Урок Квадратный трехчлен и его корни

Учитель высшей категории: Минайченко Н.С., гимназия №24, г.Севастополь

Урок в 8 классе: «Квадратный трёхчлен и его корни»

Тип урока: урок новых знаний.

Цель урока:
организовать деятельность учащихся по закреплению и развитию знаний о разложении квадратного трехчлена на линейные множители, сокращении дробей;
развивать навыки в применении знаний всех способов разложения на множители: вынесение за скобки, с помощью формул сокращенного умножения и способа группировки с целью подготовки к успешной сдаче экзамена по алгебре;
создать условия для развития познавательного интереса к предмету, формирования логического мышления и самоконтроля при использовании разложения на множители.

Оборудование: мультимедийный проектор, экран, презентация: «Корни квадратного трехчлена», кроссворд, тест, раздаточный материал.

Основные понятия. Разложение квадратного трёхчлена на множители.

Самостоятельная деятельность учащихся. Применение теоремы о разложении квадратного трёхчлена на множители при решении задач.


План урока

Этапы урока
Время, мин
Приемы и методы

I. Этап актуализации знаний. Мотивация учебной деятельности.
7
Беседа учителя, презентация.

II. Изучение нового материала. Формирование у учащихся представления о формуле разложения квадратного трехчлена на множители.
10
Объяснение учителя с иллюстрациями слайдов презентации. Эвристическая беседа.

III. Формирование умений и навыков. Отработка изученного материала
20
Решение задач.
Ответы на вопросы учащихся

IV. Первичная проверка усвоения знаний. Рефлексия
5
Сообщение учителя.
Сообщение учащихся

V. Домашнее задание
3
Запись на доске


Методический комментарий:
Эта тема является основополагающей в разделе «Тождественные преобразования алгебраических выражений». Поэтому важно, чтобы учащиеся автоматически умели не только видеть в примерах формулы разложения на множители, но и применять их в других заданиях: в таких как решение уравнений, преобразование выражений, доказательство тождеств.

В этой теме основное внимание уделяется разложению квадратного трёхчлена на множители:
ax13 EMBED Equation.3 1415 + bx + c = a(x – x13 EMBED Equation.3 1415)(x – x13 EMBED Equation.3 1415),
где x13 EMBED Equation.3 1415 и x13 EMBED Equation.3 1415– корни квадратного уравнения ax13 EMBED Equation.3 1415 + bx + c = 0.

Это позволяет расширить поле зрения учащегося, научить его мыслить в нестандартной ситуации, используя при этом изучаемый материал, т.е. используя формулу разложения квадратного трёхчлена на множители:
умение сокращать алгебраические дроби;
умение упрощать алгебраические выражения;
умение решать уравнения;
умение доказывать тождества.

Основное содержание урока:
№1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
 а) 3x13 EMBED Equation.3 1415 + 5x – 2;
б) –x13 EMBED Equation.3 1415 + 16x – 15;
в) x13 EMBED Equation.3 1415 – 12x + 24;
г) –5x13 EMBED Equation.3 1415 + 6x – 1.
№2. Сократите дробь:
а)
в)
б)


г)


№3. Упростите выражение:
а)


б)

№4. Решите уравнение:
а)


б) Ход урока:

I. Этап актуализации знаний.
Мотивация учебной деятельности.

а) из истории:
Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.
Древнеиндийский математик Баудхаяма в VIII столетии до н.э. впервые использовал квадратные уравнения в форме ax13 EMBED Equation.3 1415 = c и ax13 EMBED Equation.3 1415 + bx = c и привел методы их решения.
Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. и китайские математики примерно со II века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения.
Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры). Его правило по существу совпадает с современным.
Франсуа Виет (1540-1603)- французский математик, по образованию юрист. Ввел буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и коэффициентов, благодаря чему стало возможным выразить зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения.


