Прикладной курс по физике: Точки соприкосновения математики и физики при решении физических задач

Согласованно: __________
Заведующий районным методическим кабинетом
Туребекова М.М.__________


Утверждаю: ____________
Директор КГУ «Петерфельдская
средняя школа»
Куандыков С.К.__________






Прикладной курс по физике
Тема: «Точки соприкосновения
физики и математики при решении физических задач»




Учитель физики: Быкова Мария Александровна

Класс: 11 «Б»
Количество часов: 34 (1 час в неделю)








2015-2016 учебный год
Целями освоения прикладного курса «Точки соприкосновения физики и математики при решении физических задач» являются: формирование навыков моделирования (представления) аналитических задач графически; развитие логического мышления, интуиции, воображения; систематизация и закрепление практических навыков использования математических приемов (интегрирование, дифференцирование, применение систем линейных уравнений, а также исследование математических функций) и методов при решении конкретных физических задач из разных разделов школьной физики.

Основные задачи курса: научиться представлять аналитическое условие задачи графически и наоборот; понимать (находить) в условии математической задачи физический смысл; показать на примерах решения задач на различие способов оформления решения в математике и в физике.


В результате освоения прикладного курса обучающийся должен:
Знать:
- рациональные приемы сведения задачи по физике к формулировке соответствующей математической задачи, основанной на использовании необходимых физических законов, и ее дальнейшего решения.
Уметь
- проводить необходимые тождественные преобразования математических выражений; решать системы алгебраических и тригонометрических уравнений; использовать теоремы геометрии в процессе решения физических задач;
- находить производные от степенных, показательных, логарифмических и тригонометрических функций, учитывая единицы измерения входящих в них физических величин;

С какими проблемами мы сталкиваемся при решении задач по физике?
Учащиеся не умеют применять математическую терминологию (слагаемое, сумма, произведение, частное и т.д.) применительно к физическим условиям. Отсюда неумение формулировать и выражать неизвестные величины из простейших уравнений. Например: S=
·*t 13 QUOTE 1415t=?
Выработанная на уроках математики привычка обозначать неизвестную величину через х нередко вызывает затруднения при переходе на язык формул в физике.
При оперировании очень большими числами (скорость света 300000 км/с) или очень маленькими (массы молекул) учащиеся допускают ошибки при переходе к записи чисел с помощью степени числа 10. Не помнят правила нахождения суммы, разности, умножения, деления, корней степенных функций.
Курс механики насыщен задачами (графическими, аналитическими). Учащиеся сталкиваются с понятием функции и способами ее задания. При этом проявляют неумение «читать» графики, строить их и распознавать математические аналоги. Например:
Sx=
·x*t 13 QUOTE 1415 y=k*x

·x=
·0x+ax*t 13 QUOTE 1415 y=a*x+b
x=x0+
·0x*t+ax*t2/2 13 QUOTE 1415 y=a*x2+b*x+c

Анализ работ входного контроля знаний показывает:
80% учащихся не умеют переводить единицы измерения физических величин из одной системы в другую. Например: л13 QUOTE 1415 м3, м13 QUOTE 1415км, км/ч 13 QUOTE 1415 м/с и т.д.
90% учащихся затрудняются при выводе простейших формул.
85% учащихся допускают ошибки даже при вычислениях с калькулятором.

Сложности, испытываемые при вычислениях:
Путаница в порядке выполняемых действий.
Затруднения при вычислениях в смешанных выражениях, где присутствуют и натуральные числа, и степенные функции (10х).
Незнание таблицы умножения.
Незнание правил сложения и вычитания чисел с разными знаками и др.

Учащиеся 2 курса при изучении темы «Гармонические колебания» показывают полное незнание навыков построения и чтения графиков периодических функций синуса, косинуса, неумение определять периоды этих функций.
Одно из важных прикладных значений математики – применение производной для нахождения уравнений зависимости физических величин. Например, уравнение зависимости проекции скорости от времени
·x(t) – первая производная от уравнения координаты:

·x(t) = х13 QUOTE 1415
А уравнение зависимости проекции ускорения от времени ах(t) - первая производная от уравнения проекции скорости или вторая производная от уравнения координаты:
ах(t) =
·x’(t) = х13 QUOTE 1415
Процесс нахождения подобных производных – сложно решаемая задача для учащихся и требует многократного повторения на простых примерах в математической записи.



