ОСОБЛИВОСТІ РОЗВЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ З ПАРАМЕТРОМ, ЩО МІСТЯТЬ МОДУЛЬ

Міністерство освіти і науки України Департамент науки і освіти Харківської облдержадміністрації
Харківське територіальне відділення МАН України
Відділення: математика
Секція: математика
ОСОБЛИВОСТІ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ
З ПАРАМЕТРОМ, ЩО МІСТЯТЬ МОДУЛЬ
Роботу виконав:
Чорток Микита Михайлович,
учень 9-Б класу Харківської гімназії № 43
Харківської міської ради Харківської області
Науковий керівник:
Чиновата Зоя Анатоліївна,
учитель математики Харківської гімназії № 43
Харківської міської ради Харківської області,
спеціаліст вищої категорії
Харків - 2017
Зміст
Вступ 5
Розділ 1. Сутність рівнянь і нерівностей з параметром 7
1.1 Рівняння з параметром 7
1.2 Нерівності з параметром 8
Розділ 2. Основні методи розв'язання рівнянь і нерівностей з параметром 10
2.1 Аналітичний метод 10
2.2 Графічний метод 11
2.3 Метод розв'язання відносно параметра 13
Розділ 3. Розв'язання рівнянь і нерівностей з параметром, що містять модуль
3.1. Приклади рівнянь з параметром, що містять модуль
3.2. Аналіз завдань ЗНО з параметрами. 16
16
21
Висновки 25
Перелік використаних джерел 26
Додатки 27


