Решение уравнений, содержащих переменную под знаком модуля

Существенной характеристикой числа как в действительной, так и в комплексной области является понятие его абсолютной величины или модуля.
Это понятие имеет широкое распространение в различных отделах физико-математических и технических наук.
В школьном курсе вводится понятие модуля числа и с помощью этого понятия формулируются правила действий над рациональными числами, понятие абсолютной погрешности приближенного числа, свойства арифметического квадратного корня, рассматриваются свойства корна n-степени, исследование функции.
В 6-ом классе можно решать уравнения вида |кх + в| = а,
в 7-ом классе вида |кх + в| = ах + с,
а также построение графиков функции вида:
у = к · |х| + в; у = |кх + в|;у= 1х и др.,
в 8-9-м классах графики функций вида у = |ах2 + вх + с|; у = 3х; у = х и др.
При построении графиков целесообразно использовать метод преобразований графиков (параллельный перенос, симметрия и др.).
Рассмотрим решения вопросов, связанных с понятием модуля, которые могут быть рассмотрены как на уроке, так и во внеклассной работе.
Основные определения и основные теоремы.
Определение 1.
Модулем действительного числа а называется неотрицательное число, взятое из двух чисел а или -а27203405397500 а, если а >0
Из определения следует |а| = 0, если а = 0
- а, если а < 0
Теорема 1.
Противоположные числа имеют равные модули, т.е. |а| = |-а|
Теорема 2.
Модуль суммы конечного числа действительных чисел не превосходит сумму модулей слагаемых, т.е. |а1 + а2 + …+ аn| ≤ |а1| + |а2| + … + |аn|
Теорема 3. |а - в| ≤ |а| + |в|
Теорема 4. ||а| - |в|| ≤ |а ± в| ≤ |а| + |в|
Теорема 5.|а · в| = |а| · |в|
Теорема 6.aв= aвв ≠ 0
Пример. Решить уравнение:-5х+2= 10х-11х+2= 2х-1
х-1х+2=2или х-1х+2=2
имеемх-1х+2=2и х-1х+2=-2следовательно,
х1 = -5;х2 = -1
Решение уравнений
Решение уравнения вида |ƒ(х)| = а, где а ≥ 0
Решить уравнение: |х-3| = 2
1300480355600066738593980|х – 3| =
020000|х – 3| =
х – 3, х ≥ 3х – 3 = 2х1 = 5
-х + 3, х < 3х – 3 = -2х2 = 1
Пример № 2. Решить уравнение:
|sin x + cos x| = 1
Решение
|sin x + cos x| = 1 =>sin х + cos х = 1
или sin x + cos x = -1
Решим эти два уравнения.
sin х + cos х = 1sin х + cos х = -1
cos х - π4 = 22cos( х - π4 ) = - 22х = π4 ± π4 + 2πκ, κ ϵ zх = π4 ± 3π4 + 2πn, n ϵ z
х1 = π4 - π4 + 2πκ, κ ϵ zх1 = - π2 + 2πn, n ϵ z
х1 = 2πκ, κ ϵ zх2 = π + 2πn, n ϵ z
х2 = π2 + 2πκ, κ ϵ z
Общий вид решения будет х = 2πκ2
Ответ: 2πκ2, κ ϵ z
Уравнение вида ƒ|х| = а
351726528892500124650528892500Чтобы решить уравнение вида ƒ|х| = а рассмотрим решение двух систем:
ƒ(х) = а иƒ(-х) = а
х ≥ 0х ≤ 0
Функция g(х) = ƒ|х| - а четная.
Значения переменной, при которой функция обращается в нуль, будут противоположные числа. Поэтому достаточно найти решение одной из систем, второй корень будет противоположным ему числом.
Например: Решить уравнение х2 - |х| = 6
Решение
56089552921000х, х ≥ 0
х2 - |х| = 6по определению абсолютной величины |х| = - х, х < 0
данное уравнение распадается на совокупность двух смешанных систем
2588260444500763270444500х2 – х = 6их2 + х = 6
х ≥ 0 х ≤ 0
1710055444500Решим систему х2 – х - 6 = 0
х ≥ 0
Уравнению х2 – х - 6 = 0 удовлетворяют числа х1 = -2 и х2 = 3, из которых условию х ≥ 0 удовлетворяет х2 = 3.
