Технологическая карта урока по теме Решение линейных Диофантовых уравнений

Класс
Предмет
Тема урока
Тип урока
Цели урока





Предметные результаты
Метапредметные
Личностные

7
математика
Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах
урок «открытия» нового знания
Сформировать у учащихся
новое понятие: «Решить уравнение в целых числах».
новое умение:
а) находить целые корни линейного уравнения,
используя свойства делимости, общий способ нахождения целых корней уравнения.
б) применение нахождения целых корней линейного уравнения при решении задач практического содержания.



Использовать математическую терминологию в устной и письменной речи.
Уметь слышать и слушать. Задавать вопросы на понимание, уточнение.
Проявлять доброжелательность в учебной деятельности.
Фиксировать результат своей учебной деятельности.
Ставить цель учебной деятельности.
Проявлять самостоятельность в учебной деятельности
Проявлять целеустремленность в учебной деятельности.



Технологическая карта урока
Этапы урока
Методы обучения
Формы организации познавательной деятельности
Приемы обучения

Этап 1. Мотивирование к учебной деятельности (2 мин)
Объяснительно-иллюстративный
Притча
Фронтальная
Приемы, активизирующие чувства учащихся, связанные с изучением учебного материала

Этап 2. Актуализация опорных знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии. Выявление места и причины затруднения (4 мин)
Репродуктивный
Устный опрос
Частично-поисковый
Эвристическая беседа
Фронтальная
Приемы формирования и активизации внимания и памяти

Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения (4 мин)
Частично-поисковый
Эвристическая беседа
Фронтальная
Приемы, способствующие созданию проблемных ситуаций

Этап 4. Реализация построенного проекта учебных действий (открытие нового знания или нового способа действия) (8 мин)
Объяснительно-иллюстративный
Демонстрация
Частично-поисковый
Решение экспериментальных задач
Фронтальная
Приемы формирования и активизации восприятия и воображения

Этап 5. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи (5 мин)
Репродуктивный
Решение задач по образцу
Коллективная
(работа в парах постоянного состава)
Приемы управления коллективными и личными взаимоотношениями учащихся

Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону (5 мин)
Репродуктивный
Самостоятельная работа
Индивидуальная
Приемы самоконтроля

Этап 7. Включение нового знания в систему знаний и повторение (8 мин)
Частично-поисковый
Решение задачи повышенной сложности
Фронтальная
Индивидуальная
Приемы формирования и активизации таких операций мышления как синтез, обобщение

Этап 8. Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог) (3 мин)
Частично-поисковый
Беседа
Фронтальная
Индивидуальная
Приемы, активизирующие чувства учащихся, связанные с изучением учебного материала

Содержание обучения
Содержание обучения
Цели и Планируемые результаты (предметные)

Этап 1. Мотивирование к учебной деятельности.

Шел мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под горячим солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.
У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот ответил с ухмылкой, что целый день возил эти проклятые камни.
У второго мудрец спросил: «А что ты делал целый день?», и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу».
А третий улыбнулся, лицо его просияло: «А я принимал участие в строительстве Храма!»
Вопрос. О чем эта притча?
Ответ:- К одной и той же работе можно относиться по разному.- Видеть разный смысл в том, что делаешь.
Мотивирующее пожелание: Я желаю вам видеть самый высокий смысл в любом деле, которым вы занимаетесь. Если уж учиться , то с увлечением.
Вопрос: Какой материал мы изучали на прошлых уроках?
Ответ Линейные уравнения с двумя переменными, системы линейных уравнений.
Вывод: Сегодня мы продолжим изучать линейные уравнения и посмотрим, не обладают ли они ещё какими-нибудь свойствами.

личностное самоопределение способность к волевому усилию.
определить содержательные рамки урока









Этап 2. Актуализация опорных знаний и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии. Выявление места и причины затруднения.


Опорные знания.
Вопрос:
Что называется линейным уравнением, что называется решением линейного уравнения, что является графиком линейного уравнения?
Найдите НОД(a,b) линейных уравнений : 13x+2y=74, 4x+32y=20,
замените уравнение равносильным : а)113 EMBED Equation.3 1415x+13 EMBED Equation.3 1415y=1 б)65 x+26y=91
Какие из приведённых пар чисел (1/5;-1/3), (-5;-9), (2;2), (1;1), (4;6), (0,1;-0,1) являются решениями линейного уравнения 5x-3y=2?
Предполагаемые ответы:1) Упорядоченные пары чисел (1/5;-1/3),(-5;-9), (1;1), (4;6) являются решениями данного уравнения.

