Методическое руководство по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы по математике по теме: «Построение графиков степенных, показательных и логарифмических функций»
ДЕПАРТАМЕНТ ОБРАЗОВАНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ
ГБПОУ
МОСКОВСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ КОЛЛЕДЖ
Методическое руководство
по выполнению внеаудиторной самостоятельной работы
по математике
по теме: «Построение графиков степенных, показательных и логарифмических функций»
для студентов 1 курса
по специальности 15.02.08 Технология машиностроения
Преподаватель: Рудас И. Г.
Рассмотрено и одобрено
на заседании ПЦК
математических и
естественнонаучных дисциплин
Председатель ПЦК
_____________
Построение графиков степенных, показательных и логарифмических функций
Степенная функция
Степенная функция с натуральным показателем непрерывна на множестве действительных чисел. Если n нечетное, то эта функция строго возрастает и потому обратима. Обратной к ней является функция Степенная функция с четным показателем необратима. Однако если сузить ее область определения до области неотрицательных чисел, то обратной к ней функцией также будет x ≥ 0. На множестве (–∞; 0) функцией, обратной к функции (n – натуральное четное число) будет
.
Степенная и обратная ей функции
Итак, если x > 0, то при любом натуральном n функция xnобратима, а обратная к ней функция nxобозначается как x1n.
Функция также определена и непрерывна на множестве положительных чисел.
Пусть Тогда степенной функцией с рациональным показателем называют функцию
a > 0
ar > 1 a > 1, r > 0 или 0 < a < 1, r < 0
ar < 1 a > 1, r < 0 или 0 < a < 1, r > 0
a > 0
a > 0
a > 1, r1 > r2
0 < a < 1, r1 > r2
Эта функция определена на множестве чисел x > 0 и непрерывна на всей области определения, строго возрастает при r > 0 () и строго убывает при r < 0 ( ).
Перечислим некоторые свойства рациональных степеней.
Степенная функция с вещественным показателем при x > 0 определяется формулой:
xα = eα ln x
(см. определение логарифма). Эта функция непрерывна и строго возрастает (при α > 0) или строго убывает (при α < 0) на всей области определения. Ее областью значений являются все положительные числа.
Показательная функция
В природе и жизни человека встречается большое количество процессов, в которых некоторые величины изменяются так, что их отношение данной величины через равные промежутки времени не зависит от времени. Среди таковых можно назвать радиоактивный распад веществ, рост суммы на счету в банке и др. Все эти процессы описываются показательной функцией.
Пусть – последовательность рациональных чисел, сходящихся к x. Определим число как предел
Показательной функцией с основанием a > 0 называется функция, принимающая значения
График показательной функции
Данный предел не зависит от выбора последовательности rn, приводящей к числу x. Областью определения показательной функции является вся числовая ось. Эта функция непрерывна, монотонно возрастает при a > 1 и монотонно убывает при 0 < a < 1 Функция никогда не обращается в нуль, но имеет горизонтальную асимптоту y = 0.
28575334708500
График экспоненциальной функции y = ex.
Особое значение в приложениях имеет показательная функция, в качестве основания которой используют число e, определяемое как Численно оно равно
e = 2,71828182845904523536...
Определенная так функция называется экспоненциальной или просто экспонентой и обозначается
Логарифмическая функция
На промежутке (0; +∞) определена функция, обратная к ax (a > 0, a ≠ 1). Эта функция называется логарифмической:
y = loga x.
Логарифмическая функция непрерывна и строго возрастает (если основание a > 1) или строго убывает (если 0 < a < 1) на всей области определения. Множество ее значений – все действительные числа.
Так как логарифмическая и показательная функции взаимно обратны, то при a > 0, a ≠ 1,
График логарифмической функции y = log2 x.
Ниже приведены некоторые свойства логарифмов(x > 0, a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, ).
loga (x1 x2) = loga x1 + loga x2,
loga xα = α loga x,
α ≠ 0.
Логарифм по основанию e называется натуральным и обозначается ln x. Логарифм по основанию 10 называется десятичным и обозначается lg x.Самостоятельная внеаудиторная работа
Самостоятельная работа по решению следующей задачи по вариантам, соответствующим порядковому номеру в журнале:
Варианты индивидуальных заданий (по уровням)
Построить графики функций с помощью геометрических преобразований графиков элементарных функций.