Следовательно, корнями данного уравнения являются числа 3 и -3,
Ответ: 3, -3
Уравнение вида |ƒ(х)| = φ(х)
Данное уравнение |ƒ(х)| = φ(х) распадается на совокупность двух смешанных систем:
3001645-1270001263650-127000ƒ(х) = φ(х)ƒ(х) = -φ(х)
φ(х) ≥ 0 иφ(х) ≥ 0
Например:
Решить уравнение |3х - 7| = х – 2
Решение
|3х - 7| = х – 2
349504021018500126365021018500Решению подлежат две системы:
3х – 7 = х – 2и3х – 7 = 2 – х
х - 2 ≥ 0 х - 2 ≥ 0
344805022860000121729522860000
2х = 5и4х = 9
х – 2 ≥ 0х – 2 ≥ 0
34950405080001263650508000х = 2,5их = 2,25
х – 2 ≥ 0х – 2 ≥ 0
Числа 2,5 и 2,25 удовлетворяют данному уравнению
Ответ: 2,5; 2,25
Решить уравнение |х2 - 4| = х2 – 4
39370015875000Решение
3411855317500х2 – 4 = х2 – 4и х2 – 4 = 4 – х2
х2 – 4 ≥ 0 х2 – 4 ≥ 0
34728156350039370063500 х – любое числоих = ± 2
х ≥ 2 и х ≤ -2х ≥ 2 х ≤ - 2
Ответ: уравнению удовлетворяют все значения х ≥2 и х ≤ - 2
Решить уравнение: |sin x| = sin x
Решение
350964515240007416801524000sin x = sin xиsin x = -sin x
sin x ≥ 0sin x ≥ 0

299466012065007416801206500х – любоех = πκ, κ ϵ z
2πn ≤ х ≤ π + 2πn и2πn ≤ х ≤ π + 2πn, n ϵ z
Ответ: 2πκ ≤ х ≤ π + 2πn, n ϵ z
Уравнение вида |κ1х + в1| ± |κ2х + в2| ± …± |κnх + вn| = а
Для решения уравнения такого вида найдем абсциссы точек перелома графика функции – левой части этого уравнения, т.е. х1 = - В1К1;х2 = - В2К2; …. хn= - ВnКn;
пусть х1 < х2 < ……< хnДанное уравнение последовательно рассмотрим на промежутках: (-∞; х1]; [х1; х2]; [х2; х3]; …. [хn; ∞).
На промежутке (-∞; х1] получим некоторое линейное уравнение ƒ1(х) = 0 и его корень х = а1.
Если а1 содержится в (-∞; х1], то а1 корень данного уравнения, а если не содержится, то а1 не является корнем данного уравнения. И так рассмотрим решение на каждом из промежутков.
Примеры.
Решить уравнение |х - 1| + |х - 2| = 1
Точки перелома х1 = 1, х2 = 2.
Решение уравнения рассмотрим на промежутках (-∞; 1]; [1; 2]; [2; ∞).
х < 1; - х + 1 – х + 2 = 1; -2х = 2;х = 1 Так как 1 ϵ (-∞; 1], то х = 1
является корнем уравнения
1 ≤ х ≤ 2; х – 1 – х + 2 = 1; 0 · х = 0; х – любое число из множества [1; 2]
х ≥ 2 х – 1 + х – 2 = 1; 2х = 4; х = 2 2 ϵ [2; ∞)Ответ: [1; 2]
Решить уравнение:
|2х - 3| + |х - 3| - |4х - 1| = 0
Найдем точки перелома:
х1 = 14; х2 = 1,5;х3 = 3
Промежутки задания уравнения:
(-∞; 14];[14; 1,5];[1,5; 3];[3; ∞)
1. х ≤ 14;-2х + 3 – х + 3 + 4х – 1 = 0; х = -5
-5 ϵ (-∞; 14]значит х = -5 корень уравнения2. 14 ≤ х ≤ 1,5;-2х + 3 – х + 3 – 4х + 1 = 0;х = 1
1 ϵ [14; 1,5]х = 1 корень уравнения
1,5 ≤ х ≤ 3; 2х – 3 – х + 3 – 4х + 1 = 0;-3х = -1;х = 13 13 ϵ 32; 3 ;х = 13 не является корнем уравнения
х ≥ 3;2х – 3 + х – 3 – 4х + 1 = 0;х = -5 не является корнем уравнения
-5 ϵ [3; ∞)Ответ: -5; 1
3. Решить уравнение: | | | |х| - 2| -1| -2| = 2
Решение
По определению модуля имеем: | | |х| -2| -1| -2 = ± 2, т.е. два уравнения
Решим первое Решим второе уравнение
| | | х| -2| -1| -2 = 2 | | | х| -2| -1| -2 = -2
| | | х| -2| -1| = 4 | | | х| -2| -1| = 0
| | х| -2| -1| = ±4 | | х| -2| = 1
| | х| -2| = 5 и | | х| -2| = -3 | х| -2 = ± 1
|х| - 2 = ± 5;||х| -2| = -3 - не имеет решения;|х| = 3 или |х| = 1
х = ± 3х = ± 1
|х| = 7 или |х| = -3 - нет решения
х = ±7
Ответ: ±1; ±3; ±7
Решите уравнения:
а) | | х - 1| - 1| = 2;б) |х - 3| = (х – 3)2
в) |х + 1| - |х - 1| = 2г) |х| = х + 3
д) |х + 2| + |х| + |х - 2| = 4е) log2 |х3 + 2х2 – 4х -2| = 2
ж) |sin 2х| = 12