Методическое пособие по алгебре тема Методы решения показательных уравнений
Методы решения показательных уравнений
Степень n числа а– это произведение числа a само на себя n раз.
a•a•…•a=anОсновные формулы степеней и их свойства.
1. a0 = 1 (a ≠ 0)
2. a1 = a
3. an • am = an + m
4. (an)m = anm5. anbn = (ab)n
6. a-n= 1/an
7. an/am= an — m
Степенные или показательные уравнения – это уравнения в которых переменные находятся в степенях, а основанием является число.
Примеры показательных уравнений: 6x=36
Название метода решения Вид уравнения Алгоритм действий
Простейшие показательные уравнения
b = a b; b>0 b; b 1. Нужно проверить одинаковые ли основания у уравнения справа и слева. Если основания не одинаковые ищем варианты для решения данного примера.2. После того как основания станут одинаковыми, приравниваем степени и решаем полученное новое уравнение.
=
f(x) = 1 f(x) = Решений нет Методы преобразования показательных уравнений к простейшим
Метод уравнивания оснований 22х+4 - 10•4х = 24 В первую очередь смотрим на основания, основания разные два и четыре. А нам нужно, чтобы были — одинаковые. Преобразовываем четверку по формуле (an)m = anm.
4х = (22)х = 22х
И еще используем одну формулу an • am = an + m:
22х+4 = 22х•24
Добавляем в уравнение:
22х•24 — 10•22х = 24
Мы привели пример к одинаковым основаниям. Но нам мешают другие числа 10 и 24. Что с ними делать? Если приглядеться видно, что в левой части у нас повторяется 22х ,вот и ответ — 22х мы можем вынести за скобки:
22х(24 — 10) = 24
Посчитаем выражение в скобках:
24 — 10 = 16 — 10 = 6
6•22х = 24
Все уравнение делим на 6:
22х = 4
Представим 4=22:
22х = 22 основания одинаковые, отбрасываем их и приравниваем степени.2х = 2 получилось простейшее уравнение. Делим его на 2 получаемх = 1Ответ: х = 1.
Метод разложения на множители x2x = 22x + 8x-16. x2x = 22x + 8x-16 <=> x2x - 22x = 8x-2) <=> 2x(x-2) - 8 <=> (x-2) x - 8) = 0 <=> <=> <=> <=> .
Ответ:
Метод подстановки
f(x)= t, t>0 (преобразуются к квадратным) 9х – 12*3х +27= 0 Преобразуем: 9х = (32)х = 32х
Получаем уравнение:32х — 12•3х +27 = 0
Основания у нас одинаковы равны трем.В данном примере видно, что у первой тройки степень в два раза (2x) больше, чем у второй (просто x). В таком случаем можно решитьметодом замены. Число с наименьшей степенью заменяем:
3х = t
Тогда 32х = (3х)2 = t2
Заменяем в уравнении все степени с иксами на t:
t2 — 12t+27 = 0Получаем квадратное уравнение. Решаем через дискриминант, получаем:D=144-108=36t1 = 9t2 = 3
Возвращаемся к переменной x.
Берем t1:t1 = 9 = 3х
Стало быть,
3х = 93х = 32х1 = 2
Один корень нашли. Ищем второй, из t2:t2 = 3 = 3х3х = 31х2 = 1Ответ: х1 = 2; х2 = 1.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 34x-5 = 3x+4 .Решение.
34x-5 = 3x+4 <=> 4x 5 = x+4 <=> 3x=9<=> x = 3 .Ответ:3
Пример 2. Решите уравнение: 2x-4 = 3 .Решение.
2x-4 = 3 <=> x- 4 = x = + 4 <=> x = + <=> x = .
Ответ:.Пример 3. Решите уравнение:-3x = -7 .
Решение.
-3x = -7 , решений нет, так как -3x > 0 для x R .
Ответ: .2..
A. Метод уравнивания оснований.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 27- = 0 .Решение.
27- = 0 <=> 3334x-9- (32)x+1 = 0 <=> 33+ (4x-9)- 32(x+1) = 0<=> 34x-6-32x+2 = 0 <=> 34x-6 = 32x+2<=> 4x-6=2x+2 <=> 2x = 8 <=> x=4.
Ответ: 4.
Пример 2. Решите уравнение: .Решение.
0 <=> (22)x3x5x = 604x-15 <=> 4x3x5x = 604x-15 <=> (4x = 604x-15 <=> 60x=604x-15 <=> <=>x=4x-15 <=> 3x=15 <=> x=5.
Ответ: 5.
В. Уравнения, решаемые разложением на множители.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: x2x = 22x + 8x-16.
Решение.
x2x = 22x + 8x-16 <=> x2x - 22x = 8x-2) <=> 2x(x-2) - 8 <=> (x-2) x - 8) = 0 <=> <=> <=> <=> .
Ответ:
Пример 2 . Решите уравнение:
Решение.
52x - 7x - 52x35 +7x = 0 <=> (52x - 7x)((
Ответ: 0.
С. Уравнения, которые с помощью подстановки f(x) = t, t>0 преобразуются к квадратным уравнениям (или к уравнениям более высоких степеней).
Пусть , где А, В, С - некоторые числа. Сделаем замену: >0, тогда A2 + B + C = 0
Решаем полученное уравнение, находим значения t, учитываем условие t >0 , возвращаемся к простейшему показательному уравнению f(x) = t, решаем его и записываем ответ.
Примеры.
Пример 1 . Решите уравнение: 22+x - 22-x = 5.
Решение.
