Конспект урока по теме«Производная показательной функции»

Конспект урока по теме «Производная показательной функции» в 11 классе.
Цель: Ввести понятие «экспоненты», «натурального логарифма», сформировать понятие о производной показательной функции y=ех.
Задачи:
Образовательная: сформировать навык вычисления показательной функции, пользуясь правилами и формулами дифференцирования
Развивающая: развить и совершенствовать применение правил дифференцирования для показательной функции.
Воспитательная: воспитывать у учащихся аккуратность, культуру поведения и речи.
Ход урока
1. Организационный момент, объявление темы и цели урока
«Сегодня на уроке мы изучаем новую тему «Производная показательной функции». Наша цель познакомиться с понятием «экспоненты», «натурального логарифма», с теоремой о дифференцировании показательной функции.
2. Устная работа:
- Вспомним правила дифференцирования функции:
А) чему равна производная алгебраической суммы двух функций: (u + v)′ = u′ + v′;
Б) чему равна производная произведения функций (u∙v)′= u′∙v + u∙v′;
В) чему равна производная частного двух функций ;
Г) чему равна производная степенной функции (xn)′=n∙xn-1;
Д) чему равна производная тригонометрических функций (синуса, косинуса, тангенса и котангенса);
Е) чему равна производная константы c′= 0;
Ж) чему равна производная произведения константы на функцию (c∙u) ′ = c∙u′;
Все вышеуказанные формулы воспроизводятся на интерактивной доске.
3. Тематический контроль (найти производные функций, выбрать правильный ответ и записать код ответа). Работа выполняется по вариантам.
  1 2 3
y=2x+5 y′=2x y′=2 y′=-2
y=sin y′=0.5cos y′= cos y′=0.5sin
Y=x4- y′=3x- y′=4x3- y′=4x3+
  1 2 3
y=2x3-6x y′=6x2-6 y′=2x2-6 y′=6x-6
y=cos2x y′=-sin2x y′= -2sin2x y′=2sin2x
y=2 y′=2x y′= y′=
Дети сдают карточки с ответами учителю. Учитель проверяет работы, дети записывают в тетради тему урока.
4. Объяснение нового (с помощью мультимедийного оборудования)




график какой функции изображен на доске (y=2x),
в какой точке к графику функции проведена касательная (х=0),
какой угол образует касательная с положительным направлением оси абсцисс (35°),
какой угол образует касательная к графику функции y=3x (48°),
для функции y=10x в аналогичной ситуации получаем угол 66,5°,
Вывод: если основание показательной функции а увеличивается от 2 до 10, то угол между касательной к графику функции в точки х=0 и осью абсцисс постепенно увеличивается от 35° до 66,5°.
Логично предположить, что существует основание а, для которого соответствующий угол равен 45°.
между какими числами лежит основание а (2 и 3),
доказано в математике, что интересующее нас основание существует. Его принято обозначать буквой е. В математике установлено, что число е – иррациональное, т.е. представляет собой бесконечную десятичную непериодическую дробь.
е = 2,7182818284590…
На практике обычно полагают, что е = 2,7
1828 – это год рождения Льва Николаевича Толстого.

График функции y=ех. Показательная функция с основанием е называется экспонентой.
перечислите свойства функции y=ех,
чему равен tg45°,
чему равно значение tg45° для функции y=ех (геометрический смысл производной),
дайте определение производной в точке х = 0 (∆y/∆x) при ∆x стремящемся к нулю,
чему равна производная функции y=ех в точке х=0 (y′ =1), т.е.  при ∆x стремящемся к нулю,
Теперь докажем теорему о производной функции y=ех.
Теорему доказывает ученик.
- Что использовали в доказательстве теоремы? (определение производной, теоремы о пределах);
Учащиеся записывают доказательство в тетрадь.
 (ех)′ = ех
Показательная функция с основанием е называется экспонентой. Рост и убывание функции со скоростью экспоненты называется экспоненциальным. Экспоненциальный рост и убывание часто встречается в природе и технике. Иногда формулы для экспоненты записываются в виде exр(х) вместо ех.
Найти производные функций (учащиеся по очереди выходят к доске и вычисляют:
- (2ех)′ =2ех,
- (е5х)′ = е5х∙5 = 5е5х,
- (10е-3х)′ = 10е-3х∙ (-3) = -30е-3х,
- ,
- ,
– Открыли учебники(стр. 242) и читаем определение натурального логарифма.
На доске записываем
Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию е.
Вычислить:





5. Закрепление нового материала (работа с учебником)
Выполнить задание № 538, 540 (а), 543 (а, в), 544 (в).
№538
y’=(4ex+5)’=4ex+5
y’=(3-0.5ex)’=-0.5ex
y’=(2x+3e-x)’=2-3e-x
y’=(5e-x)’=-5e-x
Решаем на доске с комментариями.
Вспомним уравнение касательной к графику функции в точке х0
№540
f(x)=e-x, x0=0
f(0)=1
f’(0)=-e-x0= -1
y=1-1*(x-0)
y=1-x
№543
y’=(ex2*sinx/2)’=2xex2sinx/2+ex20.5cos0.5x
№544(б)
6. Итог урока:
с чем познакомились на сегодняшнем уроке,
что такое число е,
как называется функция y=ех,
как читается теорема № 1,
что такое натуральный логарифм,
7. Домашнее задание: индивидуальная работа по карточкам.