Вариант
1 уровень 2 уровень 3 уровень
1 1. y=-43x22. y = log2x1. y=-43x22. y=3x3. y = log2x1. y=23x2-5
2. y=4x+2
3. y = log12x-1
2 1. y=2x122. y=-2x1. y=2x122. y=-2x3. y = log3x1. y=2x12 -3
2. y=-2x-43. y = log3x+33 1. y=-3x22. y = - log2x1. y=-3x22. y=13x3. y = - log2x1. y=-3x2+4
2. y=13x-3
3. y = - log2x+4
4 1. y=23x22. y=4x1. y=23x22. y=4x3. y = log12x1. y=23x22. y=4x3. y = log12x5 1. y=2x122. y = 3log2x1. y=2x122. y=-3x3. y = 3log2x1. y=2x12 +3
2. y=-3x- 4
3. y = 3log2x+3
6 1. y=2x32. y=4x1. y=2x32. y=4x3. y = -2 log2x1. y=2x3-1
2. y=4x-4
3. y = -2 log2x+57 1. y=0,5x22. y = log3x1. y=0,5x22. y=35x3. y = log3x1. y=0,5x2+3
2. y=35x-1
3. y = log3x+4
8 1. y=2x132. y=-2x1. y=2x132. y=-2x3. y = -3 log2x1. y=2x13 +2
2. y=-2x-4
3. y = -3 log2x-1
9 1. y=-3x22. y = 43 log2x1. y=-3x22. y=5x3. y = 43 log2x1. y=-3x2+3
2. y=5x-4
3. y = 43 log2x-3
10 1. y=2x32. y=5x1. y=2x32. y=5x3. y = -4 log2x1. y=2x3+2
2. y=5x-3
3. y = -4 log2x+2
11 1. y=2x-22. y = 3 2 log3x1. y=2x-22. y=2*3x3. y = 3 2 log3x1. y=2x-2+1
2. y=2*3x-3
3. y = 3 2 log3x+2
12 1. y=2x-12. y=4x1. y=2x-12. y=4x3. y = log2x1. y=2x-1-2
2. y=4x+4
3. y = log2x-1
13 1. y=8x22. y = - log4x1. y=8x22. y=32x3. y = - log4x1. y=8x2+1
2. y=32x-3
3. y = - log4x+2
14 1. y=2x132. y=-6x1. y=2x132. y=-6x3. y = 3 log2x1. y=2x13 -3
2. y=-6x+1
3. y = 3 log2x-3
15 1. y=52x22. y = -log4x1. y=52x22. y=34x3. y = -log4x1. y=52x2 +2
2. y=34x-3
3. y = -log4x-1
16 1. y=2x232. y=12*3x1. y=2x232. y=12*3x3. y =3 log2x1. y=2x23 -2
2. y=12*3x+1
3. y =3 log2x+2
17 1. y=2x232. y =3 log2x1. y=2x232. y=12*3x3. y =3 log2x1. y=2x23 +3
2. y=12*3x-23. y =3 log2x+1
18 1. y=-2x233. y =35 log2x1. y=-2x232. y=12*4x3. y =35 log2x1. y=-2x23+1
2. y=12*4x-3
3. y =35 log2x-1
19 1. y=27x22. y=-5*3x1. y=27x22. y=-5*3x3. y = log23x1. y=27x2+2
2. y=-5*3x-1
3. y = log23x+2
20 1. y=-3x22. y = -3 log2x1. y=-3x22. y=15x3. y = -3 log2x1. y=-3x2+2
2. y=15x-1
3. y = -3 log2x+1
21 1. y=-2x2122. y=-5x1. y=-2x2122. y=-5x3. y = log25x1. y=-2x212-1
2. y=-5x+2
3. y = log25x+2
22 1. y=2x42. y = - 12 log2x1. y=2x42. y=13*3x3. y = -12 log2x1. y=2x4+1
2. y=13*3x-23. y = -12 log2x+1
23 1. y=6x22. y=14x1. y=6x22. y=14x3. y = log4x1. y=6x2-1
2. y=14x+1
3. y = log4x-3
24 1. y=-3x22. y =-13 log2x1. y=-3x22. y=-2*3x3. y =-13 log2x1. y=-3x2+2
2. y=-2*3x-1
3. y =-13 log2x+1
25 1. y=2x142. y=5x1. y=2x142. y=5x3. y = -4log2x1. y=2x14 -3
2. y=5x+1
3. y = -4log2x+1
26 1. y=2x-22. y = -log3x1. y=2x-22. y=4x3. y = -log3x1. y=2x-2-1
2. y=4x+3
3. y = -log3x-2
27 1. y=2x132. y=1,5x1. y=2x132. y=1,5x3. y = -log2x1. y=2x13 -3
2. y=1,5x+1
3. y = -log2x+2
28 1. y=2x42. y = - 12 log2x1. y=2x42. y=52x3. y = - 12 log2x1. y=2x4+3
2. y=52x-1
3. y = - 12 log2x+2
29 1. y=-2x122. y=3-x1. y=-2x122. y=3-x3. y = log4x1. y=-2x12+2
2. y=3-x-3
3. y = log4x+1
30 1. y=25x22. y = log23x1. y=25x22. y=-3x3. y = log23x1. y=25x2+2
2. y=-3x-1
3. y = log23x+1
1 уровень - удовлетворительно,
2 уровень - хорошо,
3 уровень – отлично.
Содержание отчета
В тетради для внеаудиторных самостоятельных работ необходимо:
указать тему самостоятельной работы,
указать цель работы,
указать порядок выполнения заданий,
оформить решение задачи в тетради
Используемая литература
1.Математика (Книга 1) Колягин Ю.М. и др..М.: ОНИКС, 2008
2.Математика (Книга 2) Колягин Ю.М. и др.М.: ОНИКС, 2008
3.Практические занятия по математике Богомолов Н.В.М.: Высшая школа,2009