№ п/п
Тема
Содержание урока
Количество часов
Сроки

1.
Стандартный вид числа. Запись больших и малых чисел.
Определение числа, размеров молекул.
Определение количества теплоты при изменении агрегатных состояний вещества.
Вычисление расстояний до планет Солнечной системы.
1


2.
Использование свойств степени с целым показателем. Действия с числами разных знаков.
Выполнение вычислений в смешанных выражениях, где присутствуют и натуральные числа, и степенные функции (10х)
1


3.
Система СИ. Перевод единиц измерения. Округление чисел.
Перевод единиц измерения массы, скорости, времени, работы и энергии, плотности, мощности, длины, температуры, а также физических величин, используемых в ядерной физике и астрономии. Округление чисел.
1


4
Выражение величины из формулы.
Работа с формулами по физике. Решение задач на уравнение Эйнштейна для фотоэффекта, закон Кулона, закон Всемирного тяготения, закон сохранения импульса.
2


5.
Решение линейных уравнений
Решение задач на тему: «Равномерное прямолинейное движение»
1


6.
Решение квадратных уравнений
Решение задач на темы: «Равноускоренное движение», «Свободное падение тел» Решение задач на определение времени и места встречи. Описание движения.
2


7.
Построение графиков функций. Анализ графиков.
Решение задач по темам: Равномерное движение. Равнопеременное движение. Второй закон Ньютона. Работа. Кинетическая энергия. Трение. Свободное падение тел.. Гармонические колебания. Сложение колебаний. Волны.
3


8.
Нахождение по графику значений функций
Графики температуры. Газовые законы. Закон Гука. Диаграмма растяжения. Тепловое расширение тел. Плавление и отвердевание. Парообразование и кипение. Насыщенные пары. Критическое состояние вещества. Влажность. Работа пара и газа. Механический эквивалент теплоты. Тепловые машины.

3


9.
Составление уравнений по графикам функций.
Решение графических задач по кинематике
По темам: Электрический ток в вакууме. Электрический ток в газах. Полупроводники. Электрический колебательный контур Сплошной спектр. Линейчатый спектр. Обзор электромагнитных волн. Фотоэффект. Фотоэлементы. Излучение атома. Радиоактивность. Ядерные реакции
3


10.
Действия с десятичными дробями
Выполнение действий с десятичными дробями. Сравнение десятичных дробей.
1


11.
Решение системы уравнений с двумя неизвестными способом подстановки.
Решений задач по механике повышенной сложности. Решение задач на определение времени и места встречи.
2


12.
Нахождение коэффициента пропорциональности.
Научиться определять прямую и обратную зависимость физических величин в формулах. Решение задач на умение определять одну физическую величину при увеличении (уменьшении) связанной с ней другой физической величины.
2


13.
Нахождение соотношений между углами и сторонами прямоугольного треугольника.
Решение задач на нахождение перемещения, на нахождение равнодействующей сил, на применение второго закона Ньютона.
2


14.
Нахождение периодов тригонометрических функций.
Решение задач на тему: «Гармонические колебания»
2


15.
Нахождение производной и первообразной функций.
Нахождение производных в курсе физики 10, 11 классов при изучении кинематики, механических и электромагнитных колебаний.
Например: q=qmcosw t, i(t)=q’(t)=-qm wsinwt

2


16.
Действия с векторами
Решение задач по кинематике. Нахождение векторов перемещения и скорости.
2


17.
Нахождение проекции вектора на ось.
Решение задач по кинематике. Нахождение векторов перемещения и скорости.
1


18.
Использование логарифмов и показательных функций, свойств степени с рациональным показателем.
Выполнение заданий с логарифмами, с показательными функциями. Например: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– закон радиоактивного распада
2


19.
Итоговое тестирование
Тестирование
1



6. Применение квадратных уравнений при решении физических задач
Задача 1.
 Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 40 м/с. Через сколько секунд оно окажется на высоте 60 м?
Решение. Из курса физики известно, что если не учитывать сопротивление воздуха, то высота h(м), на которой брошенный вертикально вверх мяч окажется через t(c), может быть найдена по формуле13 EMBED Equation.3 1415, где Vo(м/с)-начальная скорость, g-ускорение свободного падения, приближенно равное 10 м/с2. Подставив значения h и V в формулу, получим 60=40t-5t2. Получили квадратное уравнение, решим его. 5t2-40t+60=0, t2-8t+12=0, D=16, t1=2; t2=6. Рассмотрим график зависимости h от t, где h=40t-5t2. Из графика видно, что мяч, брошенный вертикально вверх, в течении первых 4с поднимается вверх до высоты 80 м, а затем начинает падать. На высоте 60 м от земли оно оказывается дважды: через 2 с и через 6 с после бросания. Условию задачи удовлетворяют оба найденных корня.
Ответ: на высоте 60 м тело окажется через 2 с и через 6 с.





