Рабочая программа по математике для 10, 11, 12 классов вечерней школы
правовая база
Рабочая программа учебного курса предмета «Математика» для основного общего образования составлена на основании следующих нормативных документов:
Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра. 7 – 9 классы. /Сост. Бурмистрова Т.А. - М.: Просвещение, 2011; Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 7 – 9 классы. /Сост. Бурмистрова Т.А. - М.: Просвещение, 2011;
Федерального компонента государственного стандарта общего образования (приказ от 5 марта 2004 года № 1089 «об утверждении федерального компонента государственных стандартов начального общего, основного и среднего (полного) общего образования»);
Об утверждении Федерального перечня учебников, рекомендованных к использованию при реализации имеющих государственную аккредитацию образовательных программ начального общего, основного общего, среднего общего образования / Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 31.03.2014 г. № 253;
Инструктивно-методического письма МОиН Челябинской области от 30.06.2014г № 03-02/4959 «О преподавании учебного предмета «Математика» в общеобразовательных учреждениях Челябинской области в 2014-2015 учебном году»;
Приказа «Об утверждении «Положения о рабочих программах по учебным курсам, предметам МОУ «СОШ №34» г. Магнитогорска от 05.09.2011 №74/1.
Календарного учебного графика МОУ «СОШ №34» г. Магнитогорска на 2015-2016 учебный год от 04.08.15.
Учебного плана МОУ «СОШ №34» г. Магнитогорска на 2015-2016 учебный год.
Пояснительная записка
Рабочая программа по математике 10 – 12 классов разработана на основе авторских програм м: А.Н. Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П. Дудницын, Б.М. Ивлев, С.И. Шварцбурд Программы по алгебре и началам математического анализа // Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров, М.В. Ткачева, Н.Е. Федорова, М.И. Шабунин Программы по алгебре и началам математического анализа //Программы общеобразовательных учреждений. Алгебра и начала математического анализа. 10-11 классы. Составитель: Т.А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2011.
Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев Программа по геометрии (базовый и профильный уровни)/ Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 10-11 классы. Составитель: Т.А. Бурмистрова – М.: Просвещение, 2011.
Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает распределение учебных часов по разделам курса математики. Рабочая программа позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета.
Обучение математике в 10, 11, 12 классах направлено на достижение следующих целей:
овладение системой математических знаний и умений, необходимых для применения в практической деятельности, изучения смежных дисциплин, продолжения образования;
интеллектуальное развитие, формирование качеств личности, необходимых человеку для полноценной жизни в современном обществе: ясность и точность мысли, критичность мышления, интуиция, логическое мышление, элементы алгоритмической культуры, пространственных представлений, способность к преодолению трудностей;
формирование представлений об идеях и методах математики как универсального языка науки и техники, средства моделирования явлений и процессов;
воспитание культуры личности, отношения к математике как к части общечеловеческой культуры, понимание значимости математики для научно-технического прогресса.
В ходе ее достижения решаются задачи обучения:
приобретение математических знаний и умений;
овладение обобщенными способами мыслительной, творческой деятельностей;
освоение компетенций (учебно-познавательной, коммуникативной, рефлексивной, личностного саморазвития, ценностно-ориентационной) и профессионально-трудового выбора.
Ориентация на воспитание школьника – гражданина и патриота России, развитие духовно-нравственного мира учащегося, его национального самосознания. Эти положения нашли отражение в содержании уроков. В процессе обучения должно быть сформировано умение формулировать свои мировоззренческие взгляды и на этой основе – воспитание гражданственности и патриотизма.
Общая характеристика предмета, его место в учебном плане
Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта и дает распределение учебных часов по разделам курса алгебры и начала математического анализа.
Образовательная программа позволяет всем участникам образовательного процесса получить представление о целях, содержании, общей стратегии обучения, воспитания и развития учащихся средствами данного учебного предмета.
Преподавание алгебры и начала математического анализа продолжается три года. Обучение ведется в соответствии со специальным учебным планом. Предлагаемые материалы соответствуют базисному варианту программ для этой формы обучения. Вместе с тем изучение содержания указанных предметов предусматривает усвоение учащимися курса математики средней школы и обеспечивает возможность продолжения образования учащихся.
Рабочая программа рассчитана на 2 часа в неделю.
Первое полугодие в 10 классе является базово – повторительным. Здесь предусмотрено повторение вопросов курса математики основной школы. Основная цель – восстановить необходимые умения и навыки для усвоения курса старшей школы.
В эти классы поступают учащиеся с существенными пробелами в знаниях и различиями в уровне подготовки. Поэтому мы сразу продумали систему повторения и организации индивидуальной работы с учащимися. Для этого разработана и подготовлена система обучающее – контролирующих карточек и тестов для повторения и отработки вычислительных навыков учащихся и материалов основной школы.
Внесение изменений в примерную программу
Программный материал изучается в течение трех лет, поэтому есть возможность в 10 классе первое полугодие заниматься повторением материала основной школы. Количество часов из примерного планирования учебного материала выбрали по первому варианту.
Уменьшили количество часов по теме «Первообразная и интеграл», т.к. эти темы не востребованы в режиме ЕГЭ базового уровня.
Уменьшили количество часов по теме «Производная показательной и логарифмической функции» для того чтобы уделить больше времени на итоговое повторение и решение вариантов ЕГЭ.
Уменьшили количество часов по темам параллельность прямых и плоскостей, перпендикулярность прямых и плоскостей, но увеличили количество часов по теме многогранники, чтобы решать больше заданий востребованых в режиме ЕГЭ
Планируемый уровень подготовки выпускника
В результате изучения математики на базовом уровне ученик должен знать/понимать
значение математической науки для решения задач, возникающих в теории и практике; широту и в то же время ограниченность применения математических методов к анализу и исследованию процессов и явлений в природе и обществе;
значение практики и вопросов, возникающих в самой математике для формирования и развития математической науки; историю развития понятия числа, создания математического анализа, возникновения и развития геометрии;
универсальный характер законов логики математических рассуждений, их применимость во всех областях человеческой деятельности;
вероятностный характер различных процессов окружающего мира;
Содержание изучаемого курса
10 класс
Алгебраические выражения. Буквенные выражения (выражения с переменными). Числовое значение буквенного выражения. Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения. Подстановка выражений вместо переменных. Равенство буквенных выражений. Тождество, доказательство тождеств. Преобразования выражений.
Свойства степеней с целым показателем. Многочлены. Сложение, вычитание, умножение многочленов. Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности. Формула разности квадратов. Разложение многочлена на множители. Квадратный трехчлен. Теорема Виета. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители. Многочлены с одной переменной. Степень многочлена. Корень многочлена.
Алгебраическая дробь. Сокращение дробей. Действия с алгебраическими дробями.
Рациональные выражения и их преобразования. Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.
Уравнения и неравенства. Уравнение с одной переменной. Корень уравнения. Линейное уравнение. Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения. Решение рациональных уравнений. Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители.
Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными. Система уравнений; решение системы. Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и алгебраическим сложением. Уравнение с несколькими переменными. Неравенство с одной переменной. Решение неравенства. Линейные неравенства с одной переменной и их системы. Квадратные неравенства. Числовые неравенства и их свойства.
Числовые функции. Понятие функции. Область определения функции. Способы задания функции. График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства. Чтение графиков функций.
Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики. Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов. Гипербола. Квадратичная функция, ее график, парабола. Координаты вершины параболы, ось симметрии. Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем.
Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост.
Координаты. Изображение чисел очками координатной прямой. Геометрический смысл модуля числа. Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч.
Декартовы координаты на плоскости; координаты точки. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых. Уравнение окружности с центром в начале координат
Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем, неравенств с двумя переменными и их систем.
Начальные понятия и теоремы геометрии
Точка, прямая и плоскость.
Расстояние. Отрезок, луч. Ломаная.
Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла и ее свойства.
Параллельные и пересекающиеся прямые. Перпендикулярность прямых. Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых.
Многоугольники.
Окружность и круг.
Треугольник. Прямоугольные, остроугольные и тупоугольные треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника.
Признаки равенства треугольников. Неравенство треугольника. Сумма углов треугольника. Внешние углы треугольника. Зависимость между величинам сторон и углов треугольника.
Теорема Фалеса. Подобие треугольников; коэффициент подобия. Признаки подобия треугольников.
Теорема Пифагора. Признаки равенства прямоугольных треугольников. Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников. Основное тригонометрическое тождество. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Теорема косинусов и теорема синусов; примеры их применения для вычисления элементов треугольника.
Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан.
Четырехугольник. Параллелограмм, его свойства и признаки. Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция.
Многоугольники. Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Вписанные и описанные многоугольники. Правильные многоугольники.
Окружность и круг. Центр, радиус, диаметр. Дуга, хорда. Сектор, сегмент. Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла. Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая к окружности; равенство касательных, проведенных из одной точки.
Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.
Измерение геометрических величин. Длина отрезка. Длина ломаной, периметр многоугольника.
Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми. Длина окружности, число (; длина дуги. Величина угла. Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности.
Понятие о площади плоских фигур. Площадь прямоугольника. Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы). Формулы, выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между ними.
Площадь круга и площадь сектора.
Связь между площадями подобных фигур.
Векторы
Вектор. Длина (модуль) вектора. Координаты вектора. Равенство векторов. Операции над векторами: умножение на число, сложение, разложение, скалярное произведение. Угол между векторами.
Действительные числа
Целые и рациональные числа. Действительные числа. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Арифметический корень натуральной степени. Степень с рациональным и действительным показателем.
Основная цель – обобщить и систематизировать знания о действительных о действительных числах; сформировать понятие степени с действительным показателем; научить применять определения арифметического корня и степени, а также их свойства при выполнении вычислений и преобразовании выражений.
Необходимость расширения множества натуральных чисел до действительных мотивируется возможностью выполнять действия, обратные сложению, умножению и возведению в степень, а значит, возможностью решать уравнения x+a=b, ax=b, xa=b.
Степенная функция
Степенная функция, ее свойства и график. Равносильные уравнения и неравенства. Иррациональные уравнения.
Основная цель – обобщить и систематизировать известные из курса алгебры основной школы свойства функций; изучить свойства степенных функций с натуральным и целым показателями и научить применять их при решении уравнений и неравенств; сформировать понятие равносильности уравнений, неравенств, систем уравнений и неравенств.
Рассмотрение свойств степенных функций и их графиков проводится поэтапно, в зависимости от того, каким числом является показатель: 1) четным натуральным числом; 2) нечетным натуральным числом; 3) числом противоположным четному числу; 4) числом противоположным нечетному числу.
Рассмотрение свойств равносильности уравнений, неравенств и систем уравнений и свойств равносильности проводится в связи с предстоящим изучением иррациональных уравнений.
Основным методом решения иррациональных уравнений является возведение обеих частей уравнения в степень с целью перехода к рациональному уравнению-следствию данного.
Показательная функция
Показательная функция, ее свойства и график. Показательные уравнения. Показательные неравенства. Системы показательных уравнений и неравенств.
Основная цель – изучить свойства показательной функции; научить решать показательные уравнения и неравенства, простейшие системы показательных уравнений.
Свойства показательной функции y = ax полностью следует из свойств степени с действительным показателем.
Решение простейших показательных уравнений основано на свойстве степени.
Решение большинства показательных уравнений и неравенств сводится к решению простейших.
Так в ходе решения предлагаемых в этой теме показательных уравнений равносильность не нарушается, то проверка найденных корней необязательна. Здесь системы уравнений и неравенств решаются с помощью равносильных преобразований: подстановкой, сложением или умножением, заменой переменных и т.д.
Параллельность прямых и плоскостей
Параллельность прямых, прямой и плоскости. Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми. Параллельность плоскостей. Тетраэдр и параллелепипед.
Основная цель – сформировать представление учащихся о возможных случаях взаимного расположения двух прямых в пространстве (прямые пересекаются, прямые параллельны, прямые скрещиваются), прямой и плоскости (прямая лежит в плоскости, прямая и плоскость пересекаются, прямая и плоскость параллельны), изучить свойства и признаки параллельности прямых и плоскостей.
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикуляр и наклонные. Угол между прямой и плоскостью. Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей. Трехгранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
Основная цель – ввести понятие перпендикулярности прямых и плоскостей, изучить признаки перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, ввести основные метрические понятия: расстояние от точки до плоскости, расстояние между параллельными плоскостями, между параллельными прямой и плоскостью, расстояние между скрещивающимися прямыми, угол между прямой и плоскостью, угол между двумя плоскостями, изучить свойства прямоугольного параллелепипеда.
11 класс
Логарифмическая функция
Логарифмы. Свойства логарифмов. Десятичные и натуральные логарифмы. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Логарифмический уравнения. Логарифмические неравенства.
Основная цель – сформировать понятие логарифма числа; Научить применять свойства логарифмов при решении уравнений; изучить свойства логарифмической функции и научить применять ее свойства при решении простейших логарифмических уравнений и неравенств.
Для вычисления значений логарифмической функции нужно уметь находить логарифмы чисел, т.е. выполнять новое для учащихся действие – логарифмирование.
Доказательство свойств логарифма опирается на его определение. На практике рассматриваются логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10 (десятичный логарифм) и по основанию е (натуральный логарифм), отсюда возникает необходимость формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию. Так как на инженерном микрокалькуляторе есть клавиши lg и ln, то для вычисления логарифма по основаниям, отличным от 10 и e , нужно применить формулу перехода.
Свойства логарифмической функции активно используются при решении логарифмических уравнений и неравенств.
Изучение свойств логарифмических функций проходит совместно с решением уравнений и неравенств.
При решении логарифмических уравнений и неравенств выполняются различные преобразования. При этом часто нарушается равносильность. Поэтому при решении логарифмических уравнений необходима проверка найденных корней.
Тригонометрические формулы
Радианная мера угла. Поворот точки вокруг начала координат. Определение синуса, косинуса и тангенса угла. Знаки синуса, косинуса и тангенса. Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла. Тригонометрические тождества. Синус, косинус и тангенс углов a и –a. Формулы сложения. Синус, косинус и тангенс двойного угла. Формулы приведения.
Основная цель – сформировать понятие синуса, косинуса, тангенса, котангенса числа; научить применять формулы тригонометрии для вычисления значений тригонометрических функций и выполнения преобразований тригонометрических выражений.
Возможность выявления знаков синусов, косинуса и тангенса по четвертям является следствием симметрии точек единичной окружности относительно осей координат. Равенство cos(-a) = cos a следует из симметрии точек, соответствующих числам a и –a, относительно оси Ох.
Тригонометрические уравнения
Уравнения cos x = a, sin x = a, tg x = a. Решение тригонометрических уравнений.