Имеет ли это уравнение другие решения? ответ обоснуйте.
Предполагаемые ответы : Да, имеет .Решениями уравнения являются координаты точек прямой y=5/3x-2/3, а на прямой много точек.
Задача
Можно ли 20 человек распределить на ночлег в походе в палатках по 2 и 3 человека? Сколько палаток каждого вида потребуется?
Предполагаемые ответы:
Решают задачу: x-количество двухместных палаток, y-количество трёхместных палаток и они неотрицательные числа , то 2x+3y=20
x=4 и y=4-решение уравнения, найденное подбором.
Есть ли другие варианты?
Предполагаемые ответы:
Находят подбором другие варианты: (1;6), (10;0), (7;2).
Вопрос: Каким методом умеете решать в целых числах линейные уравнения с двумя переменными?
Ответ: Методом подбора
Вывод№1
Мы нашли уже четыре варианта. При сборах в поход можно выбрать наиболее удобный, исходя из наличия палаток, их качества . То есть , иногда одного решения в целых числах недостаточно, если надо выбирать оптимальный вариант.
Проблемная задача:

Найти все целые решения уравнения 5x-3y=2?

Предполагаемые ответы
?
Вопрос: В каком виде можно записать все целые решения ?
Предполагаемый ответ: в виде формулы

(x=7,y=11) (10;16) (13;21) (16;26)( 19;31) (-2;-4) (x=3k+4 y=5k+6)


1) актуализировать учебное содержание, необходимое и достаточное для восприятия нового материала: Решение линейных уравнений в целых числах;
2) актуализировать мыслительные операции, необходимые и достаточные для восприятия нового материала: сравнение, анализ, обобщение.
3) 4) зафиксировать индивидуальное затруднение в деятельности, демонстрирующее на личностно значимом уровне недостаточность имеющихся знаний: нахождение целых корней линейного уравнения.












Этап 3. Построение проекта выхода из затруднения.

Вопрос:
Всегда ли линейное уравнение с двумя переменными имеет целые решения?
Имеет ли уравнение 4x+3y=1/2 целые решения?
Предполагаемые ответы:
В левой части уравнения стоит целое число, а в правой части –дробное. Такое равенство верным быть не может. В данном уравнении нет целочисленных решений.
Вопрос:
Имеет ли уравнение7x-y=-1 целые решения?
Предполагаемые ответы:
y=7x+1 – имеет сколько угодно целых решений. Подставим любое целое значение x и получим целое значение y.
Вывод№2 : Значит по виду уравнения можно определить имеет ли оно корни.
Вопрос: По какому признаку уравнения разделены на 2 группы?
7x+2y=39
13x+2y=74
3(x+5y)=3(6
4(x+8y)=4(5


2(7x+y)=39
2(13x+y)=75
3(x+5y)=19
4(x+8y)=21


Предполагаемые ответы:
а) один столбик имеет решения, а другой не имеет
б)в первом столбике свободный коэффициент делится на НОД коэффициентов при переменных, а в другом столбике нет.

1) организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется и фиксируется отличительное свойство задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности;