ВСТУП
«Що за краса ці задачі з параметрами!
Кожна з них – поема!»
С.О. Тинянкін (видатний математик,
кандидат технічних наук,
автор однієї з перших книг про параметри)
Вивчення багатьох фізичних процесів і геометричних закономірностей часто приводить до розв'язання задач із параметрами. У багатьох вищих навчальних закладах в екзаменаційні завдання включені рівняння, нерівності та їх системи, які часто бувають досить складними й потребують нестандартного підходу до розв'язання.
Поява таких завдань на іспитах далеко не випадкова, адже з їх допомогою перевіряється техніка володіння формулами елементарної математики, методами розв'язання рівнянь і нерівностей, уміння будувати логічний ланцюжок міркувань, рівень логічного мислення учнів та рівень їх математичної культури.
Розв'язанню задач із параметрами в шкільній програмі приділяється недостатньо уваги. Основні труднощі при розв'язанні задач із параметрами обумовлені тим, що наявність параметра змушує вирішувати задачу не за шаблоном, а розглядати різні випадки, при кожному з яких методи розв'язання суттєво відрізняються один від одного.
Різноманітність задач із параметрами охоплює весь курс шкільної математики. Володіння прийомами розв'язання задач із параметрами можна вважати критерієм знань основних розділів шкільної математики, рівня математичного й логічного мислення.
У ході вивчення нерівностей у шкільній програмі широко використовується метод інтервалів, наочно-графічний метод і функціональний метод. Наочно-графічний метод застосовують, якщо нерівність не можна розв'язати аналітично. Під функціональним методом розв'язання нерівностей розуміють метод розв'язання, що спирається на використання властивостей функцій, які входять до нерівності.
Метою даної роботи є розгляд основних теоретичних і методичних підходів до розв'язання рівнянь і нерівностей з параметром. У роботі розглядаються основні види функціональних рівнянь і нерівностей з параметрами, а також способи їх розв'язання.
До основних задач можна віднести наступні:
розгляд сутності рівнянь і нерівностей з параметром,
аналіз основних підходів до їх розв'язання,
оцінка можливості застосування розглянутих теоретичних підходів до розв'язання рівнянь і нерівностей з параметром, які містять модуль.
Для вирішення поставлених задач необхідно вивчити теоретичні й методичні основи розв'язання рівнянь і нерівностей з параметрами, а також застосувати їх при розв'язанні задач із параметрами, які містять модуль.
РОЗДІЛ 1. СУТНІСТЬ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З ПАРАМЕТРОМ
1.1. Рівняння з параметром
Задачі з параметрами відіграють важливу роль у формуванні логічного мислення й математичної культури, але їх розв'язання викликає значні труднощі. Це пов'язано з тим, що кожна задача з параметрами являє собою цілий клас звичайних задач, для кожної з яких повинен бути отриманий розв'язок.
Якщо в рівнянні (нерівності) деякі коефіцієнти задані не конкретними числовими значеннями, а позначені буквами, то вони називаються параметрами, а рівняння (нерівність) параметричним. 
Параметром називається незалежна змінна, значення якої в задачі вважається заданим фіксованим або довільним дійсним числом, або числом, що належить заздалегідь обумовленій множині.
Розглянемо рівняння
(a, b, c, …, , x) = (a, b, c, …, , x),(1.1)
де a, b, c, …, , x - змінні величини.
Будь-яка система значень змінних
а = а0, b = b0, c = c0, …, k = k0, x = x0,
при якій і ліва й права частини цього рівняння приймають дійсні значення, називається системою допустимих значень змінних a, b, c, …, , x. Нехай А – множина всіх допустимих значень а, B – множина всіх допустимих значень b, і т.д., Х – множина всіх допустимих значень х, тобто а А, b B, …, x X. Якщо в кожної із множин A, B, C, …, K вибрати й зафіксувати відповідно по одному значенню a, b, c, …, і підставити їх в рівняння (1.1), то отримаємо рівняння відносно x, тобто рівняння з одним невідомим.
Змінні a, b, c, …, , які при розв'язанні рівняння вважаються постійними, називаються параметрами, а саме рівняння називається рівнянням, що містить параметри.
Параметри позначаються першими писаними буквами латинського алфавіту: a, b, c, d, …, , l, m, n, а невідомі – буквами x, y, z.
Розв'язати рівняння з параметрами – означає вказати, при яких значеннях параметрів існують розв'язки та знайти їх.
Два рівняння, що містять ті самі параметри, називаються рівносильними, якщо:
а) вони мають зміст при одних і тих самих значеннях параметрів;
б) кожний розв'язок першого рівняння є розв'язком другого й навпаки [7].
Рівняння (нерівність) з параметром – це сукупність рівнянь (нерівностей) одного виду при одних значеннях параметра, інших видів – при інших значеннях параметра. При деяких значеннях параметра в цю сукупність входять вірні або невірні тотожності (числові нерівності). Так, рівняння