Основная цель – сформировать умение решать простейшие тригонометрические уравнения и познакомить с некоторыми приемами решения тригонометрических уравнений.
Как и при решении алгебраических, показательных и логарифмических уравнений, решение тригонометрических уравнений путем различных преобразований сводится к решению простейших: cos x = a, sin x = a, tg x = a.
Рассмотрение простейших уравнений начинается с cos x = a, так как формула его корней проще, чем формула корней уравнения sin x = a.
Рассматриваются следующие типы тригонометрических уравнений: линейные относительно cos x, sin x, tg x; сводящиеся к квадратным и другим алгебраическим уравнениям после замены неизвестного; сводящиеся к простейшим тригонометрическим уравнениям после разложения на множители.
Решение простейших тригонометрических уравнений основывается на изученных свойствах тригонометрических функций. При этом целесообразно широко использовать графические иллюстрации с помощью единичной окружности.
Предполагается возможность использования различных справочных материалов: учебника, таблиц, справочников.
Тригонометрические функции
Область определения и множество значений тригонометрических функций. Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций. Свойства функции y = cos x и ее график. Свойства функции y = sin x и ее график. Свойства функции y = tg x и ее график. Обратные тригонометрические функции.
Основная цель – изучить свойства тригонометрических функций, научить учащихся применять эти свойства при решении уравнений и неравенств, научить строить графики тригонометрических функций.
Многогранники
Понятие многогранника. Призма. Пирамида. Правильные многогранники.
Основная цель – познакомить учащихся с основными видами многогранников (призма, пирамида, усеченная пирамида), с правильными многогранниками и элементами их симметрии.
Многогранник определяется как поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело (его тоже называют многогранником).
Векторы в пространстве
Понятие вектора в пространстве. Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. Компланарные векторы.
Основная цель – закрепить известные учащимся из курса планиметрии сведения о векторах и действиях над ними, ввести понятие компланарных векторов в пространстве и рассмотреть вопрос о разложении любого вектора по трем данным некомплонарным векторам.
Основные определения, относящиеся к действиям над векторами в пространстве, вводятся так же, как и для векторов на плоскости. Поэтому изложение этой части материала является достаточно сжатым. Более подробно рассматриваются вопросы, характерные для векторов в пространстве: комплонарность векторов, правило параллелепипеда сложения трех некомпланарных векторов, разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
Метод координат в пространстве
Координаты точки и координаты вектора. Скалярное произведение векторов. Уравнение плоскости.
Основная цель – сформировать умение учащихся применять векторно координатный метод к решению задач на вычисление углов между прямыми и плоскостями и расстояний между двумя точками, от точки до плоскости.
Вводится понятие прямоугольной системы координат в пространстве, даются определения координат точки и координат вектора, рассматриваются простейшие задачи в координатах. Затем вводится скалярное произведение векторов, кратко перечисляются его свойства и выводятся формулы для вычисления углов между двумя прямыми, между прямой и плоскостью. Дан также вывод уравнения плоскости и формулы расстояния от точки до плоскости.
12 класс
Первообразная и интеграл
Первообразная. Первообразные степенной функции с целым показателем, синуса и косинуса. Простейшие правила нахождения первообразных.
Площадь криволинейной трапеции. Интеграл. Формула Ньютона – Лейбница. Применение интеграла к вычислению площадей и объемов.
Основная цель – ознакомить с интегрированием как операцией, обратной дифференцированию; показать применение интеграла к решению геометрических задач.
Задача отработки навыков нахождения первообразных не ставится, упражнения сводятся к простому применению таблиц и правил нахождения первообразных.
Интеграл вводится на основе рассмотрения задачи о площади криволинейной трапеции и построения интегральных сумм. Формула Ньютона – Лейбница вводится на основе наглядных представлений.
В качестве иллюстрации применения интеграла рассматривается только задачи о вычислении площадей и объемов.
Показательная и логарифмические функции
Понятие о степени с иррациональным показателем. Решение иррациональных уравнений.
Показательная функция, ее свойства и график. Тождественные преобразования показательных уравнений, неравенств и систем.
Логарифм числа. Основные свойства логарифмов. Логарифмическая функция, ее свойства и график. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
Производная показательной функции. Число е и натуральный логарифм. Производная степенной функции.
Основная цель – привести в систему и обобщить сведения о степенях; ознакомить с показательной, логарифмической и степенной функциями и их свойствами; научить решать несложные показательные, логарифмические и иррациональные уравнения, их системы.
Серьезное внимание следует уделить работе с основными логарифмическими и показательными тождествами, которые используются как при изложении теоретических вопросов, так и при решении задач.
Исследование показательной, логарифмической и степенной функцией проводится в соответствии с ранее введенной схемой. Проводится краткий обзор свойств этих функций в зависимости от значений параметров.
Цилиндр, конус и шар
Понятие цилиндра. Площадь поверхности цилиндра. Понятие конуса. Площадь поверхности конуса. Усеченный конус. Сфера и шар. Уравнение сферы. Взаимное расположение сферы и плоскости. Касательная плоскость к сфере. Площадь сферы.
Основная цель – дать учащимся систематические сведения об основных телах и поверхностях вращения – цилиндре, конусе, сфере, шаре.
Изучение круглых тел (цилиндра, конуса, шара) и их поверхностей завершает знакомство учащихся с основными пространственными фигурами. Вводятся понятия цилиндрической и конической поверхностей, цилиндра, конуса, усеченного конуса. С помощью разверток определяются площади их боковых поверхностей, выводятся соответствующие формулы. Затем даются определение сферы и шара, выводится уравнение сферы и с его помощью исследуется вопрос о взаимном расположении сферы и плоскости.
Объемы тел
Объем прямоугольного параллелепипеда. Объемы прямой призмы и цилиндра. Объемы наклонной призмы, пирамиды и конуса. Объем шара и площадь сферы. Объемы шарового сегмента, шарового слоя и шарового сектора.
Основная цель – ввести понятие объема и вывести формулы для вычисления объемов основных многогранников и круглых тел, изученных в курсе стереометрии.
Требования к уровню подготовки.
Программа обеспечивает достижение следующих результа тов освоения образовательной про граммы основного общего образования:
личностные:
1) сформированность ответственного отношения к учению, готовность и способности обучающихся к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и по знанию, выбору дальнейшего образования на базе ориен тировки в мире профессий и профессиональных предпо чтений, осознанному построению индивидуальной образо вательной траектории с учётом устойчивых познавательных интересов;
2) сформированность целостного мировоззрения, соответ ствующего современному уровню развития науки и обще ственной практики;
3) сформированность коммуникативной компетентности в об щении и сотрудничестве со сверстниками, старшими и младшими, в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, творческой и других видах де ятельности;
4) умение ясно, точно, грамотно излагать свои мысли в уст ной и письменной речи, понимать смысл поставленной за дачи, выстраивать аргументацию, приводить примеры и контрпримеры;
5) представление о математической науке как сфере челове ческой деятельности, об этапах её развития, о её значимо сти для развития цивилизации;
6) критичность мышления, умение распознавать логически некорректные высказывания, отличать гипотезу от факта;
7) креативность мышления, инициатива, находчивость, ак тивность при решении алгебраических задач;
8) умение контролировать процесс и результат учебной мате матической деятельности;
9) способность к эмоциональному восприятию математиче ских объектов, задач, решений, рассуждений.
метапредметные:
1) умение самостоятельно планировать альтернативные пути достижения целей, осознанно выбирать наиболее эффек тивные способы решения учебных и познавательных задач;
2) умение осуществлять контроль по результату и по способу действия на уровне произвольного внимания и вносить не обходимые коррективы;
3) умение адекватно оценивать правильность или ошибоч ность выполнения учебной задачи, её объективную труд ность и собственные возможности её решения;
4) осознанное владение логическими действиями определе ния понятий, обобщения, установления аналогий, класси фикации на основе самостоятельного выбора оснований и критериев, установления родовидовых связей;
5) умение устанавливать причинно-следственные связи; стро ить логическое рассуждение, умозаключение (индуктивное, дедуктивное и по аналогии) и выводы;
6) умение создавать, применять и преобразовывать зиаково символические средства, модели и схемы для решения учебных и познавательных задач;
7) умение организовывать учебное сотрудничество и совмест ную деятельность с учителем и сверстниками: определять цели, распределение функций и ролей участников, взаи модействие и общие способы работы; умение работать в группе: находить общее решение и разрешать конфликты на основе согласования позиций и учёта интересов; слу шать партнёра; формулировать, аргументировать и отста ивать своё мнение;
8) сформированность учебной и общепользовательской компетентности в области использования информаци онно-коммуникационных технологий (ИКТ -компетентно сти);
9) первоначальные представления об идеях и о методах мате матики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов;
10) умение видеть математическую задачу в контексте проб лемной ситуации в других дисциплинах, в окружающей жизни;
11) умение находить в различных источниках информацию, необходимую для решения математических проблем, и представлять её в понятной форме; принимать решение в условиях неполной и избыточной, точной и вероятност ной информации;
12) умение понимать и использовать математические средства наглядности (рисунки, чертежи, схемы и др.) для иллю страции, интерпретации, аргументации;
13) умение выдвигать гипотезы при решении учебных задач и понимать необходимость их проверки;
14) умение применять индуктивные и дедуктивные способы рассуждений, видеть различные стратегии решения задач;
15) понимание сущности алгоритмических предписаний и умение действовать в соответствии с предложенным алго ритмом;
16) умение самостоятельно ставить цели, выбирать и создавать алгоритмы для решения учебных математических проблем;
17) умение планировать и осуществлять деятельность, направ ленную на решение задач исследовательского характера.
предметные:
1) умение работать с математическим текстом (структуриро вание, извлечение необходимой информации), точно и грамотно выражать свои мысли в устной и письменной речи, применяя математическую терминологию и симво лику, использовать различные языки математики (словес ный, символический, графический), обосновывать сужде ния, проводить классификацию, доказывать математиче ские утверждения;
2) владение базовым понятийным аппаратом: иметь пред ставление о числе, владение символьным языком алгебры, знание элементарных функциональных зависимостей, формирование представлений о статистических законо мерностях в реальном мире и о различных способах их из учения, об особенностях выводов и прогнозов, носящих вероятностный характер;
3) умение выполнять алгебраические преобразования рацио нальных выражений, применять их для решения учебных математических задач и задач, возникающих в смежных учебных предметах;
4) умение пользоваться математическими формулами и само стоятельно составлять формулы зависимостей между вели чинами на основе обобщения частных случаев и экспери мента;
5) умение решать линейные и квадратные уравнения и нера венства, а также приводимые к ним уравнения, неравен ства, системы; применять графические представления для решения и исследования уравнений, неравенств, систем; применять полученные умения для решения задач из ма тематики, смежных предметов, практики;
6) овладение системой функциональных понятий, функцио нальным языком и символикой, умение строить графики функций, описывать их свойства, использовать функцио нально- графические представления для описания и анали за математических задач и реальных зависимостей;
7) овладение основными способами представления и анализа статистических данных; умение решать задачи на нахож дение частоты и вероятности случайных событий;
8) умение применять изученные понятия, результаты и мето ды при решении задач из различных разделов курса, в том числе задач, не сводящихся к непосредственному приме нению известных алгоритмов.
Требования к уровню подготовки выпускников
В результате изучения математики ученик должен
знать/понимать
существо понятия математического доказательства; приводить примеры доказательств;
существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритмов;
как используются математические формулы, уравнения и неравенства; примеры их применения для решения математических и практических задач;
как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;
каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики;
смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации.
Алгебра
уметь
составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач; осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления, осуществлять подстановку одного выражения в другое; выражать из формул одну переменную через остальные;
выполнять основные действия со степенями с целыми показателями, с многочленами и с алгебраическими дробями; выполнять разложение многочленов на множители; выполнять тождественные преобразования рациональных выражений;
применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни;
решать линейные, квадратные, иррациональные, логарифмические и показательные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним, системы двух уравнений и несложные нелинейные системы,
решать линейные и квадратные и показательные неравенства с одной переменной и их системы,
решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи;
изображать числа точками на координатной прямой;
определять координаты точки плоскости, строить точки с заданными координатами; изображать множество решений линейного неравенства;
распознавать арифметические и геометрические прогрессии; решать задачи с применением формулы общего члена и суммы нескольких первых членов;
находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по ее аргументу; находить значение аргумента по значению функции, заданной графиком или таблицей;
определять свойства функции по ее графику; применять графические представления при решении уравнений, систем, неравенств;
описывать свойства изученных функций, строить их графики;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
выполнения расчетов по формулам, для составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами; для нахождения нужной формулы в справочных материалах;
моделирования практических ситуаций и исследование построенных моделей с использованием аппарата алгебры;
описания зависимостей между физическими величинами соответствующими формулами, при исследовании несложных практических ситуаций;
интерпретации графиков реальных зависимостей между величинами.
Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей
уметь
проводить несложные доказательства, получать простейшие следствия из известных или ранее полученных утверждений, оценивать логическую правильность рассуждений, использовать примеры для иллюстрации и контрпримеры для опровержения утверждений;
извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках; составлять таблицы, строить диаграммы и графики;
решать комбинаторные задачи путем систематического перебора возможных вариантов и с использованием правила умножения;
вычислять средние значения результатов измерений;
находить частоту события, используя собственные наблюдения и готовые статистические данные;
находить вероятности случайных событий в простейших случаях;
использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
выстраивания аргументации при доказательстве и в диалоге;
распознавания логически некорректных рассуждений;
записи математических утверждений, доказательств;
анализа реальных числовых данных, представленных в виде диаграмм, графиков, таблиц;
решения практических задач в повседневной и профессиональной деятельности с использованием действий с числами, процентов, длин, площадей, объемов, времени, скорости;
решения учебных и практических задач, требующих систематического перебора вариантов;
сравнения шансов наступления случайных событий, для оценки вероятности случайного события в практических ситуациях, сопоставления модели с реальной ситуацией;
понимания статистических утверждений.
Геометрия
Знать/понимать
Существо понятия математического доказательства; приводить примеры доказательств;
Существо понятия алгоритма; приводить примеры алгоритмов;
Как используются математические формулы, уравнения и неравенства, примеры их применения дл решения математических и практических задач;
Как математически определенные функции могут описывать реальные зависимости; приводить примеры такого описания;
Как потребности практики привели математическую науку к необходимости расширения понятия числа;
Вероятностный характер многих закономерностей окружающего мира; примеры статистических закономерностей и выводов;
Каким образом геометрия возникла из практических задач землемерия; примеры геометрических объектов и утверждений о них, важных для практики;
Смысл идеализации, позволяющей решать задачи реальной действительности математическими методами, примеры ошибок, возникающих при идеализации.