Постановка учебной задачи:
Вопрос: Чем будем заниматься на уроке? какие учебные задачи решать?
Предполагаемый ответ:
1)Научиться по виду уравнения определять: имеет ли оно целые решения и если они есть то научиться их находить.
2) Научиться находить все целые корни линейного уравнения с двумя переменными.
Вопрос:
Так какая же тема сегодняшнего урока?
Предполагаемые ответы:
«Целые решения уравнений с двумя переменными»
Корректировка темы урока
«Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах».
Определение. Уравнение вида ax+by=c, где x и y переменные, a, b, и c-числовые коэффициенты, для которого требуется найти решение в целых числах, называется линейным (неопределённым) диофантовым уравнением.
Проанализируем определение:
Вопрос:
Почему линейное?
Предполагаемые ответы: x и y в первой степени
Вопрос: Почему неопределённое?
Предполагаемые ответы: неизвестно сколько решений
Вопрос: Почему диофантово?
Предполагаемые ответы: их придумал Диофант
Ответ: Да, действительно. И теперь всегда, когда у линейного уравнения с двумя переменными ищут только целые решения, то такое уравнение называют диофантовым.
На экране появляется историческая справка о Диофанте Александрийском.
Александрийский математик Диофант еще в
·
·
· веке нашей эры придумал и обосновал общий способ поиска целых решений данных уравнений. Способ Диофанта дает возможность после нахождения всего лишь одного произвольного решения исходного уравнения записать сразу все остальные решения. Но сначала надо знать: имеет ли Диофантово уравнение целые решения, есть ли смысл их искать.
Вопрос: Попробуйте выдвинуть гипотезу о том, как по внешнему виду уравнения можно судить о наличии целых решений линейного уравнения с двумя переменными.
Предполагаемые ответы:
- свободный коэффициент c делится на НОД(a,b) коэффициентов при переменных, то линейное уравнение с двумя переменными имеет целые корни, а если c не делится на НОД(a,b), то линейное уравнение с двумя переменными не имеет корней.
Вывод:№3 Эта гипотеза доказана с помощью строгих математических рассуждений и получила статус теоремы. Для доказательства этих теорем пока у вас недостаточно математических знаний, поэтому просто примем это к сведению .
Суть метода Диофанта выражается в двух теоремах.
Теорема 1
Целое решение уравнения ax+by=c где a,b,c13 EMBED Equation.3 1415Z всегда существует , если c делится на d=НОД(13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415)
Теорема2
Уравнение ax+by=c где a,b,c13 EMBED Equation.3 1415Z не имеет целых решений , если c не делится на d=НОД(13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415)


2) согласовать цель и тему урока































Этап 4. Реализация построенного проекта учебных действий (открытие нового знания).



Снятие затруднения
5x-3y=2
1.НОД(5;3)=1, 2 делится на1, значит целые решения есть.
2. Найдем подбором одну пару целых решений (4;6),действительно 5*4-3*6=2
3.Запишем 5x-3y=5*4-3*6
4.Представим в виде 5x-5*4=3y-3*613 EMBED Equation.3 1415или 5*(x-4)=3*(y-6) или 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
5. Примем 13 EMBED Equation.3 1415=k, k13 EMBED Equation.3 1415Z 13 EMBED Equation.3 1415= k, k13 EMBED Equation.3 1415Z Отсюда x-4=3k, y-6=3k или x=4+3k , y=6+5k, k13 EMBED Equation.3 1415Z
6.Проверим 5*(4+3k)-3*(6+5k)=20+15k-18-15k=2 -верно
7. Ответ x=4+3k , y=6+5k, k13 EMBED Equation.3 1415Z

Вопрос Каков алгоритм решения уравнения ax+by=c в целых числах

Алгоритм решения уравнений ax + by = c, где a, b, c принадлежат Z.
Найти d= НОД(|a|;|b|)
Если c не делится на d, записать, что данное уравнение не имеет решений.
Если c делится на d, разделить правую и левую части исходного уравнения на d: ax + by = c равносильно a1*x + b1*y = c1где a1=a/d, b1=b/d, c1=c/d. При этом НОД(a1;b1) =1
Используя свойства делимости целых чисел, найти одно из решений x0, y0 уравнения a1*x + b1*y = c1.
Записать, что a1*x + b1*y = a1*x 0+ b1*y0
Записать полученное уравнение в виде (x-x0)/(-b1))=(y-y0)/(a1)=k, где k принадлежит Z.
Выразить x и y через k: x=-b1*k+x0; y=a1*k+y0. И, подставив полученные выражения для x и y в исходное уравнение, сделать проверку.
Если на x и y наложены ограничения, то определить множество значений, которые может принимать k.
Если множество значений k конечно, то для каждого значения k найти соответствующие значения x и y.
Записать ответ.



1) организовать коммуникативное взаимодействие для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;
2) зафиксировать новый способ действия в знаковой, вербальной форме и с помощью эталона


Этап 5. Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи.



Решение учебных задач:
1ученик у доски
№1По виду уравнения определить: имеет ли уравнение целочисленные решения.
№1216 Имеет ли целочисленные решения уравнение: a)12x+18y=30 б)25x-15y=2 в)113 EMBED Equation.3 1415x+13 EMBED Equation.3 1415y=1
а)НОД(12,18)=6, 30делится на6, значит уравнение имеет решение в целых числах.
б) НОД(25,15)=5, 2 не делится на 5, значит уравнение не имеет решение в целых числах.
в)Перейдем к равносильному уравнению 15x+6y=10 заметим, что НОД(15,6)=3 и 10 не делится на 3, , значит уравнение не имеет решений в целых числах.