2. Задача: Два резистора соединяют сначала последовательно, затем параллельно и дважды подключают к источнику постоянного напряжения. В первом случае в цепи рассеивается мощность Р1 =4 Вт, во втором – Р2=18 Вт. Найдите мощность электрического тока в каждом резисторе в случае поочередного подключения резисторов к тому же источнику. Решение: В первом случае сопротивление цепи равно R1 + R2 (соединение последовательное). Мощность, рассеиваемая в цепи,U2 Р1 = Во втором случае сопротивление цепи равно (соединение параллельное). Мощность, рассеиваемая в цепи, Р2= Разделив второе равенство на первое, получим квадратное уравнение для отношения z= сопротивлений Z2 – ( - 2)z + 1 = 0, корни которого находим по формуле z1,2 = ( - 2) ± = , z1 = 2, z2 = 0.5. Оба корня имеют физический смысл – одно из сопротивлений вдвое больше другого. Для определенности будем считать R1 = 2 R2. Тогда из равенства Р1 = = = Находим мощности, рассеиваемые на резисторах, в случае их поочередного подключения к источнику постоянного напряжения, Р1 * = = = Р1 = 4 = 6 Вт, Р2 *= = 3 Р1 = 34 = 12 Вт Ответ: 6Вт, 12 Вт 

7

Задание 1 № 101. Может ли график зависимости пути от времени иметь следующий вид?
 

 
1) да
2) нет
3) может, если траектория прямолинейная
4) может, если тело возвращается в исходную точку
Решение.
Путь  это физическая величина, показывающая пройденное телом расстояние. Иначе говоря, это длина пройденного участка траектории. По определению, путь есть величина положительная, которая может только возрастать со временем, так что представленный график не может изображать зависимость пути от времени.
Правильный ответ: 2.

Задание 1 № 102. Мяч, брошенный вертикально вверх, падает на землю. Найдите график зависимости от времени проекции скорости на вертикальную ось, направленную вверх.
 

 
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Решение.
Мяч после броска движется с постоянным ускорением свободного падения, направленным вниз. Следовательно, проекция скорости должна уменьшаться со временем по линейному закону, , график зависимости её от времени представлен на рисунке 2.
Правильный ответ: 2.

Задание 1 № 103. Мяч брошен с вершины скалы без начальной скорости. Найдите график зависимости модуля перемещения от времени. Сопротивлением воздуха пренебречь.
 
 

 
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Решение.
Поскольку мяч брошен с вершины скалы без начальной скорости, а сопротивлением воздуха можно пренебречь, зависимость модуля перемещения от времени должна иметь следующий вид:
.
Искомая зависимость представлена на рисунке 4. Кроме того, модуль есть величина положительная, этому критерию также удовлетворяет только график под номером 4.
Правильный ответ: 4.


Задание 1 № 104. Автомобиль движется по прямой улице. На графике представлена зависимость скорости автомобиля от времени.
 

В каком интервале времени максимален модуль ускорения?
 
1) от 0 до 10 с
2) от 10 до 20 с
3) от 20 до 30 с
4) от 30 до 40 с
Решение.
На всех рассматриваемых интервалах времени скорость автомобиля меняется равномерно, следовательно ускорение на каждом интервале постоянно. Все исследуемые интервалы одинаковы по длительности, поэтому максимальному модулю ускорения соответствует максимальный модуль изменения скорости в течение интервала (самый большой угол наклона). Из графика видно, что это интервал от 10 до 20 с.
Правильный ответ: 2.


Задание 1 № 106. По графику зависимости модуля скорости тела от времени, представленного на рисунке, определите путь, пройденный телом от момента времени 0 с до момента времени 2 с.
 
1) 1 м
2) 2 м
3) 3 м
4) 4 м
 
Решение.
Для того чтобы по графику модуля скорости найти путь, пройденный телом за некоторый интервал времени, необходимо вычислить площадь под частью графика, соответствующей этому интервалу времени (в единицах произведения величин, отложенных по осям координат). В интервале времени от 0 С до 2 с автомобиль прошел путь
.
Примечание: В принципе, интересующий нас участок (от 0 до 2 с) не обязательно разбивать на два, площадь под графиком можно посчитать, как площадь трапеции:
.
Правильный ответ: 3.


Задание 1 № 107. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости автомобиля от времени. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале от момента времени 0 с до момента времени 5 с после начала отсчета времени.
 

 
1) 6 м
2) 15 м
3) 17 м
4) 23 м
Решение.
Для того чтобы по графику модуля скорости найти путь, пройденный автомобилем за некоторый интервал времени, необходимо вычислить площадь под частью графика, соответствующей этому интервалу времени (в единицах произведения величин, отложенных по осям координат). В интервале от момента времени 0 с до момента времени 5 с после начала движения автомобиль прошел путь
 
.
Другой способ решения заключается в анализе каждого участка графика в отдельности, определения из графика начальных скоростей и ускорений на каждом этапе и использования стандартных кинематических формул для пути.
Правильный ответ: 3.


На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени.
 

Какой путь пройден телом за вторую секунду?
 
