Занятие с одаренными детьми по математике на тему Задачи на «смеси и сплавы», на «концентрацию»

Задачи на «смеси и сплавы», на «концентрацию»
Немного теории
В задачах на «концентрацию», на «смеси и сплавы» часто встречаются такие понятия, как «процентное содержание» или «концентрация».Например, если в задаче говорится о двенадцатипроцентном растворе уксуса, то это означает, что в данном растворе 12% чистого уксуса, а остальные 88% приходятся на воду, с которой смешивался чистый уксус. Кроме этого, можно сказать, что 0,12 части в этом растворе составляет чистый уксус, а 0,88части приходится на воду. Стоит заметить, что объем всего раствора принимается за 100%, или за 1.
В задачах данного типа обычно рассматривают три величины, соотношение между которыми позволяет составлять уравнение:
концентрация (доля чистого вещества в сплаве, или в смеси)
количество чистого вещества в смеси, или в сплаве
масса сплава или смеси.
Соотношения между этими величинами имеет вид:
количество чистого вещества (m) = масса смеси (М) ͯ концентрация (ɑ).Пример 1: Сколько литров воды надо добавить к 20 л пятипроцентного раствора соли, чтобы получить четырехпроцентный раствор?
Важно: Соль содержится в каждом из растворов и ее количество не меняется.
Решение:
Можно схематически изобразить условие задачи.
20 л
5% р-ра соли + х л воды
(0% р-ра соли) = (20 + х) л
4% р-ра соли
Составим и решим уравнение:
0,05 ∙ 20 + 0 ∙ х = 0,04∙(20 + х)
1= 0,8 +0,04 хх = 5
5 л воды надо добавить к 20 л 5% раствора соли, чтобы получить 4% раствор.
Ответ: 5л.
Пример 2: Имеются два куска сплава меди и цинка с процентным содержанием меди 42% и 65% соответственно. В каком отношении нужно взять эти сплавы, чтобы, переплавив, получить сплав, содержащий 50% меди?
Решение:
Можно схематически изобразить условие задачи.
масса сплава х
концентрация меди 42% + масса сплава у
концентрация меди 65% = масса сплава ( х +у)
концентрация меди 50%
Составим и. решая уравнение с двумя переменными, найдем отношение х у .0,42 ∙ х + 0,65 ∙ у = 0,5∙(х + у)
42х +65у = 50х +50у
15у =8 хх у = 15 8Ответ: первый и второй сплавы нужно взять в отношении 15 к 8.
Пример 3: Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
Решение:
Можно схематически изобразить условие задачи.
масса раствора х г
концентрация р-ра 30% + масса раствора у г концентрация р-ра 10% = масса раствора 600 г
концентрация р-ра 15%
Составим и решим систему уравнений:
х + у = 600,
0,3 ∙ х + 0,1 ∙ у = 0,15 ∙ 600;
х + у = 600,
3 х + у = 900;
Решив систему, получим х = 150, у = 450.
Т.е. 150г – 30%-ного раствора, 450г – 10%-ного раствора.
Ответ: 150 г, 450 г.
Пример 4: Виноград содержит 90% влаги, а изюм – 5%. Сколько килограммов винограда требуется для получения 20 кг изюма?
Решение:
m = M ∙ ɑ, где М – масса всего винограда, или изюма; m – масса сухого вещества в винограде, или изюме; ɑ - концентрация (процентное содержание сухого вещества в винограде, или изюме).
m, кг M, кг ɑ
виноград х ∙ 0,1 х 0,1
изюм 20 ∙ 0,95 20 0,95
Т.к. масса сухого вещества в винограде при сушке не изменяется, то получим уравнение:
х ∙ 0,1 = 20 ∙ 0,95, отсюда х = 190.
190 кг – винограда потребуется.
Ответ: 190 кг.
Пример 5: Собрали 100 кг грибов. Их влажность составляла 99%. За день грибы немного подсохли, и их влажность составила 98%. Сколько стали весить грибы?