Уметь
Пользоваться геометрическим языком для описания предметов окружающего мира;
Распознавать геометрические фигуры, различать их взаимное расположение;
Изображать геометрические фигуры; выполнять чертежи по условию задач; осуществлять преобразования фигур;
Распознавать на чертежах, моделях и в окружающей обстановке основные пространственные тела, изображать их;
В простейших случаях строить сечения и развертки пространственных тел;
Проводить операции над векторами, вычислять длину и координаты вектора, угол между векторами;
Вычислять значения геометрических величин (длин, углов, площадей, объемов); определять значения тригонометрических функций по заданным значениям углов; находить значения тригонометрических функций по значению одной из них, находить стороны, углы и площади треугольников, длины ломаных, дуг окружности, площадей основных геометрических фигур и фигур составленных из них;
Решать геометрические задачи, опираясь на изученные свойства фигур и отношений между ними, применяя дополнительные построения, алгебраический и тригонометрический аппарат, соображения симметрии;
Проводить доказательные рассуждения при решении задач, используя известные теоремы, обнаруживая возможности для их использования;
Решать простейшие планиметрические задачи в пространстве;
Использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни для:
Описания реальных ситуаций на языке геометрии;
Расчетов, включающих простейшие тригонометрические формулы;
Решения геометрических задач с использованием тригонометрии;
Решения практических задач, связанных с нахождением геометрических величин (используя при необходимости справочники и технические средства);
Построений геометрическими инструментами (линейка, угольник, циркуль, транспортир).
Учебно-методическое обеспечение предмета
Цифровые образовательные ресурсы
1.Геометрия. 10 - 11 классы : учеб. для общеобразоват. учреждений : базовый и профил. уровни / [Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев и др.]. – М.: Просвещение, 2012
2.Геометрия. 10 класс. Дидактические материалы. Зив Б.Г. –М.: Просвещение, 2014
3.Саакян С. М. Изучение геометрии в 1011 классах: кн. для учителя / С. М. Саакян, В. Ф. Бутузов. – М.: Просвещение, 2010
4.Геометрия. 7-9 класс: учебник для общеобразовательных учреждений Л.С. Атанасян – М.: Просвещение, 2012.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]13 EMBED Equation.3 1415свойства элементарных функций.
-Метод интервалов при решении неравенств.
-Свойства корня n – ой степени, где 13 EMBED Equation.3 1415
-Определение степени с дробным показателем и его свойства.
-Определения арифметической и геометрической прогрессии; формулы n – ого члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессии.
Уметь
- Применять тождества сокращённого умножения при преобразовании выражений.
- Решать: квадратные, биквадратные и дробно – рациональные уравнения.
- Строить графики элементарных функций.
- Решать: неравенства второй степени;
параболы; дробно – линейные неравенства методом интервалов.
- Упрощать выражения, содержащие: корни n – ой степени, где 13 EMBED Equation.3 1415; степени с дробным показателем.
- Решать простейшие задачи на арифметическую и геометрическую прогрессии.
Типовые задачи.
Упростите выражение:
а). 13 EMBED Equation.3 1415
б). 13 EMBED Equation.3 1415
в). 13 EMBED Equation.3 1415
Решите уравнение:
а).13 EMBED Equation.3 1415
б). 13 EMBED Equation.3 1415 в).13 EMBED Equation.3 1415
Постройте график функции: а).13 EMBED Equation.3 1415 б).13 EMBED Equation.3 1415
в). 13 EMBED Equation.3 1415
Решите неравенство:
а). 13 EMBED Equation.3 1415 б). 13 EMBED Equation.3 1415
в). 13 EMBED Equation.3 1415
1. Решить уравнения: а)2хІ+3х–5=0; б) хІ–5х–1=0; в) 12–хІ=11;
г) 10хІ+5х=0;
д) 2хІ–14=0; е)2х-7=10-3(х+2)
2. Разложите на множители квадратный трехчлен на множители
3хІ+5х–3
3.Площадь прямоугольника 96 кв.см. Найти его стороны, если одна из сторон на 4 см меньше другой
4.Найти значение выражения 13 EMBED Equation.3 1415, при х=0, у=–5.
5. Сократить13 EMBED Equation.3 1415
6. Представить в виде дроби13 EMBED Equation.3 1415
7. Упрости 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
8. Решить 13 EMBED Equation.3 1415
9. Сравнить13 EMBED Equation.3 1415
10.Проходит ли прямая 5х–2у=1 через точку А(5;12)
11.Постройте график уравнения у-3х=2
12.Решить систему уравнений13 EMBED Equation.3 1415
13.Функция задана формулой 13 EMBED Equation.3 1415.
а) Найдите значение функции при х=0,5
б) При каких значениях х значение функции равно -8
в) Постройте график функции
г) Найдите промежутки возрастания и убывания функции
14.Найдите область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415
1.Разложите на множители: ав+3ас-2в-6с
2.Задайте множество точек, удовлетворяющих условиям: х<3;1>x>-10
3.Упростить13 EMBED Equation.3 1415:13 EMBED Equation.3 1415
4.Вычислить13 EMBED Equation.3 1415
5.Сократить13 EMBED Equation.3 1415
6.Решить уравнение13 EMBED Equation.3 1415
7. Упростить а)13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 г) 13 EMBED Equation.3 1415д) 13 EMBED Equation.3 1415
8.Расположить в порядке возрастания13 EMBED Equation.3 1415
9.Упростить13 EMBED Equation.3 1415
10.Сократить дробь13 EMBED Equation.3 1415
11.Решить уравнение а)13 EMBED Equation.3 1415
б)13 EMBED Equation.3 1415=0
12.Решить систему уравнений а)13 EMBED Equation.3 1415 б)13 EMBED Equation.3 1415
13.Запишите уравнение прямой, проходящей через точки А(-10;20), В(1;9).
14. Найти область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415
15.Найти нули функции 13 EMBED Equation.3 1415
К\р за курс основной школы
2
11
Действительные числа
Знать определение целых и рациональных чисел, действительные числа;
понятие бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
понятие арифметического корня натуральной степени;
понятие степени с рациональным и действительным показателем.
Сформировать понятие степени с действительным показателем;
Уметь применять определения арифметического корня и степени, а также их свойства при выполнении вычислений и преобразовании выражений;
расширить представление множества натуральных чисел до действительных чтобы выполнять действия, обратные сложению, умножению и возведению в степень, а значит, возможностью
решать уравнения x+a=b, ax=b, xa=b.
Знать определение бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
свойства сходящихся числовых рядов.
Уметь находить сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии;
обращать бесконечную переодическую дробь в обыкновенную.
К.р. по теме «Действительные числа»
3
9
Степенная функция
Знать определение степенной функции, ее свойства и график; понятие о равносильности уравнений и неравенств;
определение иррациональных уравнений;
известные из курса алгебры основной школы свойства функций;
свойства степенных функций с натуральным и целым показателями; понятие равносильности уравнений, неравенств.
Уметь применять эти свойства их при решении уравнений и неравенств;
решать иррациональные уравнения возведением обеих частей уравнения в степень с целью перехода к рациональному уравнению-следствию данного.
Типовые задачи
Найдите область определения функции y = 6
·6 + 0,5x.
Схематически изобразите график функции у = х -4 и перечислите ее основные свойства. Пользуясь свойствами этой функции сравниете:
1 и (0,3)-4; 2) (2
·3) -4 и (3
·2) -4.
Решите уравнение
·1 – х = х + 1.
Знать свойства степенных функций и их графиков проводится, в зависимости от того, каким числом является показатель: 1) четным натуральным числом; 2) нечетным натуральным числом; 3) числом противоположным четному числу; 4) числом противоположным нечетному числу;
понятие равносильности неравенств, систем уравнений и неравенств.
Уметь применять эти свойства их при решении неравенств.
Типовые задачи
Решите уравнение
·2х + 5 -
·х + 6 = 1
К.р. по теме «Степенная функция»
4
10
Показательная функция
Знать определение
показательной функции, ее свойства и график;
определение показательных уравнений;
свойства показательной функции y = ax
Уметь
решать простейшие показательные уравнения, используя свойство степени;
решать линейные и квадратные уравнения и неравенства, т.к. решение большинства показательных уравнений и неравенств сводится к решению простейших;
так в ходе решения предлагаемых в этой теме показательных уравнений равносильность не нарушается, то проверка найденных корней необязательна;
решать системы уравнений и неравенств с помощью равносильных преобразований: подстановкой, сложением или умножением, заменой переменных и т.д.
Типовые задачи
Вычислите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
Упростите выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
Решите уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
Знать определение показательных неравенств;
понятие о системах показательных уравнений и неравенств.
Уметь
решать более сложные показательные уравнения и неравенства;
решать системы уравнений и неравенств решаются с помощью равносильных преобразований: подстановкой, сложением или умножением, заменой переменных и т.д.
Типовые задачи
Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 43 ) в виде обыкновенной дроби
Сократите дробь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; Сравните числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Вычислить [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
К. р. по теме «Показательная функция»
5
7
Повторение
Знать
определение показательных уравнений;
свойства показательной функции y = ax
Уметь
решать простейшие показательные уравнения;
решать системы показательных уравнений и неравенств.
Итоговая контрольная работа
Поурочно-тематическое планирование
Предмет: Алгебра.
Основной учебник: Ш.А. Алимов Алгебра и начала анализа 10-11.
Класс: 11 (3г.) 2часа в неделю, всего 68 часа.
№
п/п
Колво час
На тему
Содержание
Требование к образовательному уровню
Требование к уровню возможностей
Формы контроля
Примечание*
1
6
Повторение
Знать: понятие степени с рациональным и действительным показателем.
Уметь: применять определения арифметического корня и степени, а также их свойства при выполнении вычислений и преобразовании выражений; решать иррациональные уравнения возведением обеих частей уравнения в степень с целью перехода к рациональному уравнению-следствию данного.
решать простейшие показательные уравнения, используя свойство степени;
с/р
2
14
Логарифмическая функция
Знать:
определение логарифма, свойства логарифмов, определение десятичных и натуральных логарифмов; сформировать понятие логарифмической функции, ее свойства и график.
сформировать понятие логарифма числа;
изучить свойства логарифмической функции и научить применять ее свойства при решении простейших логарифмических уравнений и неравенств.
Уметь:
находить логарифмы чисел для вычисления значений логарифмической функции нужно уметь, т.е. выполнять новое для учащихся действие – логарифмирование;
решать логарифмические уравнения, логарифмические неравенства;
применять свойства логарифмов при решении уравнений;
при решении логарифмических уравнений делать проверку найденных корней.
Знать:
логарифмы по различным основаниям, в частности по основанию 10 (десятичный логарифм) и по основанию е (натуральный логарифм), формулы перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию.
Уметь:
на инженерном микрокалькуляторе находить lg и ln, и для вычисления логарифма по основаниям, отличным от 10 и e , применять формулу перехода.
Контрольная работа по теме «Логарифмическая функция»
3
21
Тригонометрические формулы
Знать:
- понятия sin
·, cos
·, tg
·, ctg
·;
- для каких значений
· имеет смысл каждое из выражений: sin
·, cos
·, tg
·, ctg
·;
-свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса:
- область значений функций
- какие знаки имеют синус, косинус, тангенс и котангенс в каждой из координатных четвертей
- какие из тригонометрических функций являются четными, какие нечетными
- понятие радиана;
-переход от радианной меры к градусной и от градусной меры к радианной;
- значения тригонометрических функций для значения аргументов 13 EMBED Equation.3 1415 ;
- основные тригонометрические тождества;
- как раскрывать тригонометрические тождества, используя основные тождества;
- общий вид формул приведения.
-формулы сложения для синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
- формулы двойного аргумента;
-формулы суммы и разности тригонометрических функций;
-как пользоваться справочной литературой.
Уметь:
- находить значения тригонометрических выражений, на основе определений, с помощью калькулятора или таблицы;
- определять знаки тригонометрических функций по четвертям;
-использовать свойство четности и нечетности при нахождении значений тригонометрических функций;
- находить простейшие значения тригонометрических выражений;
- определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции;
- использовать таблицу значений тригонометрических функций для решения задач;
- использовать основные тригонометрические тождества к преобразованию выражений;
-пользоваться справочной литературой;
-использовать формулы приведения для решения задач.
- раскрывать тригонометрические тождества используя тригонометрические формулы (разрешается пользоваться справочными материалами);
- пользоваться справочной литературой по тригонометрическим формулам.
Типовые задания:
1. Вычислите:
а) sin 135o; б) cos13 EMBED Equation.3 1415
2. Вычислите с точностью до 0,01 (с помощью калькулятора или таблиц) sin 40; tg 110o
3. Дана единичная окружность. С помощью линейки и транспортира найдите значения sin 500, cos 50o с точностью до 0,1
4. Найдите значение выражения:
а) 2cos 60o +
·3 cos 30o
б) 4tg 60o – cos 60o
5. Какой знак имеет:
а) ctg 362o; б) cos 48o; в) cos (-118o) и т.д.
6. Найдите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415.
7. Зубчатое колесо, имеющее 56 зубцов, повернулось на 14 зубцов против часовой стрелки. Выразите в радианах угол поворота колеса.
1. Вычислите: 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите значение cos
·, если 13 EMBED Equation.3 1415
3. Найдите значение cos
·, если 13 EMBED Equation.3 1415
4. Упростите выражение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 1 - sin2
· ( ctg2
·
в) 13 EMBED Equation.3 1415
5. Приведите значение аргумента к I четверти:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415
6. Найдите значения выражения:
а) sin 240o; б) cos (-210o); в) ctg (-225o)
1. Вычислите без помощи таблиц sin 15o, tg 22,5o, cos 15o;
2. Вычислите:
а) sin 17o cos 28o + cos 17o sin 28o
б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Найдите значение выражений:
13 EMBED Equation.3 1415
если
· = 52о,
· = 7о
4. Упростите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
5. Докажите тождества:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) cos4
· – sin4
· = cos2
·
6. Вычислите sin2
·, cos2
·, sin(
·-
·) и cos(
·+
·), если 13 EMBED Equation.3 14157. Сократите дробь:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 б) 13 EMBED Equation.3 1415
Знать:
-как с помощью рисунка определить sin
·, cos
·, tg
·, ctg
·;
- что значения sin
·, cos
·, tg
·, ctg
·, где 0<
·<180o, зависят от длины радиуса R;
-единицы измерения величины угла;
-что понимается за 1о; за 1 радиан;
-по каким формулам вычисляется длина дуги, выраженная в градусах; в радианах;
- по каким формулам вычисляется площадь сектора, дуга которого выражена в градусах; в радианах;
- доказательства основных тригонометрических тождеств;
- что называется секансом и косекансом;
- дополнительные тождества;
-мнемоническое правило для записи формул приведения.
