Доклад на тему: Один способ организации самостоятельной деятельности учащихся при изучении действии с обыкновенными дробями.

Доклад на тему: Один способ организации самостоятельной деятельности учащихся при изучении действии с обыкновенными дробями.
Учитель математики, высшей категории
Санчат Вера Кур-ооловна Изучение действий сложения, вычитания, умножения и деления обыкновенных дробей было начато за полгода до того, как это тема должна была изучаться по программе. Не в ущерб программному материалу на каждом уроке первого полугодия обучению действиям с обыкновенными дробями отводилось 5-7 минут. Обычно с этой работы начинался урок. Дети рисовали прямоугольник, заштриховывали какие-то части и выполняли одно – два упражнения, о которых шла речь выше. Работа велась неторопливо, каждый ученик имел возможность усвоить смысл производимых операций. Не проводилось по этой теме никаких контрольных работ, не задавалось примеров на дом. Просто делались «заготовки» для последующего успешного усвоения этой темы. Необязательность усвоения рассматриваемых вопросов не сковывала мысль учеников, давала свободу их воображению, инициативе.
К моменту же прохождения темы ими был понят не только смысл каждой операции действий с дробями, но и без зубрежки в памяти учеников уже хранились правила, по которым они выполнялись. В результате школьники не испытывали трудностей при чтении параграфов ученика, при решении предложенных в нем примеров по этой теме. Начался как бы второй этап изучения действий с дробями. Появилась возможность еще раз вникнуть в смысл каждой операции, ликвидировать пробелы в знаниях, если они возникли. Для «сильных» же учеников освободилось время для решения творческих задач по этой теме. Но самое главное, ребята не только осваивали алгоритмы действий, но и учились наблюдать, анализировать, сравнивать полученные результаты, делать выводы и обобщать их. (Эти же мыслительные операции параллельно отрабатывались на лабораторных работах по геометрическому материалу, которые проводились на протяжении всего курса математики V класса)
Этапы такой работы знакомы ребятам с уроков IV класса:
Нарисовать картинку;
Проанализировать изображенную там ситуацию;
Подметить закономерность, если она есть;
Обобщить полученные результаты.
Наметим ориентиры работы по изучению действий с дробями.
Сложение дробей.
Решается серия примеров следующего типа:
А) нарисуйте прямоугольник, ширина которого 1 клетка, а длина 15 клеток.
Б) заштрихуйте 1/15 его долю.
В) заштрихуйте 1/15 его долю (рис 1).

Рис. 1
Г) установите, каким действием можно определить, как часть всего прямоугольника заштрихована.
Д) какие доли мельче: пятнадцатые или пятые?
Е) сколько пятнадцатых долей содержится в 1/15?
Результат записывается: 1/15 + 1/5 = 1/15 + 3/15 = 4/15.
Используя модель, ребята быстро отвечали на все вопросы, так как абстрактные объекты – дроби теперь легко поддавались анализу.
А) установите, сколько клеточек должен содержать прямоугольник, чтобы было удобно заштриховать в нем сначала 1/20, а затем 14 его часть. (Выяснили, что 20 клеточек, и нарисовали прямоугольник размером 5 клеток на 4 клетки).
Б) заштрихуйте 1/20 часть прямоугольника.
В) заштрихуйте ¼ часть прямоугольника.
Г) посмотрите на рисунок (рис 2) и скажите, какие доли более мелкие: двадцатые или четвертые.
Д) посмотрите на рисунок и скажите, сколько двадцатых долей содержится в 1/4.
Зафиксируйте результат в тетради (1/4 = 5/20).
Е) запишите числовым выражением, какую часть прямоугольника вы заштриховали, и попытайтесь найти ее, при этом учтите, что вы умеете складывать дроби с одинаковыми знаменателями (1/20 + ¼ = 1/20 +5/20 = 6/20).
3. На доске написаны примеры:
А) 1/12 + ¼ ; Б) 1/6 + 1/18; В) 1/7 + 1/14
и дан алгоритм их решения.
Посмотрите на знаменатели обеих дробей и подберите наименьшее число, которое делиться на каждый из них.
Постройте прямоугольник, количество клеточек которого равно этому наименьшему числу.
Заштрихуйте часть прямоугольника, равную одной дроби, затем заштрихуйте еще часть прямоугольника, равную другой дроби.
Посмотрите на рисунок и выясните, какие доли мельче.
Узнайте, сколько более мелких долей содержат доли, которые больше. Запишите результат, приравняв большую долю к количеству более мелких долей, содержащихся в ней.
Подсчитайте (на рисунке 2), какая часть всего прямоугольника заштрихована, и
запишите результат сложения заданных дробей.

рис 2.
Несколько примеров по этому алгоритм ребята решили вместе с учителем. Когда же большая часть класса его освоила, работа выполнялась учениками самостоятельно.
Затем класс учился выполнять сложение трех дробей: сначала складывал дроби с числителем, равным единице, чтобы легче запомнить алгоритм, затем – с числителем, отличным от единицы.
4 А) нарисуйте прямоугольник, 1/6 которого содержит 3 клетки.
Б) заштрихуйте 1/18 его часть.
В) заштрихуйте еще 1/9 его часть (рис 3)

