если у = 3х2+5х – 15 х0= 16.1) 6 2) 11 3) 7 4) 4
4.На рисунке изображен график производной функции f ′(х), заданной на отрезке а;b. Укажите число промежутков возрастания.
у
f ′(x)
х
а b
Рисунок 2
1)3 2)1 3)2 4)4
Лабораторная работа.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Дан график функции f(х):
у
х
- 6 -1 0 1 4 6
Рисунок 3
1.Укажите критические точки функции.
2.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезках:
а) -6;6 б) -6;0 в) 0;6
3.Укажите какой-либо отрезок, на котором наименьшее значение функции принимается на его конце.
4.Укажите какой-либо отрезок, на котором наибольшее значение функции принимается в критической точке.
Индивидуальная работа.
Таблица 7
Вариант 1
1.Найти производную функций:
у = 5х2;
у = 2х+5x2 .
2.Вычислить значение производной функции у = x2+2 х-2 в точке х0 = 1.
3.Найти производную функций:
у = (9-x2)4у = (х4-х-1)5.
4.Найти точки экстремума и значения функций в этих точках:
у = х4-8х2+5у = (2х-1)2.
Вариант 2
1.Найти производную функций:
у = 3х2;
у = 3х-2x2 .
2.Вычислить значение производной функции у = x2-4 х+1 в точке х0 = 2.
3.Найти производную функций:
у = (1-х)5у = (2х-5)4.
4.Найти точки экстремума и значения функций в этих точках:
у = х4-2х2-3у =1х-х2.
Список используемой литературы.
Башмаков М.И. Математика: учебник для начального и среднего профессионального образования – М.: Академия,2010.
Богомолов Н.В. Математика. – М.: Дрофа, 2013.
Богомолов Н.В. Сборник задач по математике. – М.: Дрофа, 2013.
Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., и др. Алгебра и начало анализа (10-11) – М.: Высшая школа, 2011.
Гусев В.А., Григорьева С.Г., Иволгина С.В. Математика: учебник для начального и среднего профессионального образования – М.: Академия,2011.