- выполнять более сложные тождественные преобразования тригонометрических выражений;
- выводить тригонометрические формулы;
- применять формулы сложения, формулы суммы и разности, формулы понижения степени и др. в доказательстве тригонометрических тождеств.
Уметь:
- доказать, что областью значений синуса и косинуса является промежуток [-1; 1], а областью значений тангенса и котангенса – множество всех действительных чисел;
- выводить основные свойства тригонометрических функций;
-находить более сложные значения тригонометрического выражения; справочного материала;
-использовать свойства функций для сравнения и оценки ее значений;
-таблицу значений тригонометрических функций;
-переводить градусы в радианы и наоборот.
-доказывать основные тригонометрические тождества;
- применять основные тригонометрические формулы к преобразованию выражений;
- использовать правила для выведения формул произведения в применении формул, обращать внимание на ограничения значений параметров и переменных, содержащих в них;
- применять формулы приведения в преобразованиях тригонометрических выражений.
Задания продвинутого уровня:
1. Запишите значение выражения в стандартном виде (с помощью калькулятора или таблиц), указав две значащие цифры: 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Может ли sin
· принимать значение, равное 13 EMBED Equation.3 1415
3. Вычислите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Найти радианную меру угла:
а) 210о; б) -18о.
5. Найти градусную меру угла:
а) 3
·; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 1,7
6. Расположите в порядке возрастания числа:
sin 3
·; cos 0,2; cos 1,2
7. Радианная мера дуги равна 2, а площадь сектора равна 256 см2. Найдите радиус сектора.
1. Упростить выражения:
а) (tg
· + ctg
·)2 – (tg
· – ctg
·)2
б) ctg2
· – cos2
· – ctg2
· ( cos2
·
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Найдите значение выражения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Докажите тождество
13 EMBED Equation.3 14154. Дано: sin
·+cos
·=k. Найдите:
а) cos3
· + sin3
· б) sin
· – cos
·
5. Вычислите значения остальных тригонометрических функций, если известно значение:
а) tg
· = k-1, 180o<
·<270o
б) 13 EMBED Equation.3 1415
6. Доказать тождество:
13 EMBED Equation.3 1415
1. Найдите значение выражения
13 EMBED Equation.3 1415
2. Упростите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Докажите тождество:
а) sin 20o + sin 40o – cos 10o = 0
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) (sin2t +2sin t ( cos t – cos2t)2 = 1 – sin 4t
4. Доказать, что
sin A + sin B + sin C = 4cos13 EMBED Equation.3 1415,
где А, В, С – углы треугольника.
5. Что больше tg2
· или 2tg
·, где 0о<
·<90o,
·
·45o.
При каких значениях
· имеет место равенство tg2
· = 2tg
·?
Контрольная работа по теме «Тригонометрические формулы»
4
15
Тригонометрические уравнения
Знать:
-определения арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса;
-формулы корней простейших тригонометрических уравнений;
- особую форму записи решений для частных случаев;
-определение простейших тригонометрических неравенств, различные способы их решения;
-алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств.
Уметь:
-определять табличные значения обратных тригонометрических функций;
-решать простейшие задачи с арксинусом, арккосинусом, арктангенсом и арккотангенсом;
-решать уравнения вида cos x =
·, sin x =
·, tg x =
· и уравнений, которые приводятся к этому виду;
-отмечать решения простейших тригонометрических неравенств на графике и на единичной окружности;
-использовать алгоритм решения простейших тригонометрических неравенств для решения неравенств;
-решать простейшие системы тригонометрических уравнений;
-правильно употреблять термины «уравнение», «неравенство», «система», «корень уравнения», «решение системы», понимать их в тексте;
- составлять уравнения и неравенства по условию задачи.
Типовые задания:
1. Вычислите:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) 13 EMBED Equation.3 1415;
в) 13 EMBED Equation.3 1415.
2. Сравните числа:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
3. Вычислите:
13 EMBED Equation.3 14154. Решите уравнение:
а) cos x = -1
б) 2cos x – 1 = 0
в) tg x = -13 EMBED Equation.3 1415
г) 13 EMBED Equation.3 1415
д) 13 EMBED Equation.3 1415
и т.д.
5. Решить неравенство:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
6. Решить системы уравнений:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Знать:
-как определять табличные значения (алгоритм);
-что означает геометрически arcsin x, arсcos x;
-как строятся графики обратных тригонометрических функций;
-эквивалентны ли выражения:
а) y = arcos x и cos y = x
б) y = arctg x и y = tg x
и т.д.;
- свойства обратных тригонометрических функций;
- основные тождества (формулы) обратных тригонометрических функций;
-какие тригонометрические уравнения называются однородными и как они решаются;
-что значит решить систему двух тригонометрических уравнений;
- какими способами можно решить простейшее тригонометрическое неравенство;
-какому условию должно удовлетворять
·, чтобы имело решение неравенство:
1) sin x <
·; 2) sin x >
·;
3) cos x <
· 4) cos x >
·.
Уметь:
- используя основные свойства обратных тригонометрических функций и основные тождества, находить значения обратных тригонометрических функций; доказывать тождества и упрощать;
-решать более сложные тригонометрические уравнения, используя тригонометрические формулы для преобразования, через введение новой переменной, через разложение на множители и др.;
-решать однородные тригонометрические уравнения;
-решать тригонометрические неравенства;
- решать системы тригонометрических уравнений;
-использовать для приближенного решения уравнений и неравенств графический метод;
-изображать на координатной плоскости множества решений простейших уравнений и их систем.
Задания продвинутого уровня:
1. Найдите область определения:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Разложите числа в порядке возрастания:
а) arccos 0,9; arccos (-0,6); arccos 13 EMBED Equation.3 1415
б) arcctg (-7); arcctg (-2,5); arcctg 1,4
3. Преобразовать выражение:
а) sin (2arcsin x)
б) 13 EMBED Equation.3 1415
4. Доказать тождество:
13 EMBED Equation.3 1415
5. Решить уравнение:
а) tg 2x cos x = 0
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 3cos 2x = 7 sin x
г) cos4x – sin4x = 13 EMBED Equation.3 1415
д) 2sin2x + cos2x = 5sin x cos x
е) cos2x + cos22x + cos23x + cos24x = 2
6. Решите систему:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
7. Найдите tg t, где t – сумма корней уравнения 4cos2x + cos2x = 5 из промежутка [0; 2
·].
8. Найдите 2 ( cos t, где t – наибольшие отрицательные решения 13 EMBED Equation.3 1415.
Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения»
5
12
Тригонометрические функции
Знать:
- определения, синуса, косинуса, тангенса, котангенса, основное тригонометрическое тождество, область значений для синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
-основные тригонометрические тождества, формулы сложения, суммы и разности, формулы двойного угла, формулы половинного угла (можно использовать справочный материал), общий вид формул приведения;
-определение функций синуса и косинуса, их область определения и область значений, тождества четности и периодичности для синуса и косинуса;
-что такое синусоида и линия синусов;
- определения тангенса и котангенса, их область определения и область значений, свойства четности функций y = tg x и y = ctg x и периодичности;
- что такое тангенсоида и линия тангенсов;
- как изображаются графики тригонометрической функции.
Уметь:
-переводить градусы в радианы и наоборот, использовать таблицу значений тригонометрических функций для решения задач;
- использовать основные тригонометрические тождества;
- вычислять значения тригонометрических функций по известному значению одной из них;
-выполнять простейшие тождественные преобразования тригонометрических выражений (используя справочный материал);
- строить графики функций y = sin x и
y = cos x;
-строить графики функций y = tg x и
y = ctg x.
Типовые задания:
1. Дано: sin
· = 13 EMBED Equation.3 1415; 180o<
·<270o
Найдите: а) cos2
·, 13 EMBED Equation.3 1415
б) ctg (
· –
·)
2. Докажите тождество:
а) 16sin4
· – (sin2
· – 3cos2
·)2=24sin2
· – 9
б) 13 EMBED Equation.3 1415
(другие примеры по тригонометрии приведены в ранее рассмотренных разделах)
3. Найдите значения синуса и косинуса
·, если
· равно: 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Постройте график функции:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) y = tg (x +
·)
Знать:
-четко работу с единичной окружностью, вывод определений синуса, косинуса, тангенса и котангенса;
-наизусть все формулы тригонометрии с выводом (с доказательством);
-дополнительные формулы тригонометрии, не используемые в учебнике;
- мнемоническое правило для записи формул приведения;
- свойства функции
y = sin x
y = cos x
y = tg x
y = ctg x
с обоснованием и рисунком;
- как строится синусоида и тангенсоида (с обоснованиями).
Уметь:
- используя основные тождества и тригонометрические формулы, находить значение тригонометрических выражений, доказывать тригонометрические тождества, упрощать тригонометрические выражения;
- определять расположение точки Р
· на единичной окружности, если известно
·, знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса (и к обязательному уровню);
- строить графики функций y = sin x и y = cos x, находить область определения и область значений различных функций по графикам;
- строить графики функций y = tg x и y = ctg x, находить область определения и область значений различных функций по графикам;
- читать графики;
-правильно употреблять функциональную терминологию, понимать ее в тексте, в речи учителя и т.д.
Задания продвинутого уровня:
1. Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415. Вычислите tg5
·.
2. Доказать тождество:
13 EMBED Equation.3 1415
(другие примеры приведены выше, а также в контрольных и зачетных работах в конце тематического планирования).
3. Дана функция y = 2,5 – 1,5 sin x
а) найдите область определения и область значений этой функции
б) найдите все значения х, при которых у = 4.
4. Найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции
а) y = 2,5 + cos x
б) y = sin x – 1,5
5. На миллиметровой бумаге постройте единичную окружность, а затем центральный угол
· такой, что cos
· = -0,4 tg
· = 2
Контрольная работа по теме «Тригонометрические функции»
Поурочно-тематическое планирование
Предмет: Алгебра.
Основной учебник: Ш.А. Алимов Алгебра и начала анализа 10-11.
Класс: 12 (3г.) 2часа в неделю, всего 66 часа.
№
п/п
Колво час
На тему
Содержание
Требование к образовательному уровню
Требование к уровню возможностей
Формы контроля
Примечание*
1
6
Повторение
Знать: определение степени, определение логарифма, определения тригонометрических функций;
Уметь: решать примеры с десятичными и обыкновенными дробями; выполнять действия со степенями; решать показательные, иррациональные и логарифмические уравнения; находить значения тригонометрических выражений;
Входная к/р
2
14
Производная и ее геометрический смысл
Знать:
-определение производной;
производной степенной функции; правила дифференцирования (производную суммы, производную произведения, производную частного); производные некоторых элементарных функций; геометрический смысл производной;
- алгоритм нахождения производной;
- формулу вычисления производной степенной функции;
-понятие сложной функции, формулу производной сложной функции;
-формулы производных тригонометрических функций;
Уметь
-проводить касательную к графику, определять знак углового коэффициента касательной, находить разностное отношение;
-находить производную по определению;
Находить производные с помощью формул дифференцирования; научить находить уравнение касательной к графику функции.
- производную сложной функции
- производную степенной функции
- производные тригонометрических функций;
- использовать таблицу производных при нахождении производных;
Типовые задания:
1. Найдите производную функции:
а) 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
в) 13 EMBED Equation.3 1415
2. Решите уравнение f ’(x) = 0
неравенство: f (x) > 0, f (x) < 0
f(x) = 2x – 5x2
3. Найдите промежутки убывания функции f(x) = x2 – 6x + 5.
4. Проведите исследование функции f(x) = x4 – 4x2.
5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f: f(x) = x4 – 8x2 – 9 на промежутках [-1; 1] и [0; 3].
с/р
3
12
Применение производной к исследованию функций
Знать: возрастание и убывание функции; экстремумы функции; наибольшее и наименьшее значения функции; понятия точек максимума и минимума, точек перегиба; определение критических и стационарных точек; что функция может иметь экстремум в точке, в которой она не имеет производной, например, y = /x/ в точке х = 0; что знак производной меняется при переходе через точку экстремума;
Уметь: строить графики функций по схеме: 1) область определения функции; 2) точки пересечения графика с осями координат; 3) производная функции и стационарные точки; 4) промежутки монотонности; 5) точки экстремума и значения функции в этих точках.
Знать: понятия точек максимума и минимума, точек перегиба; производную второго порядка, выпуклость и точки перегиба; что знак производной меняется при переходе через точку экстремума; и что это можно сделать проще – по знаку второй прозводной: если f ’ ’ (x) > 0 в некоторой стационарной точке х, то рассматриваемая стационарная точка есть точка минимума, если f ’ ’ (x) < 0, то эта точка – точка максимума, если f ’ ’ (x) = 0, то точка х есть точка перегиба.
Уметь: строить графики функций по схеме: 1) область определения функции; 2) точки пересечения графика с осями координат; 3) производная функции и стационарные точки; 4) промежутки монотонности; 5) точки экстремума и значения функции в этих точках
4
8
Интеграл
Знать: определение первообразной функции; правила нахождения первообразных; определение криволинейной трапеции, формулу нахождения её площади. Формулу Ньютона-Лейбница. Формулу объёма тела вращения.
Уметь: доказывать, что F(x) является первообразной для f(x); находить первообразную данной функции; находить площадь криволинейной трапеции. Вычислить площадь и объём геометрических фигур, заданных графиками элементарных функций.
Типовые задания:
1.Найдите первообразную функции f(x)=x2 -3x2+x-1
2.Найти какую-нибудь первообразную функции f(x)=4+6x2, значение корой при х=2 отрицательно
3.Является ли функция F(x)=3x3+3x-5 первообразной функции f(x)=3(x2+1)?
4.Вычислите интегралы:
а)
·(2-x3+1
·x2)dx; б)
·-
· 2
·sinxdx.
5.Найдите площадь фигуры, ограниченной параболой y=x2+3x и осью Ох.
6.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=(x+2)2, y=0, x=0.
7.Найдите объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями y=x2, y=x.
Знать: что такое интеграл; находить первообразные, удовлетворяющие данным условиям.
Уметь:. вычислять интегралы. Решать физические задачи, требующие интегрирования или дифференцирования функций.
Задания продвинутого уровня
1.Вычислите интегралы .
а)
·хехdx; б)
·5x
·
·4-x2dx;
·-1-2x(x+3)(2x-1)dx.
2.Материальная точка движется по координатной прямой со скоростью v(t)=3sin(2t-
·
·3). Найдите уравнение движения точки, если при t=
·
·4 её координата равна 3.