б) кроссворд:

Разминка-тренировка ума – кроссворд:

13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415



По горизонтали:
1) Корень второй степени называется. (квадратный)
2) Значения переменной, при котором уравнение становится верным равенством (корни)
3) Равенство, содержащее неизвестное называется (уравнение)

·4) Индийский ученый, который изложил общее правило решения квадратных уравнений (Брахмагупта)
5) Коэффициенты квадратного уравнения - это (числа)
6) Древнегреческий ученый, придумавший геометрический метод решения уравнений (Евклид)
7) Теорема, связывающая коэффициенты и корни квадратного уравнения (Виета)
8) «различающий», определяющий корни квадратного уравнения – это (дискриминант)
Дополнительно:
Если Д>0, сколько корней? (два)
Если Д=0, сколько корней? (один)
Если Д<0, сколько корней? (нет действительных корней)
По горизонтали и вертикали тема урока: «Квадратный трехчлен»

б) мотивация:
Эта тема является основополагающей в разделе «Тождественные преобразования алгебраических выражений». Поэтому важно, чтобы вы автоматически умели не только видеть в примерах формулы разложения на множители, но и применять их в других заданиях: таких как сокращение дробей, решение уравнений, преобразование выражений, доказательство тождеств.
Сегодня мы основное внимание уделим разложению квадратного трёхчлена на множители:


II. Изучение нового материала.

Тема: Квадратный трёхчлен и его корни.

Общая теория многочленов многих переменных далеко выходит за рамки школьного курса. Поэтому мы ограничимся изучением многочленов одной действительной переменной, да и то в простейших случаях. Рассмотрим многочлены одной переменной, приведённые к стандартному виду.

Многочлен 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415, a, b
· числа, x
· переменная, называется многочленом первой степени.

Многочлен 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 ,a, b, c
· числа, x
· переменная, называется многочленом второй степени (квадратным трёхчленом, квадратичной функцией).

Корнем многочлена называется значение переменной, при котором значение многочлена равно нулю. Значит, чтобы найти корни многочлена, надо приравнять его к нулю, т.е. решить уравнение.

Корень многочлена первой степени 13 EMBED Equation.3 1415 легко найти 13 EMBED Equation.3 1415. Проверка: 13 EMBED Equation.3 1415.

Корни квадратного трехчлена можно найти, решив уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415.
По формуле корней квадратного уравнения находим:
13 EMBED Equation.3 1415 ; 13 EMBED Equation.3 1415

Теорема (о разложении квадратного трехчлена на множители):
Если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415-корни квадратного трехчлена 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
· 0,
то 13 EMBED Equation.3 1415.


Доказательство:
Выполним следующие преобразования квадратного трехчлена:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
Так как дискриминант13 EMBED Equation.3 1415, получим:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
Применим в скобках формулу разности квадратов и получим:
13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415,
так как 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415. Теорема доказана.

Полученная формула 13 EMBED Equation.3 1415 называется формулой разложения квадратного трехчлена на множители.



III. Формирование умений и навыков.

№1. Разложите на множители квадратный трёхчлен:
Иллюстрация решения
Закрепление

а) 3x13 EMBED Equation.3 1415 + 5x – 2;
Решение:
13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: 3x13 EMBED Equation.3 1415+5x–2=3(х+2)(х-13 EMBED Equation.3 1415)=(х+2)(3х-1)
На доске:
б) –5x13 EMBED Equation.3 1415 + 6x – 1;


Дополнительно:
в) x13 EMBED Equation.3 1415 – 12x + 24;

г) –x13 EMBED Equation.3 1415 + 16x – 15.


№2. Сократите дробь:
Иллюстрация решения:
Закрепление

а)

Решение:
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
На доске:
б)

Дополнительно:
в)
г)



Дополнительно:
№3. Упростите выражение:

а)



б)



№4. Решите уравнение:


а)



б)
IV. Первичная проверка усвоения знаний.

а) Тест.
Вариант 1.

1. Найти корни квадратного трехчлена: 2х2-9х-5

Ответ:

2. Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было верным равенство:
2х2-9х-5=2(х-5)()?

Ответ:

3. Сократите дробь: 13EMBED Equation.31415=

Ответ:


Вариант 2.

1. Найти корни квадратного трехчлена: 2х2+5х-3

Ответ:

2. Какой многочлен надо подставить вместо многоточия, чтобы было верным равенство: 2х2+5х-3=2(х+3)()?

Ответ:

3. Сократите дробь:13 EMBED Equation.3 1415=

Ответ:

б) Взаимопроверка по вариантам (ответы и параметры оценивания иллюстрируются).

в) Рефлексия.
V. Домашнее задание.








13PAGE 15


13PAGE 14715








Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native