при а = 1 приймає вид лінійного; при а = ‒1 стає найпростішим ірраціональним; якщо а ≠ 1, а ≠ −1, – рівняння ірраціональне.
Види рівнянь і нерівностей з параметрами подано в додатку А [8].
Важливо засвоїти головне: параметр, будучи фіксованим, але невідомим числом, має подвійну природу. По-перше, передбачувана популярність дозволяє «спілкуватися» з параметром як із числом, а по-друге, – ступінь свободи спілкування обмежується його невідомістю. Так, ділення на вираз, що містить параметр, добування кореня парного степеня з подібних виразів вимагають попередніх досліджень. Як правило, результати цих досліджень впливають і на розв'язання, і на відповідь.
1.2 Нерівності з параметром
Нерівність
(a, b, c, …, k, x) > (a, b, c, …, k, x),                  (1.2)
де a, b, c, …, k – параметри, а  x – дійсна змінна величина, називається нерівністю з одним невідомим, що містить параметри.
Будь-яка система значень параметрів а = а0, b = b0, c = c0, …,  k = k0, при деякій функції (a, b, c, …, k, x)  і (a, b, c, …, k, x) мають зміст в області дійсних чисел, називається системою допустимих значень параметрів.
х = x0 називається допустимим значенням х, якщо (a, b, c, …, k, x)  і (a, b, c, …, k, x) приймають дійсні значення при будь-якій допустимій системі значень параметрів.
Множина всіх допустимих значень х називається областю визначення нерівності (1.2). Дійсне число х0 називається окремим розв'язком нерівності (1.2), якщо нерівність  (a, b, c, …, k, x0) > (a, b, c, …, k, x0) вірна при будь-якій системі допустимих значень параметрів.
Сукупність усіх окремих розв'язків нерівності (1.2) називається загальним розв'язком цієї нерівності. Розв'язати нерівність (1.2) – означає вказати, при яких значеннях параметрів існує загальний розв'язок та який він.
Дві нерівності
(a, b, c, …, k, x) > (a, b, c, …, k, x)  і        
(a, b, c, …, k, x) > (a, b, c, …, k, x)           
називаються рівносильними, якщо вони мають однакові загальні розв'язки на одній і тій самій множині систем допустимих значень параметрів [7].
Висновки до розділу 1
У розділі розглянуто сутність понять «параметр», «рівняння з параметром», «нерівність із параметром». Також подано види рівнянь та нерівностей з параметрами, розглянуто приклади та їх розв'язання.
РОЗДІЛ 2. ОСНОВНІ МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ ТА НЕРІВНОСТЕЙ З ПАРАМЕТРОМ
2.1 Аналітичний метод
Аналітичний метод розв'язання задач із параметром є найважчим способом, що вимагає високої грамотності та найбільших зусиль в оволодінні ним [3].
Приклад 1. Розв'язати рівняння ах (а – 1) = а – 1.
Розв'язання. Перед нами лінійне рівняння, що має зміст при всіх допустимих значеннях а. Будемо розв’язувати його «як звичайно»: ділимо обидві частини рівняння на коефіцієнт при невідомому. Проте чи завжди можливе ділення? Ні. Ділити на нуль не можна. Доведеться розглянути окремо випадок, коли коефіцієнт при невідомому рівний 0. Одержимо:
а = 1, тоді рівняння прийме вид 0·х = 0, де х – будь-яке число;
а = 0, тоді 0∙х = - 1 – рівняння коренів не має;
а ≠ 0, а ≠ 1, тоді а (а – 1)·х = а – 1  .
Відповідь: 1) якщо а ≠ 0, а ≠ 1, то х = 1/a;
2) якщо а = 1, то х – будь-яке число;
3) якщо а = 0, то коренів немає.
Отже, на прикладах розглянуто основні поняття рівнянь із параметрами: область допустимих значень; область визначення; загальні розв'язки; контрольні значення параметрів; типи окремих рівнянь.
На основі введених понять визначимо загальну схему розв'язання будь-якого рівняння F(а;х) = 0 з параметром а (для випадку двох параметрів схема аналогічна):
визначається область допустимих значень параметра та область визначення;
визначаються контрольні значення параметра, що розбивають область допустимих значень параметра на області однорідності окремих рівнянь;
для контрольних значень параметра відповідні рівняння досліджуються окремо;
знаходяться загальні розв'язки х = f1(а), …, fk(а) рівняння F(а;х) = 0 на відповідних множинах Аf1, ……, Аfk значень параметра;
складається модель загальних розв'язків, контрольних значень параметра в наступному вигляді;
4449170170845x = fk(a)
…………….
x = f2(a)
x = f1(a)
x = fk(a)
…………….
x = f2(a)
x = f1(a)
25615902582300192197030044500
3634248-47172607880419361917415-4717122695041974452120-508000
119253024980012230108848018910302745350
4527552561502613170355300036367702355150191982023431502610065234315012235702371300
1043570196825a1 a2 a3 am a
0a1 a2 a3 am a
45317074425
на моделі виділяються проміжки значень параметра з однаковими розв'язками (області однорідності);
для контрольних значень параметра та виділених областей однорідності записуються характеристики всіх типів окремих розв'язків.
2.2. Графічний метод
Залежно від задачі (із змінною x і параметром a) розглядаються графіки або в координатній площині х0у, або в координатній площині х0а. Можна виділити два різновиди застосування графічного методу при розв'язанні рівняння f (х) = f (а):
1) На площині х0у розглядаються графік у = f (х) і множина графіків у = f(а). Сюди ж відносяться задачі, що розв'язуються за допомогою «пучка прямих». Цей спосіб виявляється зручним у задачах із двома невідомими й одним параметром.
2) На площині х0а (яку називають також фазовою) розглядаються графіки, у яких х – аргумент, а а – значення функції. Цей спосіб зазвичай застосовується в задачах, де фігурують лише одна змінна та один параметр (або, що зводяться до таких) [3].
Приклад 2. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний розв'язок?
Розв'язання. Записуємо дане рівняння у вигляді . Побудуємо графічне зображення обох частин рівняння (рис. 2.1). Ліва частина являє собою «прямий кут», вершина (2;3). Права частина являє собою множину прямих, паралельних осі абсцис. За графіком видно, що єдиний розв'язок можливий при .
729615219075y
0y1005840-12700
7486651054103
03
282511576835a
0a1491614292099453390292100481965282575
8058153035301
01