Найти одну из первообразных функций y=x
·x-3; y=(x-1)
·(x2+x-2), y=sin3x cos5x.
4.Найдите первообразную функции y=2sin5x+cosx
·2, которая при х=
·
·3 принимает значение равное 0.
к\р
к\р
5
6
Элементы комбинаторики
Знать: понятие перестановок, размещений, сочетаний; правило произведения, перестановки, размещения без повторений, сочетания без повторений;
Уметь: составлять упорядочные множества; Составлять подмножества данных множеств;
Знать: правило произведения, перестановки, размещения без повторений, сочетания без повторений и бином Ньютона; теорию соединений; обоснование формулы бинома Ньютона.
Уметь: составлять упорядочные множества; Составлять подмножества данных множеств;
с\р
6
6
Знакомство с вероятностью
Знать. Способы рассуждения-перебор возможных вариантов. Комбинаторное правило умножения. Что такое перестановка, формулу размещения. Что такое сочетание, формулу сочетания. Что называется случайным событием, теорией вероятностей, относительной частотой. Что такое вероятность события.
Уметь. Приводить примеры комбинаторных задач, строить дерево возможных вариантов. Выполнять простейшие комбинации (перестановки, размещение, сочетание). Находить относительную частоту.
Типовые задачи.
1.У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Света. Она решила пригласить двух из них в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
2.Сколькими способами 4 человека могут разместиться на четырехместной скамейке?
Уметь: Решать более сложные задачи по данной теме.
Типовые задачи.
1.Бросают два кубика. Какова вероятность того, что на одном кубике выпадет одно очко, а на другом – более трёх очков?
2.У Ирины 5 подруг: Вера, Зоя, Марина, Полина и Света. Она решила пригласить двух из них в кино. Укажите все возможные варианты выбора подруг. Сколько таких вариантов?
3.Бросают два кубика. Какова вероятность того, что на одном кубике выпадает одно очко, а на другом – более трех очков?
с\р
7
16
Итоговое повторение курса алгебры и начала математического анализа
Тема носит повторительно-обобщающий, систематизирующий характер и фактически завершает изучение содержательных линий курса алгебры и начала анализа средней школы.
Итоговая к\р
Поурочно-тематическое планирование
Предмет: Геометрия.
Основной учебник: Л.С. Атанасян Геометрия 10-11.
Класс: 10 (3г.) 1 час в неделю, всего 34 часа.
№
п/п
Колво час
на тему
Содержание
Требование к образовательному уровню
Требование к уровню возможностей
Формы контроля
Примечание*
1
16
Повторение планиметрии
Знать терминологию, связанную с описанием взаимного расположения точек и прямых; понятие полуплоскости, полупрямой; понятие угла, биссектрисы угла и её свойства, виды углов; определение треугольника, свойства равенства треугольников; определение высоты, медианы и биссектрисы треугольника; определение смежных углов, теорему о сумме смежных углов; определение вертикальных углов, теорему о вертикальных углах; признаки равенства треугольников; определение равнобедренного и равностороннего треугольников; теорему о свойстве медианы; определение параллельных прямых, свойство параллельных прямых; аксиому параллельных прямых; свойства углов, образованных при пересечении двух прямых секущей; теорему о сумме углов треугольника и следствие из неё; определение прямоугольного треугольника и название его сторон.
Уметь обозначать точки и прямые на рисунке, описывать ситуации, изображённые на рисунке, и, наоборот, по описанию ситуации делать рисунок отрезка; измерять отрезки, измерять углы; распознавать геометрические фигуры, изображать геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию задач, решать задачи, опираясь на изученные свойства фигур; строить высоты, медианы и биссектрисы треугольника; строить угол смежный с данным, находить смежные углы на чертеже; различать параллельные прямые на плоскости; строить параллельные прямые; объяснить какие углы называются внутренними накрест лежащими и внутренними односторонними; применять полученные знания при решении задач.
Знать, что такое периметр многоугольника, какой многоугольник называется выпуклым.
Уметь объяснить, какая фигура называется многоугольником, назвать его элементы;
Решать задачи типа:
1.Найдите сумму углов выпуклого 13-угольника.
2.Каждый угол выпуклого многоугольника равен 135°. Найдите число сторон этого многоугольника.
Знать определение параллелограмма, трапеции, прямоугольника, ромба, квадрата, формулировки их свойств и признаков, иметь представление о фигурах обладающих центральной или осевой симметрией
Контрольные задания:
1.Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке О, Найдите угол между диагоналями, если <АОВ=3013 EMBED Equation.3 1415
2.Диагонали ромба КМNР пересекаются в точке О, Найдите углы треуг. КОМ, если
Знать основные свойства площадей и формулы для вычисления площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции.
Уметь применять формулы при решении задач типа
1.Стороны параллелограмма равны 10см и 6см, а угол между этими сторонами равен 150°. Найдите площадь этого параллелограмма.
2 . Знать теорему Пифагора и обратную ей теорему Контрольные задания:
1.В прямоугольной трапеции основания равны 22см и 6см, а большая боковая сторона 20см. Найдите площадь трапеции.
2.Смежные стороны параллелограмма равны 32см и 26см, а один из его углов равен 15013 EMBED Equation.3 1415. Найдите площадь парал-ма
3.В прямоугольной трапеции боковые стороны равны 7см и 25см,а меньшее основание равно 2см. Найдите площадь трапеции.
Знать определения пропорциональных отрезков и подобных треугольников, теорему об отношении площадей подобных треугольников и свойство биссектрисы треугольника; признаки подобия треугольников; теоремы о средней линии треугольника, точке пересечения медиан треугольника и пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике; знать определения синуса, косинуса, тангенса острого угла прямоугольного треугольника.
Уметь применять их при решении задач типа №534-548,№550-562,№567-572,№591-602.
Решать задачи типа:
1.Диагонали трапеции пересекаются в точке О, АВ13 EMBED Equation.3 1415 СД.
а) Докажите, что АО:ОС=ВО:ОД.
б) Найдите АВ, если ОД=15см, ОВ=9см,СД=25см.
2. В прямоугольном треугольнике АВС
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 А=9013 EMBED Equation.3 1415,АВ=20см, высота АД =12см. Найдите
АС и cos С.
Знать возможные случаи взаимного расположения прямой и окружности, определение касательной, свойство и признак касательной, какой угол называется центральным и какой вписанным, теоремы о биссектрисе угла и о серединном перпендикуляре к отрезку,
какая окружность называется вписанной в многоугольник и какая описанной около многоугольника,
Решать задачи типа:
1.Через точку А окружности проведены диаметр АС и две хорды АВ и АД, равные радиусу этой окружности. Найдите углы четырёхугольника АВСД и градусные меры дуг АВ, ВС, СД, АД.
2. Отрезок ВД – диаметр окружности с центром О. Хорда АС делит пополам радиус ОВ и перпендикулярна к нему. Найдите углы четырёхугольника АВСД и градусные меры дуг АВ, ВС, СД, АД.
Знать определения синуса, косинуса, тангенса от 0 до 180, формулу для вычисления координат точки, основное тригонометрическое тождество, теорема о площади треугольника, теорема косинуса, синуса, уметь решать задачи на их применение, скалярное произведение векторов.
Уметь решать задачи:
1.В треугольнике MPQ, M=135, MP=5,MQ=2 2
Найти MP MQ.
2.Найти площадь треугольника АВС, если А=45, АВ=5, АС=2.
3.Две стороны треугольника равны 3м и 2м, а угол между ними 60. Найти третью сторону.
Знать определение правильного многоугольника, теорему об окружности, описанной около прав. многоугольника, формулы для
вычисления углов, площади и стороны прав. многоугольника, R и r, применять их к решению простейших задач.
Уметь решать задачи:
1.Найти угол правильного десятиугольника.
2.Найти радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, если известен радиус описанной около него окружности
К/р
Зачет
2
9
Параллельность прямых и плоскостей.
Знать
-определения параллельных прямых; прямой и плоскости; плоскостей
-определение и свойства тетраэдра и параллелепипеда
Уметь
-решать несложные задачи логического характера
-строить сечения многогранников
Типовые задания:
1.
·ABC и
·ABD не лежат в одной плоскости. Доказать, что любая прямая, параллельная CD, пересекает плоскости данных треугольников.
2. Построить сечение пирамиды SABCD, проходящее через LSA, NAD, MAB.
3. Отрезок АВ не пересекает плоскость
·
Через середину отрезка С и концы отрезка АВ проведены прямые, параллельные между собой и пересекающие плоскость
· в точках А1 , В1 ,С1 . Вычислить длину отрезка С С1, если АА1=5, ВВ1=7.
4. Через основание АД трапеции АВСД проведена плоскость
·. ВСў
·. Докажите, что прямая, проходящая через середины сторон АВ и СД, параллельна плоскости
·.
5. Прямые а и в пересекаются. Прямая с является скрещивающейся с прямой а. Могут ли прямые в и с быть параллельными
Знать
-формулировки и доказательства всех изучаемых теорем
Уметь
-решать более сложные задачи на доказательство и вычисления
К/р
Зачет
3
7
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Знать
-определения перпендикулярных прямых; прямой и плоскости; плоскостей
-свойства и признаки перпендикулярности
Уметь
-применять свойства и признаки параллельности прямых и плоскостей при решении задач
-находить угол между прямой и плоскостью
-строить и находить на чертеже линейный угол двугранного угла
Типовые задания:
1. Доказать, что если две плоскости перпендикулярны к одной и той же прямой, то они параллельны.
2. Прямая а
·
·
·. Доказать, что все точки прямой а равноудалены от плоскости
·.
3.Найти диагональ прямоугольного параллелепипеда с измерениями 7, 9, 13 EMBED Equation.3 1415.
4. Отрезок АВ пересекает некоторую плоскость в точке О. Прямые АД и ВС, перпендикулярные этой плоскости, пересекает её в точках Д и С соответственно. АД=6см, ВС=2см, ОС=1,5см. Найдите АВ.
5. Через вершину А прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С проведена прямая АД, перпендикулярная к плоскости треугольника. а)Докажите, что
· С ВД прямоугольный.
б) Найдите ВД, еслиВС=5. ДС=13.
Знать
-доказательство признаков и свойств параллельности прямых и плоскостей, двух плоскостей
-доказательство ТТП
Уметь
-строить угол между прямой и плоскостью
Задания продвинутого уровня:
1. Сумма площадей трёх граней прямоугольного параллелепипеда, имеющих общую вершину, равна 404 дм2, а его рёбра пропорциональны числам 3, 7 и 8. найти диагональ параллелепипеда.
К/р
Зачет
4
2
Повторение. Решение задач
Уметь решать задачи используя свойства тетраэдра и прямоугольного параллелепипеда, строить сечения многогранников.
Итоговая к/р
Поурочно-тематическое планирование
Предмет: Геометрия.
Основной учебник: Л.С. Атанасян Геометрия 10-11.
Класс: 11 (3г.) 0,5 часа в неделю, всего 17,5 часов.
№
п/п
Колво час
На тему
Содержание
Требование к образовательному уровню
Требование к уровню возможностей
Формы контроля
Примечание*
1
15
Многранники
Знать:
-определение многогранника и его элементов
-определение призмы; прямой, наклонной, правильной призмы
-определение пирамиды и её элементов
-что такое апофема
-понятие и классификацию правильных многогранников
Уметь:
-находить площадь боковой поверхности прямой призмы, правильной пирамиды
Типовые задания:
1. Все рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости основания. Доказать, что высота проходит через центр окружности, описанной около основания.
2. Доказать, что площадь полной поверхности куба равна 2d2, где d – диагональ куба.
3.Диагональ куба равна 6 см. Найти: а) ребро куба; б)косинус угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.
4. Основанием пирамиды МАВСД является квадрат АВСД. Ребро МД перпендикулярно к плоскости основания. АД=ДМ=а. Найти: площадь поверхности пирамиды.
5.Основание прямой призмы-прямоугольный треугольник с катетами 6см и 8см. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если её наибольшая боковая грань-квадрат.
Знать:
-как построить развёртку многогранника
-понятие и элементы усечённой пирамиды
Уметь:
-доказать, что площадь боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему
Задания продвинутого уровня:
1. Стороны оснований правильной усечённой пирамиды 12 дм и 6 дм, а её высота 1 дм. Найти площадь боковой поверхности пирамиды.
К/р
зачет
2
16
Векторы в пространстве Метод координат в пространстве
Знать: определение вектора, понятие равенства векторов, суммы нескольких векторов, определение компланарных векторов, правило параллелепипеда. Иметь понятие о прямоугольной системе координат и координатах вектора. Связь между координатами векторов и координатами точек. Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.
Уметь складывать и вычитать векторы, умножать вектор на число, раскладывать вектор по трем некомпланарным векторам, решать простейшие задачи в координатах , решать задач по теме «Скалярное произведение векторов», вычислять углы между прямыми и плоскостями.
Типовые задания.
1. Измерения прямоугольного параллелепипеда ABCD А1 B1 C1 D1
таковы AD=8, AB=9 A А1=12. Найдите длины векторов CC1, CB, CD.
2.Найти скалярное произведение векторов и , если
3.Найти , если , а угол между векторами равен .
Уметь решать более сложные задачи, используя правило параллелепипеда, по теме скалярное произведение векторов, на вычисление углов между прямыми.
Типовые задания
Найти скалярное произведение векторов: а) и б) и , если даны точки
а) Проверить ортогональность векторов: и б) Выяснить, будут ли перпендикулярными отрезки и , если
К/р
зачет
3
3
Повторение
В результате изучения курса учащиеся должны:
-Выполнять чертежи по условию стереометрической задачи;
-Понимать стереометрические чертежи;
-Решать задачи на вычисление геометрических величин, проводя необходимую аргументацию;
Решать несложные задачи на доказательство
Итоговая к\р
Поурочно-тематическое планирование
Предмет: Геометрия.
Основной учебник: Л.С. Атанасян Геометрия 10-11.
Класс: 12 (3г.) 1 час в неделю, всего 33 часов.
№
п/п
Колво час
На тему
Содержание
Требование к образовательному уровню
Требование к уровню возможностей
Формы контроля
Примечание*
1
10
Цилиндр, конус и шар
Знать определения цилиндра, конуса, шара, сферы, их элементы, сечения, определение касательной плоскости к сфере, ее свойство и признак, определения вписанного и описанного около сферы многогранника.
Уметь изображать перечисленные тела, решать пошаговые задачи на вычисление элементов указанных тел, площадей их поверхностей.
Типовые задания.