2-ой ученик у доски
№2 Нахождение целых решений линейных уравнений с двумя переменными, используя общий способ поиска
№1217 а, б Решить уравнение в целых числах a)4x+3y=2 b)2x-5y=1
4x+3y=2
НОД(4,3)=1, 2 делится на 1,то уравнение имеет решение в целых числах
(5,-6) одно из решений уравнения.
Тогда, 4x+3y=4*5+3*(-6)
4x-4*5=-3y-3*6
4(x-5)=-3(y+6)
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=k, где k-целое число
13 EMBED Equation.3 1415=k, или x=5-3k, где k-целое число
13 EMBED Equation.3 1415=k, или y=4k-6, где k-целое число
Проверим:4(5-3k)+3(4k-6)=2 истинно
Ответ: x=5-3k, y=4k-6, где k-целое число.
2x-5y=1
НОД(2,5)=1, 1 делится на 1, то уравнение имеет решение в целых числах
(3,1) одно из решений уравнения.
Тогда, 2x-5y=2*3-5*1
2x-2*3=5y-5*1
2(x-3)=5(y-1)
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=k, где k-целое число
13 EMBED Equation.3 1415= k, или x=5k+3 где k-целое число
13 EMBED Equation.3 1415=k,или y=2k+1 где k-целое число
Проверим:2(5k+3)-5(2k+1)=1 истинно
Ответ: x=5k+3, y=2k+1, где k-целое число.





зафиксировать изученное учебное содержание во внешней речи

Приобретение умения
по виду уравнения определить: имеет ли уравнение целочисленные решения.

Находить целые решения линейных уравнений с двумя переменными, используя общий способ поиска

Этап 6. Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону.

Решить уравнение в целых числах №1217 в, г
в)7x+5y=10 г)3x-11y=-4

7x+5y=10
НОД(7,5)=1, 10 делится на 1,то уравнение имеет решение в целых числах
(5,-5) одно из решений уравнения
Тогда, 7x+5y=7*5+5*(-5)
7x-7*5=-5y-5*5
7(x-5)=-5(y+5)
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=k, где k-целое число.

13 EMBED Equation.3 1415=k, x=-5k+5, где k-целое число
13 EMBED Equation.3 1415=k, y=7k-5 где k-целое число

Проверим:7(-5k+5)+5(7k-5)=10 истинно
Ответ: x=-5k+5, y=7k-5, где k-целое число.



3x-11y=-4
НОД(3,11)=1, -4 делится на 1,то уравнение имеет решение в целых числах
(-5,-1) одно из решений уравнения
Тогда, 3x-11y=3*(-5)-11*(-1)
3x+3*5=11y-11*(-1)
3(x+5)=11(y+1)
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=k, где k-целое число.
13 EMBED Equation.3 1415=k, x=11k-5, где k-целое число.
13 EMBED Equation.3 1415=k,y=3k-1, где k-целое число
Проверим:3(11k-5)-11(3k-1)=-4 истинно
Ответ: x=11k-5, y=3k-1, где k-целое число






проверить своё умение применять новое учебное содержание в типовых условиях на основе сопоставления своего решения с эталоном для самопроверки.


Этап 7. Включение нового знания в систему знаний и повторение.

Задача №1
Наскладе имеется мука, упакованная в мешки по 30 кг и 60 кг.Отгрузка производится без вскрытия мешков.
а) Может ли кладовщик отгрузить клиенту 210 кг муки.
б)Какие мешки с мукой и в каком количестве при отгрузке 270 кг должен отгрузить кладовщик, чтобы количество мешков с мукой было минимальным?
Решение:а) х(шт) мешков по 30 кг, у (шт) мешков по 60 кг, тогда 30х+60у=210или х+2у=7. НОД(1,2)=1,7делится на1, значит уравнение имеет решение в целых числах и кладовщик сможет отгрузить клиенту 210 кг муки.
б) х(шт) мешков по 30 кг, у (шт) мешков по 60 кг, тогда 30х+60у=270 или х+2у=9. НОД(1,2)=1,9 делится на1, значит уравнение х+2у=9 имеет решение в целых числах.
(1,4)-решение уравнения, тогда х+2у=1*1+2*4
Х-1*1=-2у+2*4
Х-1=2(-у+4) или13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=k, где k-целое число
13 EMBED Equation.3 1415=k, x=2k+1 где k-целое число

13 EMBED Equation.3 1415=k ,y=-k+4 где k-целое число
Проверка: х+2у=2k+1 +2(-k+4)=9 истинно
По условию задачи сказано, что количество мешков минимально, значит сумма х+у=2k+1 -k+4=k+5 ,где k-целое число минимальна. Это возможно при k=0.Значит минимальное количество мешков 5.