9391642889250 1 2 3 4
00 1 2 3 4
405765241300-2
0-2
3253740111760x
0x51054029845000
Рис. 2.1 Рисунок до прикладу 2
Відповідь:
При розв'язанні деяких нерівностей з параметрами графічний метод застосовується в комбінації з методом областей, що узагальнюють метод інтервалів [5].
Задачу з параметром будемо розглядати як функцію . Алгоритм розв'язання:
1. Будуємо графічне зображення.
2. Перетинаємо отримане зображення прямими, паралельними осі абсцис.
3. Зчитуємо потрібну інформацію.
Приклади графічної інтерпретації розв'язання завдань із параметром на основі дослідження властивостей графіків досить відомих найпростіших рівнянь таких геометричних фігур, як пряма, коло, парабола, синусоїда, квадрат, ламана, кут показують, що розв'язки стають абсолютно наочними, природніми та досить простими. Якщо рівняння однієї з фігур не залежить від змінного параметра, то графік цієї фігури нерухомий відносно системи координат. Якщо в рівняння іншої фігури входить параметр, то від його зміни залежить розміщення й, навіть, форма графіка. Тоді суть розв'язання рівняння полягає у визначенні кількості точок перетину графіків побудованих рівнянь, тобто у визначенні кількості можливих розв'язків залежно від конкретних числових значень параметра [2].
2.3. Метод розв'язання відносно параметра
При розв'язанні цим методом змінні x і a приймаються рівноправними та обирається та змінна, щодо якої аналітичне розв'язання визнається більш простим. Після звичайних спрощень повертаємося до вихідного змісту змінних x і a та закінчуємо розв'язання [3].
Частіше задане рівняння або нерівність розв’язується не відносно змінної, а відносно параметра. Як правило, цей метод застосовується, коли задане рівняння або нерівність є лінійним або квадратним відносно параметра. Якщо рівняння є лінійним відносно параметра, то виразивши параметр через змінну, краще досліджувати задачу графічно. Якщо рівняння або нерівність є квадратним відносно параметра і дискримінант є повним квадратом, то після знаходження параметра через змінну вихідне рівняння або нерівність перетворюється на два більш прості рівняння або нерівності.
Нехай рівняння відносно змінної х, що містить параметр a, за допомогою елементарних дій приводиться до виду
f(x) = g(a)(2.1)
зокрема до виду f(x) = a, де f(x), g(a) – певні функції. Якщо потрібно знайти значення параметра а, при яких рівняння можна розв’язати (тобто є хоча б один корінь), то треба знайти множину (область) значень E(f) функції f(x), коли х пробігає область визначення функції, і вимагати, щоб значення g(a) належали цій множині: g(a) ϵ E(f). Наприклад, якщо E(f) = (А;В), то рівняння (2.1) розв'язується для тих значень параметра а, які задовольняють нерівності
A < g(a ) ≤ B. Зрозуміло, для всіх інших значень а рівняння (2.1) не має розв'язків. У загальному випадку, множина значень функції f(x) може складатися з декількох проміжків, а також містити окремі точки. Крім того, якщо область визначення функції f(x) містить проміжки (-;) і/або [), то при знаходженні множини значень функції треба врахувати ще її граничні значення при та/або .
Аналогічно можна робити й у випадку нерівностей, що зводяться елементарними діями до одного з видів
f(x) < g(a), f(x) ≤ g(a), f(x) > g(a), f(x) ≥ g(a) (2.2)
Приклад 3. Знайдіть найбільше значення параметра a, при якому рівняння |x2 − 3|x|− 4| = a має тільки чотири корені..
Розв’язання:Побудуємо графік функції y = |x2 − 3|x|− 4| (рис. 2.2) і розглянемо, коли він буде мати рівно 4 точки перетину з прямою у=а.
182666422860y
00y40853623050529749752391641830936116205
360275927940y = а
00y = а