1.Правильная четырехугольная пирамида описана около конуса. Высота пирамиды 20см. Образующая конуса 25см. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды.
2. Через образующую АА1 цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площадь каждого из сечений цилиндра этими плоскостями равна S. Найти площадь осевого сечения этого цилиндра.
3. Стороны треугольника равны 13,14,15 см. Найти радиус сферы, проходящей через вершины треугольника, если расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно 9см.
4. Металлический шар радиуса R переплавлен в конус, осевое сечение которого равносторонний треугольник. Найти высоту конуса.
5.В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида. Боковое ребро пирамиды равно 24 см, оно наклонено к плоскости основания под углом 300. Вычислите радиус шара.
Уметь доказывать теоремы о площадях поверхностей указанных тел, доказывать свойство касательной плоскости, знать сечения круглых тел, расположение тел при их различных комбинациях, уметь грамотно выполнять рисунок к решению задачи, осознанно применять теоретические сведения к решению (обоснованию) задач.
Уметь решать более сложные задачи на комбинации тел
Типовые задания
1. В конус вписана правильная треугольная пирамида. Сторона основания равна 6 см, а боковое ребро-4
·3см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.
2 .Около конуса, высота которого равна 3дм, описана пирамида. Её основание- равнобокая трапеция с острым углом 600. Периметр трапеции 48см. Вычислите:
а) площадь полной поверхности конуса;
б)угол при вершине осевого сечения конуса
3. (ЕГЭ-2003, вариант620-625). В правильной треугольной пирамиде, со стороной основания равной 18 и двугранным углом при основании, равным 600, расположены два шара. Первый шар касается всех граней пирамиды, а второй шар касается первого шара и всех боковых граней пирамиды. Найдите радиус второго шара.
4. (ЕГЭ-2003, вариант 630-634). В правильной треугольной призме, со стороной основания равной 4
·3 расположены два шара. Первый шар вписан в призму, а второй шар касается одного основания призмы, двух её боковых граней и первого шара. Найдите радиус второго шара.
Контрольная работа
Зачет
2
11
Объемы тел
Иметь понятие об объеме, знать его свойства,
знать формулы для вычисления объемов указанных тел,
теорему об объёме прямоугольного параллелепипеда и следствие об объёме прямой призмы, основанием которой является прямоугольной треугольник.
Уметь решать задачи на нахождение объемов указанных тел с помощью соответствующих формул, использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни.
Типовые задания
1. В цилиндре, высота и диаметр которого равны соответственно 7 и 14 см, сделано цилиндрическое отверстие, имеющее общую ось с цилиндром. Осевое сечение цилиндра отсекает часть описанного тела. Найти объем оставшейся части, если диаметр цилиндрического отверстия равен 8 см.
2. Доказать, что объем цилиндра, полученного при вращении прямоугольника вокруг одной из его сторон, равен произведению площади этого прямоугольника на длину окружности, описанной точкой пересечения его диагоналей.
3.В правильную четырёхугольную пирамиду с высотой 24дм и стороной основания 14дм вписан шар. Вычислите объём шара.
4.Дана правильная четырёхугольная пирамида SABCD. Точка F-середина ребра ВС. Найдите, в каком отношении делит объём пирамиды плоскость DSF.
5.(ЕГЭ-2010, вариант 232). Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Объём параллелепипеда равен 48. Найдите высоту цилиндра.
Знать теоремы о вычислении объемов указанных тел, уметь их доказывать, применять теоретический материал к решению задач на вычисление объемов пространственных тел и их комбинаций, проводить доказательные рассуждения при решении задач.
Уметь решать более сложные задачи.
Типовые задания
1. (ЕГЭ-2004, вариант 001). На окружности основания цилиндра отмечены точки А и В такие, что дуга АВ равна 600. На окружности другого основания отмечены точки С и D так, что СD-диаметр, перпендикулярный прямой АВ. Найдите объём пирамиды АВСD, если объём цилиндра равен 32
·, а плоскость АСD образует с плоскостью основания угол 450.
2.Найдите отношение объёма шара, описанного около цилиндра, и объём шара, вписанного в этот цилиндр.
3.Сфера проходит через вершины одной грани куба и касается сторон противоположной грани куба. Найдите радиус сферы. Если ребро куба равно а.
4.(ЕГЭ- 2010). Докажите, что объём тетраэдра равен 1
·6(abd
·sin
·), где a и b-длины противоположных ребер тетраэдра, d-расстояние, а
· -угол между этими ребрами.
Контрольная работа
Зачет
3
12
Повторение. Решение задач
В результате изучения курса учащиеся должны:
-Выполнять чертежи по условию стереометрической задачи;
-Понимать стереометрические чертежи;
-Решать задачи на вычисление геометрических величин, проводя необходимую аргументацию;
-Решать несложные задачи на доказательство;
- Строить сечение геометрических тел.
Итоговая контрольная работа
Календарно-поурочное планирование по математике в 10 классе
(3 г) 2 часа в неделю алгебра, 1 час геометрия, всего 68 + 34 часов = 102 часа
№
ур
Дата по планированию
Дата по факту
Тема урока
Контроль
Практическая часть
Коррекция
1
Повторение
Повторение планиметрии
1
Выражения и преобразования
Натуральные числа и действия над ними. Признаки делимости чисел. Наибольший общий делитель наименьшее общее кратное.
2
Обыкновенные дроби, основное свойство дроби.
Сложение и вычитание дробей
3
Точки, прямые, отрезки, луч, угол. Длина отрезка. Измерение углов
4
Обыкновенные дроби. Умножение и деление дробей
5
Десятичные дроби, действия с десятичными дробями
6
Смежные и вертикальные углы, перпендикулярные прямые
7
Степень с рациональным показателем
Понятие степени с рациональным показателем
Свойства степени с рациональным показателем: произведение степеней с одинаковыми основаниями
частное степеней с одинаковыми основаниями
8
Свойства степени с рациональным показателем: степень степени
Степень произведения и частного
Сравнение степеней
Произведение и частное степеней с одинаковыми основаниями
9
Треугольник. Медианы, биссектрисы и высоты треугольника. Равнобедренный треугольник
10
Другие комбинации свойств степеней
Тождественные преобразования степенных выражений. Самостоятельная работа.
Самостоятельная работа.
11
Корень степени n
Понятие корня степени n
Свойства корня степени n: корень из произведения и произведение корней
12
Признаки равенства треугольников
13
Свойства корня степени n: крень из частного и частное корней Корень из степени и степень корня Корень степени m из корня степени n
14
Корень из произведения и частного корней
Корень из произведения и частного степеней
Другие комбинации корней степени n
15
Признаки параллельности двух прямых
16
Выражения с переменными
Одночлены, многочлены. Преобразование суммы и разности многочленов
17
Умножение одночлена на многочлен и многочлена на одночлен
18
Теорема о сумме углов треугольника. Остроугольный, прямоугольный и тупоугольный треугольники
19
Разложение многочлена на множители
20
Формулы сокращенного умножения
21
Четырехугольник. Параллелограмм
22
Контрольная работа по теме «Степень с рациональным показателем»
Проверочная работа
23
Уравнения и неравенства
Уравнения с одной переменной Равносильность уравнений
24
Трапеция. Прямоугольник. Ромб и квадрат
25
Системы уравнений с двумя переменными
26
Квадратные уравнения
27
Площадь
28
Неполные квадратные уравнения
29
Системы уравнений
30
Теорема Пифагора
31
Решение линейных неравенств
32
Решение квадратных неравенств
33
Признаки подобия треугольников
34
Решение квадратных неравенств
35
Функции
Линейная функция и ее график
36
Окружность. Круг. Длина окружности. Площадь круга.
37
Квадратичная функция и ее график
38
Функция обратной пропорциональности и ее график
39
Синус, косинус, тангенс. Теорема синусов, теорема косинусов
40
Область определения функции
Множество значений функции
41
Периодичность функции Четность, (нечетность) функции Возрастание (убывание) функции
Наибольшее (наименьшее) значение функции
42
Контрольная работа по теме «Планиметрия»
К.р.№1
43
Контрольная работа за курс основной школы
К.р.№1
44
Контрольная работа за курс основной школы
45
Зачет по теме «Планиметрия»
2
Действительные числа
46
Целые и рациональные числа. Действительные числа
47
Целые и рациональные числа. Действительные числа
48
Параллельность прямых и плоскостей.
Параллельность прямых, прямой и плоскости.
49
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
50
Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия
51
Параллельность трех прямых. Параллельность прямой и плоскости.
52
Арифметический корень натуральной степени
53
Арифметический корень натуральной степени
54
Взаимное расположение двух прямых в пространстве. Скрещивающиеся прямые.
55
Степень с рациональным и действительным показателем
56
Степень с рациональным и действительным показателем
57
Углы с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми.
58
Степень с рациональным и действительным показателем
59
Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Действительные числа»
60
Параллельность плоскостей.
61
Контрольная работа по теме «Действительные числа»
К.р.№2
3
Степенная функция
62
Степенная функция, ее свойства и график
63
Свойство параллельных плоскостей
64
Степенная функция, ее свойства и график
65
Равносильные уравнения и неравенства
66
Тетраэдр и параллелепипед Решение задач по теме: «Параллельность прямых и плоскостей»
67
Равносильные уравнения и неравенства
68
Иррациональные уравнения
69
Контрольная работа по теме «Параллельность прямых и плоскостей»
К.р.№2
70
Иррациональные уравнения
71
Уроки обобщения и систематизации знаний по теме «Степенная функция»
72
Зачет по теме «Параллельность прямых и плоскостей»
73
Уроки обобщения и систематизации знаний по теме «Степенная функция»
74
Контрольная работа по теме «Степенная функция»
К.р.№3
75
Перпендикулярность прямых и плоскостей
Перпендикулярность прямой и плоскости. Перпендикулярные прямые в пространстве.
4
Показательная функция
76
Показательная функция, ее свойства и график
77
Показательная функция, ее свойства и график
78
Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Теорема о прямой, перпендикулярной к плоскости
79
Показательные уравнения
80
Показательные уравнения
81
Перпендикуляр и наклонные угол между прямой и плоскостью. Расстояние от точки до плоскости.
82
Показательные неравенства
83
Показательные неравенства
84
Теорема о трех перпендикулярах.
Угол между прямой и прямой и плоскостью
85
Системы показательных уравнений и неравенств
86
Системы показательных уравнений и неравенств
87
Двугранный угол. Перпендикулярность плоскостей.
88
Уроки обобщения и систематизации знаний по теме «Показательная функция»
89
Контрольная работа по теме «Показательная функция»
К.р№4
90
Решение задач по теме: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
5
Повторение
91
Иррациональные уравнения
92
Иррациональные уравнения
93
Контрольная работа по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
К.р№3
94
Показательные уравнения
95
Показательные уравнения
96
Зачет по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
97
Показательные уравнения
98
Системы показательных уравнений и неравенств
99
Повторение. Решение задач
Решение задач по теме: «Параллельность прямых и плоскостей»
100
Системы показательных уравнений и неравенств
101
Итоговая контрольная работа
К.р №5
102
Итоговая контрольная работа
К.р №4
Календарно-поурочное планирование
по математике в 11 классе
2 часа алгебра + 0,5 час геометрия в неделю, всего 68 + 17,5 = 85,5 часа
№
ур
Дата по планированию
Дата по факту
Тема урока
Контроль
Практическая часть
Коррекция
1 Повторение
6
Геометрия 7-9, Атанасян
1
Степень с рациональным и действительным показателем
2
Степень с рациональным и действительным показателем
3
1 Многранники
Понятие многранника. Геометрическое тело. Призма.
гл. III § 1, п 25,26 п. 27 № 219
4
Степенная функция, ее свойства и график
§ 6
5
Степенная функция, ее свойства и график
6
Иррациональные уравнения
7
Иррациональные уравнения
№ 152, 1523, 154
8
Решение задач по теме: «Призма».
№ 229, 230,234
9
Показательная функция, ее свойства и график
§ 11
10
Показательные уравнения
№ 210, 211, 213
Логарифмическая функция
14
11
Логарифмы
§15 № 267, 269, 272
12
Логарифмы
№ 274, 277
13
Пирамида. Правильная пирамида. Решение задач по теме: «Правильная пирамида».
§ 2 п. 28 №245,248
14
Свойства логарифмов
§16 № 290, 291,
15
Свойства логарифмов
№ 293
16
Десятичные и натуральные логарифмы
§ 17 306
17
Десятичные и натуральные логарифмы
№ 307
18
Усеченная пирамида Решение задач по теме: «Пирамида».
п. 30, № 250№ 257, 258, 259
19
Логарифмическая функция, ее свойства и график
§ 18 № 322, 323
20
Логарифмическая функция, ее свойства и график
№ 327
21
Логарифмический уравнения
§ 19 № 338, 340
22
Логарифмический уравнения
№ 341
23
Симметрия в пространстве. Понятие правильного многогранника.
§ 3 п. 31 № 283 п. 32, 33
24
Логарифмические неравенства
§ 20 № 356
25
Логарифмические неравенства
№ 357
26
Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Логарифмическая функция»
№ 368, 369,370
27
Контрольная работа по теме «Логарифмическая функция»
К.р №1
28
Элементы симметрии правильных многранников. Решение задач по теме: «Многранники».
№ 284№ 292, 310№ 313
Тригонометрические формулы
21
29
Радианная мера угла
§ 21 № 407, 408
30
Поворот точки вокруг начала координат
§ 22 № 417, 418
31
Поворот точки вокруг начала координат
№ 420, 421
32
Определение синуса, косинуса и тангенса угла
§ 23 № 430, 432
33
Контрольная работа по теме: «Многранники». Зачет по теме «Многранники».
К.р №1
34
Определение синуса, косинуса и тангенса угла
№ 431, 433
35
Знаки синуса, косинуса и тангенса
§ 24 № 443, 477
36
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
§ 25 № 459 1-4
37
Зависимость между синусом, косинусом и тангенсом одного и того же угла
№ 459 5-8
38
2 Векторы в пространстве
Понятие вектора. Равенство векторов.
Гл. IV, § 1 №321 б
39
Тригонометрические тождества
40
Тригонометрические тождества
41
Тригонометрические тождества
§ 26 № 466, 467
42
Синус, косинус и тангенс углов a и -a
§ 27 № 475
43
Сложение и вычитание векторов. Сумма нескольких векторов. Умножение вектора на число.
§ 2 № 330, 336§ 2 № 347
44
Формулы сложения
§ 28 № 482,484
45
Формулы сложения
№ 485, 487
46
Формулы сложения
№ 486
47
Синус, косинус и тангенс двойного угла
48
Компланарные векторы. Правило параллелепипеда. Разложение вектора по трем некомпланарным векторам.