Задача №2
Числа m, n,13 EMBED Equation.3 1415-натуральные. Найдите все пары чисел m и n, для которых это будет верно.
Заметим, что число 89 простое, тогда третье число будет натуральным, если 3m+7n=89
НОД(3,7)=1, 89 делится на 1,значит уравнение имеет решение в целых числах.
m=18,n=5- одно из решений.
3m+7n=3*18+7*5
3m-3*18=-7n+7*5
3(m-18)=7(-n+5)
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=k, где k-целое число
13 EMBED Equation.3 1415=k, m=7k+18 13 EMBED Equation.3 1415=k, n=-3k+5
Проверим 3(7k+18)+7 ( -3k+5)=89 истинно
m натуральное , если k=-2, -1,0, 1 значит (4,11); (11,8);(18,5);(25,2)
1) тренировать навыки использования нового содержания совместно с ранее изученным: применять полученные знания о целых корнях линейного уравнения для решения практических задач повседневной жизни и задач повышенной сложности.
2) повторить учебное содержание, которое потребуется на следующих уроках: решение линейных уравнений



Этап 8. Рефлексия учебной деятельности на уроке (итог).

Итоги урока:
Знания – Сформулировали новое понятие «Решить уравнение в целых числах».
Умения – находить целые корни линейного уравнения с двумя переменными,
используя свойства делимости и общий способ нахождения целых корней уравнения.
Навыки - сравнение, анализ, синтез, абстрагирование, обобщение, моделирование, владение символическим языком математики.
Рефлексивный анализ:
– Что нового вы узнали сегодня на уроке? (Метод решения уравнений в целых числах)
- Как называется этот метод (Общий метод поиска целых корней линейного уравнения с двумя переменными)
– Какие знания нам помогали при определении наличия целых решений линейного уравнения(теорема 1, теорема 2)
– Какие знания нам помогали при решении линейных уравнений с двумя переменными (свойство делимости суммы на число)
-- Проанализируйте и оцените свою деятельность на уроке.
– Что необходимо, чтобы хорошо усвоить общий метод решения линейных уравнений с двумя переменными? (Потренироваться дома, выполнить самостоятельно домашнее задание.)
Домашнее задание:
Задача №1
1. Целое число дает при делении на 5 остаток 1, а при делении на 3 – остаток 2. Найдите остаток от деления этого числа на 15.
Задача №2
2На складе имеется кофе, упакованный в мешки по 20 кг и 40 кг. Отгрузка кофе происходит без вскрытия мешков.а) Может ли кладовщик отгрузить клиенту 140 кг кофе?б) Какие мешки с кофе должен отгрузить кладовщик и в каком количестве при отгрузке 260 кг, чтобы количество мешков с кофе было минимальным?в) Какие мешки с кофе должен отгрузить кладовщик и в каком количестве при отгрузке 380 кг, чтобы количество мешков с кофе вместимостью 40 кг было минимальным?
Продолжите притчу: Пришел мудрец в класс, а там три ученика, которые решают примеры по математике. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу.
У первого спросил: «Что ты сейчас делаешь?»
Предполагаемые ответы:
1.Решаю задачи по математике
2. Готовлюсь к контрольной по математике.
3. Познаю жизнь с помощью математики
Пожелание: я желаю вам так изучать математику, что бы вы получали от процесса изучения огромное удовлетворение и ваши лица сияли от удовольствия.



1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;
2) оценить собственную деятельность на уроке;
3) поблагодарить одноклассников, которые помогли получить результат урока;
4) зафиксировать неразрешённые затруднения как направления будущей учебной деятельности;
5) обсудить и записать домашнее задание







Бутакова Людмила Алексеевна
Учитель высшей квалификационной категории
Педагогический стаж 32 года
Марийский педагогический институт , 1983 год.
Специальность учитель математики и физики.
Диплом с отличием
Почетная грамота МО и Н РФ, 2005 годПобедитель ПНПО « Образование», 2008 год.
Анотация. Представлена технологическая карта урока открытия новых знаний по математике ( 7 класс) .Урок разработан по технологии деятельностного метода. Тема урока « Решение линейных уравнений с двумя переменными в целых числах». Время- 2 урока.

Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native