185293027536022178717906789886400
3651250173990х
00х

533400105641
3646805278765y = а
00y = а

342265-3175
Рис. 2.2 Рисунок до прикладу 3
Бачимо, що при a < 0 точок перетину не існує, при a = 0 їх буде дві, потім – чотири, при a = 5 точок перетину буде 6, та при деякому значенні a їх знову стане чотири. Знайти це значення легко, якщо згадати, що даний графік був отриманий з параболи  у=x2 − 3|x|− 4 відображенням від осі Оy та згинанням через вісь Ох. Отже, координата у0 вершини параболи перейде саме в потрібне значення параметра а.
,
,
Тобто
Відповідь: 6,25.

Висновки до розділу 2
У розділі розглянуто типи задач із параметрами, розкрито сутність аналітичного, графічного методу, а також методу розв'язання відносно параметра, які використовуються для розв'язання рівнянь і нерівностей з параметрами. Також подано приклади розв'язання типових рівнянь і нерівностей.

РОЗДІЛ 3. РОЗВ'ЯЗАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ З ПАРАМЕТРОМ, ЩО МІСТЯТЬ МОДУЛЬ
3.1. Приклади рівнянь і нерівностей з параметром, що містять модуль
Розглянемо приклади розв'язання рівнянь і нерівностей з параметром, що містять модуль.
Приклад 4. Розв'язати рівняння ах + 1 = | х + 2 |
Розв'язання. (рис. 3.1)
1) якщо а = 0 , то |x + 2| = 1 , отже х = -3; х = -1
2) якщо а 0 , то ах = |х + 2| - 1, тобто а = ; |x + 2| = 0 x = -2
якщо х -2 , то а = ;
якщо х < -2 , то а = ;
Рисунок 3.1 Рисунок до прикладу 4
Відповідь:
1) якщо а  > 1 , то  ;
2) якщо < а  < 1, то розв'язків нема.
3) якщо а = , то , х = -2 ;
4) якщо -1 < a < , то ;
5) якщо а < -1 , то ;
6) якщо а =0 , то = - 3, = -1;
7) якщо a = -1, то
Приклад 5. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння
2х2 + (2а–10)|x| +a2 – 10 a +16 = 0
має два розв'язки.
Розв'язання. Перша ідея – виділити повний квадрат відносно параметра а:

Наступна ідея не настільки очевидна, але абсолютно типова – виділити повний квадрат щодо модуля х. Тоді не буде необхідності в розкритті модульних дужок.

