Разработка урока по тему Решение задач с помощью кругов Эйлера
Задачи занятия:
Образовательные:
рассмотреть решение логических задач с помощью кругов Эйлера.
Развивающие:
развитие логического мышления;
развитие поисковой, творческой, познавательной деятельности;
развитие познавательного интереса к предмету;
Воспитывающие:
формирование эстетического наслаждения от выполненной работы;
формирование навыков само- и взаимоконтроля.
Оборудование:
набор задач каждому ученику;
компьютер, проектор;
презентация.
Ход занятия:
Организационный момент.
Всё то что мы изучили раннее используем при решении задач. ( слайд 2—5)
Зачем нужны круги Эйлера? (слайд 6)
Круги Эйлера имеют прикладное назначение, то есть с их помощью на практике решаются задачи на объединение или пересечение множеств в математике, логике, менеджменте и не только.
Если говорить о видах кругов Эйлера, то можно разделить их на те, что описывают объединение
А также на те, что описывают пересечение множеств по какому-то признаку. Таким принципом руководствовался Джон Венн в своих схемах. И именно он лежит в основе многих популярных в интернете мемов. Вот вам один из примеров таких кругов Эйлера
Изучение нового материала.
Задача 1. (слайд 7,8)
Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной.
Сколько шестиклассников:
1. Являются читателями обеих библиотек;2. Не являются читателями районной библиотеки;3. Не являются читателями школьной библиотеки; 4. Являются читателями только районной библиотеки;5. Являются читателями только школьной библиотеки?
Заметим, что первый вопрос является ключевым для понимания и решения данной задачи. Ведь не сразу сообразишь, как получается 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе звучит подсказка к пониманию условия: есть ученики, которые посещают обе библиотеки. А если условие задачи изобразить на схеме, то ответ на первый вопрос становится очевидным.
Решение.
1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.
2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)
3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)
4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)
5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).
Очевидно, что 2 и 5, а также 3 и 4 – равнозначны и ответы на них совпадают
Задача №2: (слайд 9,10)
Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28, французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским -10 , немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.
Сколько туристов не владеют ни одним языком?
Решение:
Выразим условие задачи графически. Обозначим кругом тех, кто знает английский, другим кругом – тех, кто знает французский, и третьим кругом – тех, кто знают немецкий.
Всеми тремя языками владеют три туриста, значит, в общей части кругов вписываем число 3.
Английским и французским языками владеют 10 человек, а 3 из них владеют ещё и немецким. Значит, английским и французским владеют 10-3=7 человек.
В общую часть английского и французского кругов вписываем цифру 7.
Английским и немецким языками владеют 8 человек, а 3 из них владеют ещё и французским. Значит, английским и немецким владеют 8-3=5 человек
В общую часть английского и немецкого кругов вписываем число 5
Немецким и французским языками владеют 5 человек, а 3 из них владеют ещё и английским. Значит, немецким и французским владеют 5-3=2 человека.
В общую часть немецкого и французского кругов вписываем цифру 2.
Известно, что немецким языком владеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими языками, значит, только немецкий знают 20 человек.
Английский язык знают 28 человек, но 5+3+7=15 человек владеют и другими языками, значит, только английский знают 13 человек.
Французский язык знают 42 человека, но 2+3+7=12 человек владеют и другими языками, значит, только французский знают 30 человек
3630295297180французский
французский
26384253619501781175386080По условию задачи всего 100 туристов. 20+30+13 +5+2+3+7=80 туристов знают хотя бы один язык, следовательно, 20 человек не владеют ни одним языком
75374566675немецкий
00немецкий
270637095252
2
3287395952530
30
1991995952520
20
2711450203203
3
23825201454155
5
30111701454157
7
222059510795
26873201143013
13
11633206985английский
английский
Задача 3.( слайд 11,12) ( самостоятельно парами)
В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Решение.
Пусть Д – драмкружок, Х – хор, С – спорт.
Тогда в круге Д – 27 ребят, в круге Х – 32 человека, в круге С – 22 ученика.
Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8 – 3 = 5 спортсменов, не поющих в хоре и 6 – 3 = 3, не посещающих драмкружок.
Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или драмкружок,
22 – (5 + 3 + 3) = 11 занимаются только спортом;
70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.
Ответ: 10 человек и 11 человек
Задача 4°
left46545500Из 100 приехавших туристов 75 знали немецкий язык и 83 знали французский. 10 человек не знали ни немецкого, ни французского. Сколько туристов знали оба эти языка?
left16192500
12954002476500
1950085698583
83
13716008890х
х
571500698575
075
Получим уравнение: 75+83-х=90
158-х=90
х=68
Задача 4. (слайд 16,17,18)
В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?
Решение.
1 способ. Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуютсятолько метро и троллейбусом – (10 – х) человек, только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек, только метро и автобусом – (12 – х) человек.
Найдем, сколько человек пользуется одним только метро: 20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.
Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение: х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30, отсюда х = 3.
2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3. Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.
Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.
Отрабатывание навыков решения задач.
Решение примеров
Урок 1: №
Урок 2: №
Д/З: Урок 1: п. 9.3, №
Урок 2: №