Построение графиков квадратной функции

тема «Определение квадратной функции.функции у=ах2 +n , у=а(х-m)2»
Пояснительная записка

Цель урока: выработать умение строить графики функции у=ах2+п и у=а(х-т)2
с помощью параллельных переносов вдоль осей координат.
Образовательные задачи урока:
способствовать развитию у учащихся навыков чтения и построения графиков функций;
формировать навык простейших преобразований графиков функций;
Развивающие задачи урока:
развивать творческую сторону мыслительной деятельности учащихся,
развивать умение обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;
развивать коммуникативную компетенцию учащихся;
создать условия для проявления познавательной активности учащихся;
Воспитательные задачи урока:
воспитывать культуру умственного труда;
воспитывать культуру коллективной работы;
воспитывать информационную культуру.

Ход урока
Содержание урока Деятельность учителя Деятельность учащихся
ОргмоментЦель: подготовка учащихся к работе на уроке
Приветствует учащихся, определяет отсутствующих, делит класс на группы по желанию учащихся Приветствуют учителя, создают группы, организуют пространство.
Проверка домашнего задания
Цель:
выяснение того, кто из учащихся знает формулы прошлых тем, проверка правильности выполнения задания;
1.Общий вид квадратного уравнения.
2.Формула дискриминанта
3. приведённое квадратное уравнение
4.Формула нахождения корней квадратного уравнения.
5. Приведённое квадратное уравнение.
6.Теорема Виета для приведённого квадратного уравнения
7.Формула разложения квадратного трёхчлена. Выясняет:
кто не справился с заданием;
причины затруднений;
кто выполнил задание

Называют причины затруднений при выполнении задания.
Взаимопроверка по листу криториального оценванияПостановка цели урока.
Устная работа.
Цель:
-актуализация опыта учащихся по данной теме;
-подготовка учащихся к усвоению нового материала;
-организация целенаправленной познавательной деятельности учащихся.


В алгебре достаточно большой раздел посвящается квадратичной функции. С одним из видов квадратичной функции вы знакомы - это функция у = ах2. Сегодня мы снова возвращаемся к рассмотрению квадратичной функции, но заданной уже в виде у = ах2 + Ьх + с. А как вы, ребята, думаете, почему квадратичной функции нужно уделить особое внимание? (Приложение 2)
Ответы:
* Многие величины из окружающей нас жизни связаны зависимостью у = х2, например, площадь квадрата от его стороны.
* Отражающая поверхность фары в автомобиле имеет параболическую форму.
* Некоторые законы физики описываются квадратичной функцией
Вопрос:
Сколько вам необходимо знать точек, чтобы построить график функции
у=ах2?
Ответы:
- составить таблицу значений из 5-7 точек, симметричных относительно оси у;
- вершину О(0;0) и еще 2-3 точки на одной из ветвей параболы.




Вопрос:Как с помощью графика у=х2 построить: а) у=3х2; б)у= ½ х2;
в) у= -3х2
Учитель с помощью программы Advanced Grapher демонстрирует соответствующие преобразования (Приложение 3)
а)графика функции у=х2 в у=3х2
б)графика функции у=х2 в у=1/2х2
в)графика функции у=3х2 в у=-3х2
Ответы:
График функции у = af(x) можно получить из графика функции у = f(х) с помощью растяжения от оси х в а раз, если а > 1, и с помощью сжатия к оси х в 1/а раз, если 0 < а < 1.
График функции у = -f(x) можно получить из графика функции у=f(х) с помощью симметрии относительно оси х.


Учитель.
Ранее было отмечено, что с параболой можно встретиться во многих областях знаний. Приведу еще примеры.
* Если выпустить из орудия снаряд под углом к поверхности земли, то снаряд опишет траекторию, близкую к параболе
(Приложение 4)
* В межпланетном пространстве многие кометы движутся по параболам.
(Приложение 5) Учащиеся приводят свои примеры, где можно встретить параболу
Работа в группах
Цель:
- выработка навыка анализа условия задачи на необходимость и достаточность данных для её решения;
- развивать умение обобщать, классифицировать, строить умозаключения, делать выводы;
- развитие творческой стороны мыслительной деятельности учащихся;
- воспитание культуры коллективной работы.