 Першу частину розв'язання виконано. Ми прийшли до того, що ліва частина рівняння залежить від параметра, а права не залежить. Далі має бути  дослідження кількості точок перетину графіків рівнянь:

Перетворимо друге рівняння:

Друге рівняння описує коло із центром на початку координат і радіусом рівним 3. Це коло не залежить від параметра й не змінює свого положення в процесі дослідження. Більш цікавим є графік першого рівняння, точніше множина графіків. Параметр а надає цьому рівнянню динамічність переміщення щодо координатних осей і зміну форми графіка від прямого кута до ламаної лінії із прямими кутами. А саме, при  а – 5 ≥ 0  графік першого рівняння має вигляд (рис. 3.2):

Рисунок 3.2 Рисунок 1 до прикладу 5
При  а – 5 < 0  графік перетвориться на ламану лінію наступного виду (рис. 3.3):

Рисунок 3.3 Рисунок 2 до прикладу 5
Досліджуємо графічно розв'язок системи:

Тоді система й вихідне рівняння мають два розв'язки.

Рисунок 3.4 Рисунок 3 до прикладу 5
Тепер досліджуємо цю же систему при  a – 5 < 0. У цьому випадку два розв'язки можливі коли: -3 < a – 5 < 0, тобто для значень параметра в межах
2 < a < 5.
Графічно ці розв'язки отримуються у такий спосіб (рис. 3.5):

Рисунок 3.5 Рисунок 4 до прикладу 5

Рисунок 3.6 Рисунок 5 до прикладу 5
При a – 5 = -3 тобто при a = 2 рівняння має три корені. При a < 2 рівняння має чотири розв'язки доти, доки графіки кола й ламаної мають чотири спільні точки. Але настане момент, коли відповідні січні стануть дотичними, і тоді рівняння знову буде мати тільки два розв'язки (рис. 3.6).
У цьому випадку:
АВ = 6, ОВ = 3, В(0;- 3), а - 5 = -3√2, а = 5 - 3.
Поєднуючи всі отримані розв'язки, маємо: a ϵ (2;8) U {5 - 3}.
Відповідь:
a ϵ (2;8) U {5 -3} [2]
3.2. Аналіз завдань зовнішнього незалежного оцінювання (ЗНО)
2008 – 2016 років із параметрами
З часу введення в систему оцінювання знань випускників навчальних закладів ЗНО в тестах з математики майже кожного року були завдання з параметрами. Не мали таких завдань лише тести 2009, 2010 (окрім пробного) та 2015 (окрім базового рівня) років.
Метою таких завдань є забезпечення якісного розподілу учасників тестування з достатнім та високим рівнем навчальних досягнень. Завдання із параметрами вимагають не тільки глибоких знань програмного матеріалу та їх систематизації, а й вмінь використовувати ці знання у нестандартних задачах, навичок робити логічні креативні міркування, які в деяких завданнях допоможуть прийти до висновку, що розв’язувати завдання зовсім не потрібно, а достатньо лише проаналізувати умову і дати відповідь.
Ці завдання виявилися достатньо складними для випускників. Так із завданням № 31 тесту 2008 року, яке за складністю відповідало ІІ частині тесту, тобто вимагало тільки відповіді без наведених міркувань, і, навіть, вже на рисунку 3.7 було подано графік рівняння, впоралося лише 1,76% учнів. Вони отримали 2 максимальних бали за вірну відповідь. Решта 98,24% отримали 0 балів. Це учні, які або зовсім не виконували завдання, або отримали невірну відповідь.