1) 0 м
2) 1 м
3) 2 м
4) 3 м
Решение.
Для того чтобы по графику модуля скорости найти путь, пройденный телом за некоторый интервал времени, необходимо вычислить площадь под частью графика, соответствующей этому интервалу времени (в единицах произведения величин, отложенных по осям координат). За вторую секунду автомобиль прошел путь
 
.
Правильный ответ: 3.


Задание 1 № 109. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости тела от времени.
 

Найдите путь, пройденный телом за время от момента времени 0 с до момента времени 5 с.
 
1) 0 м
2) 15 м
3) 20 м
4) 30 м
Решение.
Для того чтобы по графику модуля скорости найти путь, пройденный телом за некоторый интервал времени, необходимо вычислить площадь под частью графика, соответствующей этому интервалу времени (в единицах произведения величин, отложенных по осям координат). В интервале от момента времени 0 с до момента времени 5 с после начала движения тело прошло путь
 
.
Другой способ решения заключается в анализе каждого участка графика в отдельности, определения из графика начальных скоростей и ускорений на каждом этапе и использования стандартных кинематических формул для пути.
Правильный ответ: 3.


Задание 1 № 110. На рисунке представлен график зависимости пути от времени.
 

Определите по графику скорость движения велосипедиста в интервале от момента времени 1 с до момента времени 3 с после начала движения.
 
1) 
2) 
3) 
4) 
Решение.
Из графика видно, что в интервале от момента времени 1 с до момента времени 3 с после начала движения путь велосипедиста не изменялся. Следовательно на этом интервале времени велосипедист не двигался, его скорость была равна нулю.
Правильный ответ: 1.



Задание 1 № 116. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени.
 

На каком графике представлена проекция ускорения тела в интервале времени от 10 до 20 с?
 
 

 
 
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Решение.
Из графика видно, что в интервале времени от 10 до 20 с проекция скорости тела не изменялась, а значит, проекция ускорения была равна нулю. Проекция ускорения тела в этом интервале времени представлена на графике 2.
Правильный ответ: 2.


Задание 1 № 117. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени.
 

На каком из графиков представлена проекция ускорения тела в интервале времени от 0 до 6 с?
 
 

 
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Решение.
Из графика видно, что ускорение в интервале времени от 0 с до 10 с постоянно. Значит, на этом интервале веремени ускорение такое же, как и на интервале от 0 с до 6 с. Найдём это ускорение:
 
.
 
Проекция ускорения тела в этом интервале времени представлена на графике 1.
 
Ответ: 1.


Задание 1 № 118. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени.
 

На каком из графиков представлена проекция ускорения тела в интервале времени от 20 до 26 с?
 

 
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Решение.
Из графика видно, что в интервале времени от 20 до 26 с проекция скорости тела убывала линейно со временем, а значит, проекция ускорения была постоянна и равнялась
.
Проекция ускорения тела в этом интервале времени представлена на графике 3.
Правильный ответ: 3.


Задание 1 № 119. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела от времени.
 

На каком из графиков представлена проекция ускорения тела в интервале времени от 54 до 60 с?

 
 
 
 
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Решение.
Из графика видно, что в интервале времени от 54 до 60 с проекция скорости тела не изменялась, а значит, проекция ускорения была равна нулю. Проекция ускорения тела в этом интервале времени представлена на графике 2.
Правильный ответ: 2.


Задание 1 № 121. На рисунке представлен график зависимости модуля скорости  автомобиля от времени t.
 

Найдите путь, пройденный автомобилем за 5 c.
 
1) 0 м
2) 20 м
3) 30 м
4) 35 м
Решение.
Для того чтобы по графику модуля скорости найти путь, пройденный телом, необходимо вычислить площадь под графиком (в единицах произведения величин, отложенных по осям координат). За 5 c автомобиль прошел путь
.
Другой способ решения заключается в анализе каждого участка графика в отдельности, определения из графика начальных скоростей и ускорений на каждом этапе и использования стандартных кинематических формул для пути.
Правильный ответ: 4.

Задание 1 № 122. Автомобиль движется по прямой улице. На графике представлена зависимость его скорости от времени.
 

На каком интервале времени модуль ускорения автомобиля максимален?
 
1) от 0 с до 10 с
2) от 10 с до 20 с
3) от 20 с до 30 с
4) от 30 с до 40 с
Решение.
На всех рассматриваемых интервалах времени скорость автомобиля меняется равномерно, следовательно, ускорение на каждом интервале постоянно. Все исследуемые интервалы одинаковы по длительности, поэтому максимальному модулю ускорения соответствует максимальный модуль изменения скорости в течение интервала: . Из графика видно, что это интервал от 20 до 30 с
(в этом случае , на других интервалах  меньше).
Правильный ответ: 3.











Root Entry