Решение:
m = M ∙ ɑ, где М – масса всех грибов; m – масса сухого вещества в грибах; ɑ - концентрация (процентное содержание сухого вещества в грибах).
m, кг M, кг ɑ
1 условие 100 ∙ 0,01 100 0,01
2 условие х ∙ 0,02 х 0,02
Т.к. масса сухого вещества в грибах при сушке не изменяется, то получим уравнение:
х ∙ 0,02 = 100 ∙ 0,01, отсюда х = 50.
50 кг – стали весить грибы.
Ответ: 50 кг.
Условия задач
Имеется два сплава. В первом сплаве содержится 10% меди, а во втором сплаве содержится 30% меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% меди. На сколько килограммов масса второго сплава больше массы первого?
Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 40% никеля. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% никеля. Найдите массу третьего сплава.
Смешав 30-процентный раствор кислоты с 60-процентным раствором кислоты и, добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для смеси?
Смешав 70-процентный и 60-процентный растворы кислоты, и добавив 2 кг чистой воды, получили 50-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 70-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 70-процентного раствора использовали для получения смеси?
Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Сколько килограммов 20% и 50% сплавов никеля нужно сплавить, чтобы получить 30 кг 30% сплава?
Решение задач
Имеется два сплава. В первом сплаве содержится 10% меди, а во втором сплаве содержится 30% меди. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% меди. На сколько килограммов масса второго сплава больше массы первого?
Решение:
Можно схематически изобразить условие задачи.
масса сплава х кг
концентрация меди 10% + масса сплава у кг концентрация меди 30% = масса сплава 200 кг
концентрация меди 25%
Составим и решим систему уравнений:
х + у = 200,
0,1 ∙ х + 0,3 ∙ у = 0,25 ∙200;
х + у = 200,
х + 3у = 500;
Решив систему, получим х = 50, у = 150.
50 кг – масса первого сплава, 150 кг – масса второго сплава;
150 – 50 = 100 (кг) – масса второго сплава больше первого.
Ответ: на 100 кг.
Первый сплав содержит 10% никеля, второй – 40% никеля. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% никеля. Найдите массу третьего сплава.
Решение:
Можно схематически изобразить условие задачи.
масса сплава х кг
концентрация никеля 10% + масса сплава (х + 3) кг концентрация никеля 40% = масса сплава (х + х + 3) к г
концентрация никеля 30%
Составим и решим уравнение:
0,1 х + 0,4( х + 3)= 0,3(х + х + 3),
х + 4( х + 3) = 3(2 х + 3),
5х + 12 =6х + 9,
х = 3.
3 кг – масса первого сплава,
6 кг – масса второго сплава,
9 кг – масса третьего сплава.
Ответ: 9 кг.


Смешав 30-процентный раствор кислоты с 60-процентным раствором кислоты и, добавив 10 кг чистой воды, получили 36-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 10 кг воды добавили 10 кг 50-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 41-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 30-процентного раствора использовали для смеси?
Решение:
Можно схематически изобразить условие задачи.
масса раствора х кг
концентрация кислоты 30% + масса раствора у кг
концентрация кислоты 60% + масса воды 10 кг
концентрация кислоты 0% = масса раствора (х + у + 10) кг
концентрация кислоты 36%
масса раствора х кг
концентрация кислоты 30% + масса раствора у кг
концентрация кислоты 60% + масса раствора 10 кг
концентрация кислоты 50% = масса раствора (х + у + 10) кг
концентрация кислоты 41%
Требуется найти массу 30%-ного раствора.
Составим и решим систему уравнений:
0,3 х + 0,6у + 0 ∙ 10 =0,36 ∙ (х + у + 10),
0,3 х + 0,6у + 0,5 ∙ 10 =0,41 ∙ (х + у + 10),
30 х + 60у =36 ∙ (х + у + 10),
30 х + 60у + 500 =41 ∙ (х + у + 10),
Решив систему, получим х = 30, у = 60.
30 кг – масса 30%-ного раствора, 60 кг – масса 60%-ного раствора.
Ответ: 30 кг.