Рисунок 3.7 Фрагмент завдання 31
За складністю (P-value)* це завдання характеризується як дуже складне, за дискримінацією (D-іndex)** – дуже добре, за кореляцією (Rit)*** – добре (табл. 3.1).
Таблиця 3.1
Таблиця до завдання 31

____________________________________________________________
*Складність тестового завдання (P-value) – успішність учасників тестування у виконанні цього завдання. Визначається як відношення кількості балів, що набрали всі учасники тестування за виконання даного завдання до максимальної кількості балів, яку вони могли б отримати за його виконання, виражену в процентах. Інтервал значення Характеристика завдання Понад 80% дуже легкі 60-79% легкі 40-59% оптимальні 20-39% складні Менше 20% дуже складні.
**Дискримінація (D-іndex) – характеризує здатність тестового завдання відділяти учасників тестування з різним рівнем навчальних досягнень. Дискримінацію завдання визначають як різницю складності завдання для сильної і слабкої груп. Інтервал значення Характеристика завдання 41-100% дуже добра 31-40% Добра 21-30% Середня 11-20% Низька 10% і менше дуже низька.
***Кореляція (Rit) – узгодженість результату за виконання тестового завдання з результатом виконання тесту в цілому. Значення кореляції належить інтервалу [-1,1]. Чим більше значення кореляції, тим завдання краще.
Завдання № 36 тесту 2008 було розміщено в ІІІ частині, тобто вимагало повного розв’язання з обґрунтуванням логічних кроків. Максимальна кількість балів за це завдання – 6. На рис. 3.8 подано умову завдання та його статистичні характеристики.

Рисунок 3.8 Фрагмент завдання 36
Не впоралося із завданням або не приступало до його розв’язання зовсім - 87,65% учнів. З тих, хто виконував завдання, більшість виконало лише перший логічний крок – 5,15%. Складність цього завдання була оптимальна, дискримінація – середня, кореляція – добра.
Можна зробити наступні висновки:
1) Кількість учасників ЗНО, які не набрали жодного балу в завданні із параметром, залишається щороку достатньо великою.
2) Результати тестових завдань із параметрами різних років подано в додатку Б.
3) Висока розподільна здатність тестових завдань, яка збільшувалась щороку, дає змогу виявити учасників з високим рівнем навчальних досягнень, підготовлених до подальшого навчання у ВНЗ. Такі завдання спонукають до ґрунтовного вивчення математики, дають змогу перевірити ті предметні вміння й навички, які складно перевірити за допомогою інших форм тестових завдань.
Висновки до розділу 3
У розділі узагальнено теоретико-методичні підходи до розв'язування задач із параметрами та наведено приклади розв'язання рівнянь і нерівностей з параметрами, які містять модуль, виконано аналіз завдань ЗНО з параметрами.

ВИСНОВКИ
В сучасній теорії навчання математики одним із прийомів розвитку евристичного й творчого типу продуктивних дій учня є розв'язування задач з параметром. 
Виходячи із сутності задач із параметрами, їх розв'язання – це якісне узагальнення й систематизація навчального досвіду учня на більш високому продуктивному рівні діяльності. Тому технологія розв'язання задач із параметрами повинна бути гармонійно вбудована в кожну тему, чітко обумовлена, повинні бути розглянуті приклади, наведена система вправ.
У результаті написання роботи нами було встановлено, що рівняння з параметрами – математичне рівняння, зовнішній вигляд і розв'язок якого залежить від значень одного або декількох змінних величин.
Існує велика кількість способів розв'язання рівнянь і нерівностей, багато з яких не вивчаються за шкільною програмою.
У роботі були розглянуті теоретичні основи визначення понять «рівняння з параметром», «нерівність із параметром».
При аналізі методичних підходів до розв'язання задач із параметром було встановлено, що розв'язання рівняння (нерівності) може містити в собі кілька методів розв'язання, відповідних до кожного виду рівняння при певних значеннях параметра. Наприклад, при деякому значенні параметра нерівність лінійна, тому розв’язуємо її аналітично тотожними перетвореннями; при інших значеннях параметра нерівність квадратична, – розв’язуємо її графічним способом. У деяких випадках необхідно використовувати метод розв'язання відносно параметра.
Розглянуті методичні підходи знайшли своє застосування у розв'язанні рівнянь і нерівностей з параметром, які містять модуль.