Рис.3
Г) определите, какая часть прямоугольника заштрихована.
Д) заштрихуйте еще часть прямоугольника.
Е) посмотрите на рисунок и сравните сумму 1/18 и 1/9 с 1/6 (1/6 = 3/18).
Ж) найдите по рисунку сумму 1/18 + 1/9 + 1/6, предварительно определив самые мелкие доли и раздробив каждую дробь в эти доли.
З) найдите сумму 1/9 и 1/6, по предварительно посмотрите на рисунок и найдите долю, которая укладывается целое число раз и в 1/9, и 1/6.
И) заштрихуйте еще 1/3 часть прямоугольника.
Сколько шестых долей содержится в 1/3?
Сколько девятых ( восемнадцатых) долей содержится в 1/3?
К) найдите суммы:
А) 1/18 + 1/9 + 1/3; Б) 1/3 + 1/6; В) 1/3 – 1/9 + 1/6.
Пользуясь рисунками, не забывайте узнавать, сколько самых мелких долей содержит каждая дробь.
Когда с помощью прямоугольников действие сложения дробей было осмыслено, ученики, складывая, например, дроби 1/36, 5/6 и 7/12, уже не рисовали прямоугольник, а мысленно представляли его (36) клеточек), находили 5/6 его, т.е. 36: 6 х 5, и тем самым узнавали, сколько тридцать шестых долей содержится в 5/6. Такая же работа проводилась и с дробью 7/12. Затем уже легко было сложить дроби с одинаковыми знаменателями.
Таким образом, абстрактное действие сложения дробей было поэтапно отработано на модели и приняло для учеников понятную, вполне осязаемую форму.
Надо заметить, что понятие «наименьший общий знаменатель» не вводилось, хотя при сложении дробей интуитивно ребята его находили (конечно, в самых простых случаях) и называли его просто самым маленьким числом, которое делится на каждый знаменатель.
Чтобы облегчить им поиск наименьшего общего знаменателя, вначале давался подсказывающий пример типа: 1/56 + 3/7 + 5/8, а затем уже предлагалось сложить дроби 4/7 и 3/8, тем самым ребята приучались обращаться к выводам, которые были сделаны при решении предыдущего примера.
И только после серии таких примеров предлагалось сложить, например, дроби 5/7 + 4/9, в качестве подсказки для нахождения наименьшего общего знаменателя давалось указание: « Подберите самое маленькое число, которое делится и на 7 и на 9». Это было сделать нетрудно, так как знаменатели этих дробей опять специально были подобраны взаимно простыми числами, для того чтобы сосредоточить внимание на алгоритме обращения дроби в более мелкие доли.
Деление дроби на целое число ( числитель не кратен ему).
Смысл этой операции, как и операции сложения дробей, рассматривался сначала на рисунке:
Разделите 1/6 на 2
От ребят требовалось выполнение следующей последовательности заданий:
Нарисуйте прямоугольник, ширина которого 1 клетка, а длина 12 клеток.
Заштрихуйте 1/6 его часть красным цветом.
Теперь заштрихуйте половину от заштрихованной части прямоугольника синим цветом.
Посмотрите на прямоугольник и скажите, какая это часть от всего прямоугольника.
Запишите результат: (1/6 : 2) = 1/12.
Подведите итог:
А) какая дробь меньше – 1/6 или 1/12 – и во сколько раз?
Б) какая дробь больше – 1/6 или 1/12 – и во сколько раз?
В) во сколько раз надо уменьшить дробь – 1/6, чтобы получить 1/12?
Г) Рассмотрите на две дроби 1/6 и 1/12 получилась из 1/6 в результате деления на 2. Скажите , какую операцию проделать с числителем дроби 1/6, с ее знаменателем, чтобы получить дробь, в 2 раза меньшую.
Теперь учащиеся догадались. Как разделить дробь на целое число, когда числитель не кратен ему. Этот вывод в дальнейшем был подтвержден аналогичными примерами. От учеников не требовалось быстрого понимания этого правила. Длительное время на различных примерах, рисунках показывалось. Что дробь можно уменьшить двумя способами: либо уменьшив доли (т.е. увеличив знаменатель), либо уменьшив число долей (т.е. уменьшив числитель).
Дальше велась работа с таблицами:
2. Заполните таблицу:
Дробь
4/15 7/9 14/15
Уменьшить
в 2 раза в 7 раз в 2 раза
не меняя доли
не меняя
числа долей 3. Заполните таблицу:
Дробь
3/8 5/9 7/15
Увеличить
в 2 раза в 3 раза в 5 раз
не меняя доли
не меняя
числа долей 4. Следующие задачи позволили обобщить полученную информацию:
1) Нарисуйте прямоугольник, ширина которого 4 клетки, а длина 5 клеток.
2) Заштрихуйте красным цветом 3/20 его части, зеленым – 3/5 его части, синим – 12/20 его частей.
3) посмотрите на рисунок и сравните 12/20 и 3/5 (12/20+ 3/5).
4) По рисунку определите, какая дробь больше – 3/20 или 12/20 и во сколько раз.
(Рассуждения можно вести так: «12/20 содержит 4 ряда клеток, по 3 клетки в каждом, а 3/20 – три клетки, значит, 3/20 в – в 4 раза меньше, чем 12/20»)
5) запишите результат деления – 12/20 на 4 (12/20 : 4 = 3/20)
6) по рисунку установите, сколько раз 3/20 содержатся в 3/5.
7) запишите результат деления – 3/5 на 4 (3/5 : 4 = 3/20).
8) сравните в каждом случае ( 5 и 7) числители и знаменатели делимого и частного.
9) сделайте вывод о двух возможных способах деления дроби на целое число. (В первом случаен при делении дроби на 4 числитель ее уменьшили в 4 раза, а доли остались те же; во втором – увеличили знаменатель в 4 раза, т.е. доли сделали в 4 раза меньше, а число долей не изменилось ( результат в каждом случае один и тот же)).