Учитель. Смогли бы вы построить график функции у=ах2+bx+c, если коэффициенты а,b,с будут заданы
Как вы думаете, какую из известных вам кривых напомнит построенный график?
Проблемная ситуация: Заданы 5 точек на координатной плоскости(задается несколько пятерок).Можно ли по этим точкам построить параболы?(Приложение 6) Ответ.
Да, если взять достаточно большое количество точек.
Параболу.
Учащиеся пытаются построить параболы по указанным точкам.
Проблемная ситуация.
Учащиеся понимают, что ответ могут дать лишь наугад, так как не хватает знаний

Учитель.
Сосредоточьте свой взгляд, свое внимание на форму, расположение парабол. Запишите на листе все проблемы, которые возникают при исследовании зависимости между формой, расположением параболы и функцией, ее задающей.(Приложение 7)
Среди сформулированных вопросов могут быть и такие, на которые ребята могут знать ответ.
Через 4-5мин слушаем ответы.
Некоторые проблемы, которые ставят учащиеся:
От чего зависит расположение вершины параболы?
Что может влиять на «ширину» параболы?
В каких случаях парабола пересекает ось абсцисс, касается ее или не пересекает?
Сколько достаточно знать точек, чтобы построить график любой квадратичной функции?
Таблица 1
х-3 -2 -1 0 1 2 3
у 9 4 1 0 1 4 9
Таблица 2
х-3 -2 -1 0 1 2 3
у 12 7 4 3 4 7 12
Учитель. Начнем исследование функции у=ах2+bх+с с частных случаев. Например, пусть b=0.Рассмотрим на примере функции у=х2+3.
Сравним таблицы значений для функций у=х2 и у=х2+3.
Учащиеся заполняют таблицы (два ученика работают у доски),сравнивают полученные значения и делают вывод, что для любого значения х значение второй функции на 3 единицы больше соответствующего значения первой. Значит, график второй функции есть также парабола, полученная переносом графика первой функции вверх параллельно оси ординат на 3 единицы.

Учитель с помощью интерактивной доски демонстрирует параллельный перенос.(Приложение 8(стр.1))
Учитель предлагает учащимся построить график функции у=х2-5 Учащиеся выполняют построение в тетрадях с помощью шаблонов.
Учащиеся выполняют построение в тетрадях с помощью шаблонов, в той же координатной плоскости.
- Какова область определения функции?
- Какова область значений функции?
Указать промежутки возрастания и убывания функции.
Какая прямая является осью симметрии функции?
Чему равно наименьшее значение функции?
Учитель предлагает учащимся ответить на вопросы, записанные на классной доске.
Учащиеся отвечают на вопросы, сравнивают свойства функций.
Делают вывод: график функции у = ах2 + n является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси у на n единиц вверх, если n > 0, или на n единиц вниз, если n < 0.
Таблица 1.
х-3 -2 -1 0 1 2 3
у 9 4 1 0 1 4 9
Таблица 3.
х1 2 3 4 5 6 7
у 9 4 1 0 1 4 9
Учитель. Теперь рассмотрим функцию у=(х-4)2.Для этого в одной системе координат построим графики функций у= х2 и у=(х-4)2.Таблица значений для первой функции заполнена, составим таблицу значений второй функции. При этом в качестве значений аргумента выберем те, которые на 4 больше соответствующих значений аргумента в таблице 1. Учащиеся заполняют таблицу(один ученик у доски) и замечают, что значения аргумента изменились, а соответствующие значения функции те же, что и записанные во второй строке таблицы 1.

Учитель с помощью интерактивной доски демонстрирует параллельный перенос или предлагает это сделать учащимся.(Приложение 8(стр. 1))
Далее учащиеся строят график, отметив точки, координаты которых указанные в таблице 3.Один ученик выполняет построение на интерактивной доске.
Замечают, что если переместить каждую точка графика функции у=х2 на 4 единицы вправо, то получим график функции у=(х-4)2.
Учащиеся отвечают на вопросы, сравнивают свойства функций.

Учитель предлагает учащимся построить график функции у=(х+6)2 Учащиеся делают вывод: график функции
у =а(х-т)2 является параболой, которую можно получить из графика функции у = ах2 с помощью параллельного переноса вдоль оси х на т единиц вправо, если т > о, или на т единиц влево, если т < о.
6.Закрепление полученных знаний.
№ 87(а,г) Учитель координирует действия учащихся, помогает проговаривать и обосновывать выполняемые преобразования.(Приложение 8(стр.2,3)) Учащиеся выполняют преобразования в тетрадях с помощью шаблонов, розданных учителем. По очереди выполняют преобразования на интерактивной доске.
7. Самостоятельная работа
Цель:
-формировать умения по заданной формуле строить графики функций у = ах2 + n и у =а(х-т)2
Учитель консультирует тех учащихся, которые затрудняются при выполнении задания, выбирает помощников –консультантов из числа справившихся с заданием.
Демонстрирует правильное решение(к каждому графику подвигаем соответствующую формулу) (Приложение 9) Учащиеся выполняют работу в тетрадях.
Помощники - консультанты помогают затрудняющимся8. Подведение итогов.
Домашнее задание:п.13 №249 247(на 3), №249 (на 4), №252( на 5) Учитель обращается к учащимися с просьбой проговорить изученные правила построения графиков. Задает домашнее задание Учащиеся проговаривают основные правила преобразований графиков и записывают домашнее задание.