§ 3 № 360§ 3 № 369
49
Синус, косинус и тангенс двойного угла
§ 29 № 499, 500
50
Формулы приведения
§ 31 № 525
51
Формулы приведения
№ 527
52
Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Тригонометрические формулы»
№ 546, 547, 548, 550
53
Зачет по теме «Векторы в пространстве»
54
Контрольная работа по теме «Тригонометрические формулы»
К.р №2
Тригонометрические уравнения
15
55
Уравнение cos x = a
§ 33 № 571
56
Уравнение cos x = a
№ 571, 572
57
Уравнение cos x = a
№ 573, 574
58
3 Метод координат в пространстве
Прямоугольная система координат.Координаты вектора.
11
Гл. , § 1 № 403,404 § 1 № 405,407, 409
59
Уравнение sin x = a
§ 34 № 589
60
Уравнение sin x = a
№ 590, 591
61
Уравнение sin x = a
№ 592
62
Уравнение tg x = a
§ 35 № 609
63
Связь между координатами векторов и координатами точек Простейшие задачи в координатах
№ 421№ 425,427, 431,
64
Уравнение tg x = a
№ 610, 611
65
Решение тригонометрических уравнений
§ 36 № 620, 621
66
Решение тригонометрических уравнений
№ 622, 624
67
Решение тригонометрических уравнений
№ 623
68
Угол между векторами.Скалярное произведение векторов
§ 2 № 441 (д-з)§ 2 №444, 445 (г,д)
69
Решение тригонометрических уравнений
№ 625
70
Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Тригонометрические уравнения»
№ 656, 657
71
Контрольная работа по теме «Тригонометрические уравнения»
К.р №3
Тригонометрические функции
12
72
Область определения и множество значений тригонометрических функций
§ 38 № 691
73
Решение задач по теме «Скалярное произведение векторов».Вычисление углов между прямыми и плоскостями. Решение задач по теме «Вычисление углов между прямыми и плоскостями».
№ 466№ 475№ 477
74
Область определения и множество значений тригонометрических функций
№ 692
75
Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций
§ 39 № 700
76
Четность, нечетность, периодичность тригонометрических функций
№ 702, 703
77
Свойства функции y = cos x и ее график
§ 40 № 710
78
Контрольная работа по теме «Метод координат в пространстве». Зачет по теме «Метод координат в пространстве».
К.р №2
79
Свойства функции y = cos x и ее график
№ 711, 712
80
Свойства функции y = sin x и ее график
§ 41 № 722
81
Свойства функции y = sin x и ее график
№ 723, 724
82
Свойства функции y = tg x и ее график
§ 42 № 735
83
Призма. Пирамида. Цилиндр. Конус. Сфера и шар.
84
Урок обобщения и систематизации знаний по теме «Тригонометрические функции»
Стр. 228 Проверь себя
85
Контрольная работа по теме «Тригонометрические функции»
К.р №4
85,5
Итоговая контрольная работа
К.р №3
Календарно-поурочное планирование
по математике в 12 классе
2 часа в неделю алгебра +1 час в неделю геометрия, всего 66 + 33 часа = 99 часов
№
ур
Дата по планированию
Дата по факту
Тема урока
Контроль
Практическая часть
Коррекция
1 Повторение 4 часа
1
Действия с десятичными и обыкновенными дробями
К.р №1
2
Степень
3
1 Цилиндр, конус и шар
Цилиндр
4
Логарифмы, логарифмические уравнения
5
Показательные уравнения
6
Цилиндр
7
Иррациональные уравнения
8
Тригонометрические тождества
9
Конус
2 Производная и ее геометрический смысл
10
Производная
11
Производная
12
Конус
13
Производная степенной функции
14
Производная степенной функции
15
Сфера
16
Правила дифференцирования
17
Правила дифференцирования
18
Сфера
19
Производные некоторых элементарных функций
20
Производные некоторых элементарных функций
21
Сфера
22
Производные некоторых элементарных функций
23
Геометрический смысл производной
24
Решение задач по теме «Цилиндр, конус и шар»
25
Геометрический смысл производной
26
Геометрический смысл производной
27
Контрольная работа по теме «Цилиндр, конус и шар»
К/р №1
28
Уроки обобщения и систематизации знаний
29
Контрольная работа по теме «Производная и ее геометрический смысл»
К.р №2
30
2 Объемы тел
Объем прямоугольного параллелепипеда
3Применение производной к исследованию функций 12 ч
31
Возрастание и убывание функции
32
Экстремумы функции
33
Объем прямоугольного параллелепипеда
34
Экстремумы функции
35
Применение производной к построению графиков функций
36
Объем прямой призмы и цилиндра
37
Применение производной к построению графиков функций
38
Применение производной к построению графиков функций
39
Объем прямой призмы и цилиндра
40
Наибольшее и наименьшее значение функции
41
Наибольшее и наименьшее значение функции
42
Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса
43
Наибольшее и наименьшее значение функции
44
Наибольшее и наименьшее значение функции
45
Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса
46
Урок обобщения и систематизации знаний
47
Контрольная работа по теме «Применение производной к исследованию функций»
К.р №3
Интеграл
48
Объем наклонной призмы, пирамиды и конуса
49
Первообразная
50
Первообразная
51
Объем шара и площадь сферы
52
Правила нахождения первообразной
53
Правила нахождения первообразной
54
Решение задач по теме «Объемы тел»
55
Площадь криволинейной трапеции и интеграл
56
Площадь криволинейной трапеции и интеграл
57
Контрольная работа по теме «Объемы тел»
К.р №2
58
Урок обобщения и систематизации знаний
59
Контрольная работа по теме « Интеграл»
К.р №4
60
Зачет по теме «Объемы тел»
Элементы комбинаторики 6 часов
61
Комбинаторные задачи
62
Перестановки
63
3 Повторение. Решение задач
Параллелепипед
64
Размещения
65
Сочетания и их свойства
66
Призма
67
Биноминальная формула Ньютона
68
Контрольная работа по теме «Элементы комбинаторики»
К.р№5
69
Решение задач по теме: Призма
Знакомство с вероятностью 6
70
Вероятность события
71
Сложение вероятностей
72
Пирамида
73
Вероятность противоположного события
74
Условная вероятность
75
Решение задач по теме: Пирамида
76
Вероятность произведения независимых событий
77
Контрольная работа по теме «Вероятность»
К.р №6
78
Цилиндр
8 Итоговое повторение курса алгебры и начала математического анализа
79
Выражения и преобразования
80
Решение задач по теме: Цилиндр
81
Степень с рациональным показателем
82
Корень степени n
83
Конус
84
Выражения с переменными
85
Уравнения и неравенства
86
Решение задач по теме: Конус
87
Иррациональные уравнения
88
Решение уравнений и неравенств
89
Шар
90
Функции
91
Свойства функций
92
Решение задач по теме: Шар
93
Исследование функций с помощью производной
94
Логарифм
95
Решение задач по теме цилиндр, конус, шар
96
Свойства логарифма
97
Синус, косинус, тангенс, котангенс
98
Решение задач по теме цилиндр, конус, шар
99
Тождественные преобразования тригонометрических выражений
100
Тригонометрические уравнения
101
Решение задач по теме цилиндр, конус, шар
102
Тригонометрические уравнения
103
Итоговая контрольная работа
К.р №7
104
Итоговая контрольная работа
К.р №3
105
Итоговая контрольная работа
Характеристика контрольно-измерительных материалов.
Контрольные работы составлены в двух вариантах. Они предназначены для проведения итоговой проверки знаний по каждой теме данного курса. Сложность вариантов примерно одинакова Каждая контрольная работа разделена на две части: до черты-задания обязательного уровня, после черты- задания более высокого уровня.
Оценка письменных контрольных работ учащихся
по математике
Отметка «5» ставится, если:
работа выполнена полностью;
в логических рассуждениях и обосновании решения нет пробе лов и ошибок;
в решении нет математических ошибок (возможна одна неточ ность, описка, не являющаяся следствием незнания или непо нимания учебного материала).
Отметка «4» ставится, если:
работа выполнена полностью, но обоснования шагов решения недостаточны (если умение обосновывать рассуждения не являлось специальным объектом проверки);
допущена одна ошибка или два-три недочета в выкладках, ри сунках, чертежах или графиках (если эти виды работы не являлись специальным объектом проверки).
Отметка «3» ставится, если:
допущены более одной ошибки или более двух-трех недоче тов в выкладках, чертежах или графиках, но учащийся владеет обязательными умениями по проверяемой теме.
Отметка «2» ставится, если:
допущены существенные ошибки, показавшие, что учащийся не владеет обязательными умениями по данной теме в полной мере.
«Дидактические материалы» являются частью учебного комплекта для 10 - 11 класса. Сборник содержит задания, которые дополняют систему упражнений учебника. Здесь представлены самостоятельные работы, математические диктанты и дополнительные самостоятельные работы. Основная цель самостоятельных работ – организация деятельности учащихся по решению задач с учетом их индивидуальных особенностей и уровня подготовки, а так же, для текущего контроля умений и навыков. Работы, за некоторым исключением, состоят из двух задач и рассчитаны на 15 минут. Работы даны в восьми вариантах и различны по уровню сложности.
В первом и втором вариантах каждой работы предлагаются задачи, для успешного решения которых учащиеся должны применить знания на уровне минимальных программных требований.
Третий и четвертый варианты состоят из задач среднего уровня сложности. Они по сложности соответствуют большинству основных задач учебника.
Пятый и шестой варианты предназначены для более подготовленных учащихся. При решении задач этих вариантов требуется умение применять знания в усложненных ситуациях, иметь достаточно высокий уровень развития вычислительных навыков и навыков проведения тождественных преобразований.
Седьмой и восьмой варианты состоят из задач, при решении которых требуется творческое применение знаний. Эти задачи могут быть предложены учащимся после выполнения ими основной работы в оставшееся время или на факультативных занятиях.
Система оценивания результатов самостоятельной работы:
для получения отметки «3» достаточно верно, с полными обоснованиями, решить одну из двух предложенных задач. Если работа содержит только 1 задачу, то отметка «3» может быть выставлена в том случае, если присутствуют все основные шаги в решении задачи, но решение не закончено.
для получения отметки «4» необходимо правильно решить обе предложенные задачи. Но может быть допущена вычислительная ошибка, недостаточные обоснования или их отсутствие. Если работа содержит только одну задачу, то отметку «4» можно поставить, если задача решена, но недостаточные (или отсутствуют) обоснования шагов решения.
для получения отметки «5» необходимо правильно и с полным обоснованием решить все предложенные задачи.
Контрольные работы составлены в двух вариантах. Они предназначены для проведения итоговой проверки знаний по каждой теме курса геометрии 10 – 11 класса. Сложность вариантов примерно одинакова. В каждом варианте имеется задание, отмеченное знаком *. Эти задания потребуют творческого применения знаний, анализа нестандартных геометрических конфигураций. Оценка выставляется ученикам только за основную часть работы, а ученики, решившие дополнительную задачу, могут по усмотрению учителя получить вторую отметку за работу.
Система оценивания результатов контрольной работы:
Отметка «5» ставится, если верно и с полным обоснованием решены все предложенные задачи.
Отметка «4» ставится, если решены все задачи, но отсутствуют обоснования, допущены 1 – 2 вычислительных ошибки, или решение одной из задач не закончено.
Отметка «2» ставится, если не решена ни одна из предложенных задач.
Отметка «3» ставится в остальных случаях.
Зачеты составлены по теоретическому материалу курса геометрии 10 – 11 класса. Основная цель – организация проверки знаний теоретического материала по каждой теме. Проводятся зачеты на уроках обобщения и систематизации знаний перед контрольной работой по соответствующей теме. Ученик получает «зачет», если верно ответит на вопросы и докажет одну из теорем. Если получена оценка «незачет», но ученик обязан пересдать зачет.
10 класс
Контрольная работа №1
Вариант 1
1. Выполнить вычитание: 13 EMBED Equation.3 1415
2.. Сократить дробь: 13 EMBED Equation.3 1415
3. Упростить выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
4. Найти область значений функции f(x) = -2x2 + 4x + 1
5. Найдите область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415.
6. Решить уравнение13 EMBED Equation.3 1415
7.При каком значении b уравнение 2x2 + bx – 10 = 0 имеет корень 5?
8 Решить систему неравенств13 EMBED Equation.3 1415.
9. При каких значениях х функция y = -3x2 + 6x – 5 принимает неотрицательные значения?
Вариант 2
1. Выполнить умножение: 13 EMBED Equation.3 1415
2. Сократить дробь: 13 EMBED Equation.3 1415
3. Упростить выражение: 13 EMBED Equation.3 1415
4.. Найти область значений функции f(x) = -x2 - 4x + 5
5. Найдите область определения функции 13 EMBED Equation.3 1415.
6.Решить уравнение 13 EMBED Equation.3 1415
7.При каком значении b уравнение 2x2 + bx – 30 = 0 имеет корень 3?
8. Найти решение неравенства 13 EMBED Equation.3 1415,принадлежащие промежутку 13 EMBED Equation.3 1415
9. Вычислить координаты точек пересечения парабол 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 и определить, в каких координатных четвертях находятся эти точки.
Контрольная работа №2
ВАРИАНТ 1
1. Вычислите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
2. Вычислите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
3. Упростите выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
4. Решите уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,( 43 ) в виде обыкновенной дроби
В1. Сократите дробь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
В2. Сравните числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
В3. Вычислить [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
ВАРИАНТ 2
1. Вычислите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
2. Вычислите [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
3. Упростите выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
4. Решите уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
5. Запишите бесконечную периодическую дробь 0,3( 6 )в виде обыкновенной дроби
В1. Сократите дробь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
В2. Сравните числа [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
В3. Вычислить [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ];
Контрольная работа №3
Степенная функция
I вариант
Найдите область определения функции y = 6
·6 + 0,5x.
Схематически изобразите график функции у = х -4 и перечислите ее основные свойства. Пользуясь свойствами этой функции сравниете:
1 и (0,3)-4; 2) (2
·3) -4 и (3
·2) -4.
Решите уравнение
·1 – х = х + 1.
Решите уравнение
·2х + 5 -
·х + 6 = 1
II вариант
Найдите область определения функции y = (2х + 9)1/5.
Схематически изобразите график функции у = х -3 и перечислите ее основные свойства. Пользуясь свойствами этой функции сравниете:
1 и (3/2)-3; 2) (3
·5) -3 и (5
·3) -3.
Решите уравнение
·х + 1 = 1 – х.
Решите уравнение
·3х + 1 -
·х - 8 = 1
Контрольная работа №4
Показательная функция
I вариант
Сравните числа: а) 5-8,1 и 5-9; б) (1/3)10 и (1/3)11.