22+x - 22-x = 5 <=> 222x - = 15 <=> 4(2x)2 - 4 = 15x
Делаем замену t = 2x, t > 0. Получаем уравнение 42 - 4 = 15t <=> 4t2 - 15t - 4=0
<=> , t = не удовлетворяет условию t > 0.
Вернемся к переменной х:
2х = 4<=> 2x = 22 <=> x=2.
Ответ: 2
Пример 2. Решите уравнение:
Решение.
5
Делаем замену: , тогда Получаем уравнение:
5 , t = не удовлетворяет условию t
Вернемся к переменной Х:
Ответ: 2.
D. Уравнения, левая часть которых имеет вид A nx + B kx bmx + С bnx, где k, m N, k + m = n
Для решения уравнения такого типа необходимо обе части уравнения разделить либо на nx, либо на nx и получится уравнение типа С).
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 222x - 5x + 332x = 0.
Решение.
222x - 5x + 332x = 0 <=> 22x - 5x3x + 332x = 0 <=> 2 - + 3 = 0 <=>
<=> 22x - 5x + 3 = 0
Пусть t = x, t>0 , тогда 2t- 5t + 3 = 0 <=> , оба значения t удовлетворяют условию t Вернемся к переменной х:
<=> <=> .
Ответ:
Пример 2. Решите уравнение: 8x + 18x - 227x = 0 .Решение.
8x + 18x - 227x = 0 <=> + - 2 = 0 <=> 23x + 2x 32x - 233x = 0<=>
<=> + - 2 = 0 <=> + - 2 = 0.
Пусть = t, t>0 , тогда t3 + t - 2 = 0<=> (t3 - 1) + (t -1 )= 0 <=> (t-1) (t2 +t +1) + (t - 1) <=> (t - 1) (t2 + t +2) = 0 <=> <=> t - 1= 0 <=> t=1. (t>0)
Вернемся к переменной х: = 1 <=> = x = 0 .
Ответ: 0.
К данному типу уравнений относятся уравнения , левая часть которых имеет вид , где А, В, С -некоторые числа, причем .
Уравнения такого типа решаются с помощью подстановки := t , тогда = .
Пример 3. Решите уравнение:
Решение.
Заметим, что произведение оснований степени равно единице:
(. Поэтому можно ввести новую переменную: , причем . Получим уравнение:
t ,оба корня удовлетворяют условию :.
Вернемся к переменной х:
.
Ответ: .Е. Уравнения, имеющие вид Aam = Bbm.
Для решения необходимо обе части уравнения разделить либо на am, либо на bm. В результате получается простейшее уравнение.
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: 7х = 5х.
Решение.
7х = 5х <=> = 1 <=> = <=> x = 0.
Ответ: 0.
Пример 2. Решите уравнение: .Решение.
.
Ответ: 2.
F. Метод, основанный на использовании свойства монотонности показательной функции .Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: .Решение.
Заметим, что при х=1 уравнение обращается в тождество. Следовательно, х=1 - корень уравнения. Перепишем уравнение в виде
(*)
Так как при основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R, то при х левая часть уравнения (*) больше единицы, то есть
Если то левая часть уравнения меньше единицы, то есть
Поэтому, других корней, кроме х=1, уравнение не имеет.
Ответ: 1.
Пример 2. Решите уравнение: .Решение.
Это уравнение также обращается в тождество при х=1.
Перепишем уравнение в виде:
.
При основании, меньшем единицы, показательная функция убывает на R.
Поэтому при х а при х: . Таким образом, других корней, кроме х=1 , уравнение не имеет.
Ответ: 1.
G. Графический способ решения уравнений вида f(x).
Чтобы графически решить уравнение такого вида, необходимо построить графики функций y=f(x) в одной системе координат и найти (точно или приближенно) абсциссы точек (если они есть) пересечения этих графиков. Абсциссы этих точек - корни данного уравнения (точность результатов определяем только после подстановки в уравнение ).
Примеры.
Пример 1. Решите уравнение: .Решение.
1.Рассмотрим две функции: f(x) = и g(x) = x+1.
2.Графиком функции f(x) = является кривая, расположенная в верхней полуплоскости, графиком функции g(x) = x+1 является прямая.
3. Зададим таблицы значений этих функций:
х -1 0 1 2 3
f(x) = 1 2 4
х 0 3
g(x)= x+1 1 4
4. Из рисунка видно, что прямая и кривая пересекаются в двух точках- в точке А и в точке В. По графику определяем абсциссы этих точек: . Значит, уравнение имеет два корня: х=3 и х= . Число х=3 - точный корень заданного уравнения, так как при подстановке в это уравнение получается верное числовое равенство:
Ответ: 3; .Пример 2. Решите уравнение: .Решение.
1. Рассмотрим две функции f(x) = и g(x) = .Используем свойства степени и преобразуем выражение :
= , тогда вторую формулу можно переписать в виде: f(x) = .
2. Функция f(x) = - показательная по основанию и ее графиком является кривая, расположенная в верхней полуплоскости.
Функция g(x) =- прямая пропорциональность и ее график - прямая, проходящая через точку .3. Зададим таблицы значений этих функций и затем построим их графики в одной системе координат.
х -3 -2 -1 0 1 2
f(x) = 8 4 2 1
х 1 4
g(x) = 2
4. Графики пересекаются в одной точке - в точке А, ее абсцисса равна единице.Значит, х=1 - корень заданного уравнения.
Примечание:
Если одна часть уравнения содержит убывающую функцию f(x) , а другая часть -возрастающую функцию g(x), и уравнение имеет корень х=, то он -единственный.
В примере 2. : f(x) = убывающая на R функция, а g(x = - возрастающая на R функция, х=1- корень уравнения и он единственный.
Ответ: 1.