Смешав 70-процентный и 60-процентный растворы кислоты, и добавив 2 кг чистой воды, получили 50-процентный раствор кислоты. Если бы вместо 2 кг воды добавили 2 кг 90-процентного раствора той же кислоты, то получили бы 70-процентный раствор кислоты. Сколько килограммов 70-процентного раствора использовали для получения смеси?
Решение:
Можно схематически изобразить условие задачи.
масса раствора х кг
концентрация кислоты 70% + масса раствора у кг
концентрация кислоты 60% + масса воды 2 кг
концентрация кислоты 0% = масса раствора (х + у + 2) кг
концентрация кислоты 50%
масса раствора х кг
концентрация кислоты 70% + масса раствора у кг
концентрация кислоты 60% + масса раствора 2 кг
концентрация кислоты 90% = масса раствора (х + у + 2) кг
концентрация кислоты 70%
Требуется найти массу 70%-ного раствора.
Составим и решим систему уравнений:
0,7 х + 0,6у + 0 ∙ 2 =0,5 ∙ (х + у + 2),
0,7х + 0,6у + 0,9 ∙ 2 =0,7 ∙ (х + у + 2),
7 х + 6у =5 ∙ (х + у + 2),
7 х + 6у + 18 =7 ∙ (х + у + 2),
Решив систему, получим х = 3, у = 4.
3 кг – масса 70%-ного раствора, 4 кг – масса 60%-ного раствора.
Ответ: 3 кг.
Смешали 4 литра 15-процентного водного раствора некоторого вещества с 6 литрами 25-процентного водного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
m = M ∙ ɑ, где М – объем всего раствора; m – объем некоторого вещества в растворе; ɑ - концентрация (процентное содержание некоторого вещества в растворе).
m M ɑ
1раствор 4∙ 0,15 = 0,6 л 4 л 0,15
2 раствор 6∙ 0,25 = 1,5 л 6 л 0,25
Получившийся раствор 0,6 + 1,5 = 2,1 л 10 л ?
Т.к. ɑ = m : M, то 2,1 : 10 = 0,21 – т.е. 21 % составляет концентрация получившегося раствора.
Ответ: 21%.
Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
m = M ∙ ɑ, где М – объем всего раствора; m – объем некоторого вещества в растворе; ɑ - концентрация (процентное содержание некоторого вещества в растворе).
m M ɑ
1раствор х∙ 0,15 х0,15
2 раствор х∙ 0,19 х0,19
Получившийся раствор 0,34х 2х ?
Т.к. ɑ = m : M, то 0,34х : 2х = 0,17 – т.е. 17 % составляет концентрация получившегося раствора.
Ответ: 17%.
В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
Решение:
m = M ∙ ɑ, где М – объем всего раствора; m – объем некоторого вещества в растворе; ɑ - концентрация (процентное содержание некоторого вещества в растворе).
m M ɑ
1раствор 0,12 ∙ 5 = 0,6 5 л 0,12
2 раствор 0 7 л 0
Получившийся раствор 0,6 12 л ?
Т.к. ɑ = m : M, то 0,6 : 12 = 0,05 – т.е. 5 % составляет концентрация получившегося раствора.
Ответ: 5%.
Сколько килограммов 20% и 50% сплавов никеля нужно сплавить, чтобы получить 30 кг 30% сплава?
Решение:
m = M ∙ ɑ, где М –масса всего сплава; m – масса никеля в сплаве; ɑ - концентрация (процентное содержание никеля в сплаве).
m M ɑ
1сплав 0,2 ∙ х кг х кг0,2
2 сплав 0,5 ∙(30 – х) кг (30 – х) кг 0,5
Получившийся сплав 0,3 ∙ 30 = 9 кг 30 кг 0,3
Составим и решим уравнение:
0,2 ∙ х + 0,5 ∙(30 – х) = 9,
0,2 х +15 – 0,5 х = 9,
0,3х = 6,
х = 20.
Т.е. 20 кг – масса 20%- ного сплава никеля,
30 – 20 = 10 кг – масса 50%- ного сплава никеля,
Ответ: 20 кг, 10 кг.