ПЕРЕЛІК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ
1. Алгебра. 8 класс [Текст] : [учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе] / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И.Нешков, С. Б. Суворова. – М. Просвещение, 2013. – 287 с.
2. Дьячков А.К. Функционально-графический подход к решению задач с параметрами [Текст]: учебно-методическое пособие для учителей и учащихся. – Челябинск, 2010. – 33 с.
3. Емельянова Н.В. Презентация на тему «Уравнения и неравенства с параметрами» [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://www.myshared.ru/slide/623083/4. Козко А. И. Задачи с параметром и другие сложные задачи [Текст] / А. И. Козко, В. Г. Чирский. — М.:МЦНМО, 2007. — 296 с.
5. Мочалов В.В. Уравнения и неравенства с параметрами [Текст]: учеб. пособие / В.В. Мочалов, В.В. Сильвестров. – М., 2006. – 192 с.
6. Мудрякова Н.Н. Урок–лекция «Уравнения и неравенства с параметром» [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://festival.1september.ru/articles/531229/7. Ромашко В. Д. Решение уравнений и неравенств с параметрами / В. Д. Ромашко [Электронный ресурс] // Режим доступа: http://parametry.narod.ru/reshenie2.html
8. Фалилеева М.В. Методические аспекты обучения решению уравнений и неравенств с параметрами [Электронный ресурс] / М. В. Фалилеева // Фундаментальные исследования. – 2013. – № 4 (часть 5) – С. 1230-1235 Режим доступа: http://www.fundamental-research.ru/ru/article/view?id=31396.
Додаток А
Таблиця А.1
Різні види параметризації рівнянь і нерівностей
№ з/п Види рівнянь із параметрами Параметризація Приклади
1 Лінійні рівняння (нерівності) - вільного члена 2х = а - 4
- коефіцієнта при змінній (а ‒ 2)х < 4
- вільного члена й коефіцієнта при змінній (а ‒ 2)х ≤ 4а
2 Раціональні рівняння із двочленами першого ступеня в чисельнику й знаменнику – вільного члена в чисельнику;
– вільного члена в знаменнику;
– вільних членів у чисельнику й у знаменнику;
– коефіцієнтів при змінній у чисельнику або знаменнику.
3 Квадратні рівняння (нерівності) – вільного члена; х2 ‒ 2х + а + 3 ≥ 0
- другого коефіцієнта х2 ‒ (2 + а)х + 3 = 0
– першого коефіцієнта ах2 ‒ 2х + 3 ≤ 0
– обох коефіцієнтів при змінній або вільного члена. ах2 ‒ (2 + а)х + 3 =0
4 Ірраціональні рівняння – під знаком квадратного кореня;
– поза знаком квадратного кореня;
– під знаком та поза знаком кореня
Додаток Б
Таблиця Б
Результати виконання учасниками ЗНО тестових завдань з параметрами
рік № завдання
відсотковий розподіл учасників
за кількістю набраних балів складність дискримінація кореляція
0 1 2 3 4 5 6 2008 31 98,24 - 1,76 - - - - 1,76 5,65 0,28
36 87,65 5,15 2,97 1,78 1,05 0,66 0,74 4,73 17,52 0,65
2009 - - - - - - - - - - -
2010 - - - - - - - - - - -
2011 35 97,80 - 2.20 - - - - 2,20 7,81 0,37
2012
(1 сесія) 32 97,83 - 2,17 - - - - 2,17 7,79 0,31
2013 33 99,9 - 0,10 - - - - 0,10 0,37 0,10
2014 немає даних
2015
(базовий рівень) - - - - - - - - - - -
2015 (поглибле-ний рівень) 36 86,06 7,78 2,12 1,41 1,24 1,14 0,25 4,73 16,61 0,36
2016 33 94,25 4,47 0,56 0,39 0,17 0,05 0,11 1,39 5,08 0,42