Решите уравнение: а) (1/5)2-3х = 25; б) 4х + 2х – 20 = 0.
Решите неравенство (3/4)х > 1 1/3
Решите неравенство: а) (
·5)х-6 < 1/5; б) (2/13) х2-1
· 1.
Решить систему уравнений { х – у = -2,
{ 5х+у = 25.
Решить уравнение 7х+1 + 3
· 7х = 2х+5 + 3
· 2х.
II вариант
Сравните числа: а) (0,5)-12 и (0,5)-11; б) (6)1/3 и 6.
Решите уравнение: а) (0,1)2х-3 = 10; б) 9х + 7
· 3х – 18 = 0.
Решите неравенство (1 1/5)х > 5/6/
Решите неравенство: а) (3
·3)х+6 > 1/9; б) (1 2/7) х2-4
· 1.
Решить систему уравнений { х + у = -2,
{ 6х+5у = 36.
Решить уравнение 3х+3 + 3х = 5
· 2х+4 + 17
· 2х.
11 класс
Контрольная работа №1
I вариант
Вычислите: a) log1/216, б) 51+log53; в) log3135 - log320 + 2 log32.
Сравните числа log1/23/4 и log1/24/5.
Решите уравнение log5(2х – 1) = 2.
Решите неравенство log1/3(х – 5) > 1.
Решите уравнение log8х + log
·2х = 14.
II вариант
Вычислите: a) log3(1/27), б) 1/32log1/37; в) log256 + 2log212 - 2 log263.
Сравните числа log0,9 (1 1/2).и log0,9 (1 1/3).
Решите уравнение log4(2х + 3) = 3.
Решите неравенство log1/2(х – 3) > 2.
Решите уравнение log
·3х + log9х = 10.
Контрольная работа №2
I вариант
Вычислите: а) cos 780°; б) sin 13/6
·.
Вычислите sin
·, Если cos
· = - 12/13 и
· <
· < 3/2
·.
Упростите выражение: а) cos (
· +
·) - cos (
· -
·).
Решите уравнение sin 5х cos 4х - cos 5х sin 4х = 1
Докажите тождество cos 4
· + 1 = Ѕ sin4
· (ctg
· – tg
·)
II вариант
Вычислите: а) cos 780°; б) sin 13/6
·.
Вычислите cos
·, Если sin
· = - 4/5 и
· <
· < 3/2
·.
Упростите выражение: а) sin (
· +
·) + sin (
· -
·).
Решите уравнение cos 4х sin 3х + sin 4х cos 3х = 1
Докажите тождество (tg
· + ctg
·) (1 - cos4
·) = 4 sin2
·
Контрольная работа №3
1. Решите уравнение:
а)
·2cosх -1 = 0;
б) cos2 х + 3sinx – 3= 0;
в) 2sm2x - sin2х = cos2x.
2. Решите неравенство sinx
·13 EMBED Equation.3 1415
_______________________________________________________________________________
3. Решите уравнение cos 3x + cosx = 0 и найдите все его корни, принадлежащие промежутку 13 EMBED Equation.3 1415
Контрольная работа №4
I вариант
Найдите область определения и множество значений функции у =2 cosx.
Выясните является ли функция у = sin x - tg х четной или нечетной.
Изобразите схематически график функции у = sin x + 1 на отрезке [ -
·/2; 2
·].
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у = 3sin x cosx + 1.
Постройте график функции у = 0,5 cosx – 2. При каких значениях х функция возрастает; убывает?
II вариант
Найдите область определения и множество значений функции у =0,5 cosx.
Выясните является ли функция у = cosx – х2 четной или нечетной.
Изобразите схематически график функции у = cos x - 1 на отрезке [ -
·/2; 2
·].
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции у = 3sin x cosx + 1.
Постройте график функции у = 2 sin x + 1. При каких значениях х функция возрастает; убывает?
12 класс
Контрольная работа №1
Входная. Демоверсия.
Контрольная работа №2
«Производная и ее геометрический смысл»
Вариант 1
1.Найдите производную функции:
а) 3x2 – 1/x3; б) (х/3 + 7)6; в) ехcosx.
2.Найдите значение производной функции f (x) = 1 – 6 3
·х в точке х0 = 8.
3.Запишите уравнение касательной к графику функции f(x) = sinx – 3x + 2 в точке х0 = 0.
4.Найдите значения х при которых значения производной функции f(x) =х+ 1/х2+ 3.
5.Найдите точки графика функции f(x) =х 3- 3х2, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
Вариант 2
1.Найдите производную функции:
а) 2x3 – 1/x2; б) (4-3х)6; в) ех sinx.
2.Найдите значение производной функции f (x) = 2 – 1/
·х в точке х0 = 1.
3.Запишите уравнение касательной к графику функции f(x) = 4х -sinx + 1 в точке х0 = 0.
4.Найдите значения х при которых значения производной функции f(x) =1 - х/х2+ 8.
5.Найдите точки графика функции f(x) =х 3+ 3х2, в которых касательная к нему параллельна оси абсцисс.
Контрольная работа №3
Применение производной к исследованию функции
Вариант 1
1.Найдите экстремумы функции:
а) f (x) = x3 + 2x2 + х + 3; б) (f (x) = ех(2х – 3).
2.Найдите интервалы возрастания и убывания функции f (x) = x3 + 2x2 + х + 3.
3.Постройте график функции f (x) = x3 + 2x2 + х + 3 на отрезке [-1;2].
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = x3 + 2x2 + х + 3 на отрезке [0;3/2].
5.Среди прямоугольников, у которых сумма длин трех сторон равна 20, найдите прямоугольник с наибольшей площадью.
Вариант 2
1.Найдите экстремумы функции:
а) f (x) = x3 - x2 - х + 2; б) (f (x) = (5 –4х) ех.
2.Найдите интервалы возрастания и убывания функции f (x) = x3 - x2 - х + 2.
3.Постройте график функции f (x) = x3 - x2 - х + 2 на отрезке [-1;2].
4.Найдите наибольшее и наименьшее значения функции f (x) = x3 - x2 - х + 2 на отрезке [-1;3/2].
5.Найдите ромб наибольшей площадью, если известно, что сумма длин его диагоналей равна 10.
Контрольная работа №4
«Первообразная».
Вариант 1.
Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R:
a)F(x)=x4-3; f(x)=4x3; b)F(x)=5x-cosx, f(x)=5+sinx.
2.Найдите общий вид первообразной для функции a)f(x)=13 QUOTE 1415 +3cosx; б)f(x)=х2(1-х);
в)f(x)= 4sinx
·cosx
3.Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М:
f(x)=3-13 QUOTE 1415; M(-13 QUOTE 1415;13 QUOTE 1415).
Вариант 2
1. Докажите, что функция F является первообразной для функции f на множестве R:
a)F(x)=4x-x3; f(x)=4-3x2; b)F(x)=0,5-sinx, f(x)=-cosx.
2.Найдите общий вид первообразной для функции a)f(x)=13 QUOTE 1415 -2cosx; б) f(x)=х2(1-х);
в) f(x)= cos2x-sin2x.
3.Для функции f найдите первообразную, график которой проходит через точку М:
f(x)=13 QUOTE 1415; M (-13 QUOTE 1415;13 QUOTE 1415)
Контрольная работа
«Интеграл»
Вариант 1.
10.Вычислите интеграл: а) 13 QUOTE 1415; б)13 QUOTE 1415.
20.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=1 – x3, y=0, x=-1.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=13 QUOTE 1415и:
а) касательной к этому графику в его точке с абсциссой х=-2 и х=0;
б) касательными к этому графику в его точках с абсциссами x=-2 и x=2.
Вариант 2.
10.Вычислите интеграл: а) 13 QUOTE 1415; б)13 QUOTE 1415.
20.Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y=2x2, y=0, x=2.
3. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функции y=13 QUOTE 1415+2:
а) где х
·0, касательной к этому графику, проведённой через его точку с абсциссой х0=1, и прямой х=0;
б) касательными к этому графику в его точках с абсциссами x=0 и x=2.
Контрольная работа №5
Вычислите а) С38 ; б) Р6/А75.
Сколько существует способов для обозначения вершин четырехугольника с помощью букв А, B, C, D, E, F?
Запишите разложение бинома (1 + х )5.
Контрольная работа №6
Из урны, содержащей 15 белых, 10 красных и 5 синих шаров, наугад
Контрольная работа №7
Итоговая. Демоверсия.
10 класс
Зачет № 1 “Основы планиметрии”
1.Что изучает планиметрия.
2.Свойство смежных углов.
3.Свойство вертикальных углов.
4.Признаки параллельности прямых.
5.Внешний угол треугольника. Определение. Свойство.
6.Теорема о сумме углов треугольника.
7.Определение средней линии треугольника. Свойство средней линии треугольника.
8.Определения медианы, биссектрисы и высоты треугольника.
9. Треугольник, у которого две стороны равны, называется
10. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла 30° равен
11. Теорема Пифагора : В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме
12.Признаки подобия треугольников. Отношение периметров, площадей, высот подобных фигур.
13.Определение параллелограмма. Свойство сторон и углов
параллелограмма.
15.Признаки параллелограмма.
16.Определение прямоугольника. Свойства диагоналей прямоугольника.
17.Определение ромба. Свойства диагоналей ромба.
18.Определение квадрата. Свойства квадрата.
19.Определение трапеции. Определение средней линии трапеции. Свойство средней линии трапеции.
20. Формулы для вычисления площадей плоских фигур.
а) площадь треугольника равна ______________________________________________;
б) площадь прямоугольника равна ______________________________________________;
в) площадь параллелограмма равна __________________________________________;
г) площадь трапеции равна __________________________________________________ ;
д) площадь ромба равна ___________________________________________________;
21.Определение окружности. Определения диаметра, хорды, секущей, касательной.
22.Определение вписанного угла, центрального угла. Измерение их величин. Свойство вписанного угла, его связь с центральным углом, опирающимся на ту же хорду.
23.Правильный многоугольник . Формулы для вычисления радиусов вписанной, описанной окружностей.
Контрольная работа № 1
Вариант 1
Длины.
Две стороны параллелограмма относятся как 2:3, а периметр его равен 40. Найдите большую сторону параллелограмма.
Периметр трапеции равен 40, а сумма непараллельных сторон равна 20. Найдите среднюю линию трапеции.
В треугольнике ABC угол С равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], BC=24. Радиус описанной окружности этого треугольника равен 12,5. Найдите AC.
Три стороны описанного около окружности четырёхугольника относятся (в последовательном порядке) как 1:5:9. Найдите большую сторону этого четырёхугольника, если известно, что его периметр равен 20.
Углы.
В треугольнике ABC AB= BC. Внешний угол при вершине B равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
В треугольнике ABC AС= BC, AD – высота, угол BAD равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите угол С. Ответ дайте в градусах.
Центральный угол на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]больше острого вписанного угла, опирающегося на ту же дугу окружности. Найдите вписанный угол. Ответ дайте в градусах.
Хорда АВ стягивает дугу окружности в [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите угол АВС между этой хордой и касательной к окружности, проведённой через точку В. Ответ дайте в градусах.
Площади.
Найдите площадь прямоугольной трапеции, основания которой равны 10 и 20, большая боковая сторона составляет с основанием угол [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Найдите площадь сектора круга радиуса[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], центральный угол которого равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Вариант 2
Длины.
Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении 3:1, считая от вершины острого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 60.
Перпендикуляр, опущенный из вершины тупого угла на большее основание равнобедренной трапеции, делит его на части, имеющие длины 22 и 15. Найдите среднюю линию этой трапеции.
В треугольнике ABC угол С равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], АC=8, BC=15.Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.
В четырёхугольник ABCD вписана окружность, AB=10, BC=6 и CD=16. Найдите четвёртую сторону четырёхугольника.
Углы.
Сумма двух углов треугольника и внешнего угла к третьему равна[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите этот третий угол. Ответ дайте в градусах.
Острые углы прямоугольного треугольника равны [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из вершины прямого угла. Ответ дайте в градусах.
Найдите центральный угол AOB, если он на [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]больше вписанного угла АСВ, опирающегося на ту же дугу. Ответ дайте в градусах.
Угол между хордой АВ и касательной ВС к окружности равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой АВ. Ответ дайте в градусах
Площади.
Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 44, и одна сторона на 2 больше другой.
Найдите площадь сектора круга радиуса 4, длина дуги которого равна 1.
Зачет №2
Тема: «Параллельность прямых и плоскостей»
Вопросы к зачету:
Сформулировать аксиомы стереометрии
Рассмотреть случаи взаимного расположения прямых в пространстве
Сформулировать определение параллельных прямых в пространстве
Сформулировать теорему о параллельных прямых
Сформулировать лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми
Рассмотреть случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве
Сформулировать определение скрещивающихся прямых
Сформулировать теорему о скрещивающихся прямых
Что называется углом между скрещивающимися прямыми?
Рассмотреть случаи взаимного расположения двух плоскостей в пространстве
Сформулировать определение параллельных плоскостей
Сформулировать определение тетраэдра
Сформулировать определение параллелепипеда
Теоремы к зачету (с доказательством):
Сформулировать и доказать следствия из аксиом стереометрии.
Сформулировать и доказать теорему о параллельности трех прямых в пространстве
Сформулировать и доказать признак параллельности прямой и плоскости
Сформулировать и доказать признак скрещивающихся прямых
Сформулировать и доказать теорему об углах с сонаправленными сторонами
Сформулировать и доказать признак параллельности двух плоскостей
Сформулировать и доказать свойства параллельных плоскостей
Сформулировать и доказать свойства параллелепипеда
Контрольная работа № 2
Вариант 1
1. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости
·. Через точки В и С проведены параллельные прямые, пере секающие плоскость а в точках Е и F соответственно.
а) Каково взаимное расположение прямых EF и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми EF и АВ, если
2. Дан пространственный четырехугольник ABCD, в кото ром диагонали АС и BD равны. Середины сторон этого че тырехугольника соединены последовательно отрезками.
а) Выполните рисунок к задаче.
Вариант 2
1. Треугольники ABC и ADC лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону АС. Точка Р середина стороны AD, точка К -- середина стороны DC.
а) Каково взаимное расположение прямых РК и АВ?
б) Чему равен угол между прямыми РК и АВ, если
2. Дан пространственный четырехугольник ABCD, M и N середины сторон АВ и ВС соответственно, Е 13 EMBED Equation.3 1415CD, К 13 EMBED Equation.3 1415DA, DE : ЕС = 1 : 2, DK : К А =1 : 2.
а) Выполните рисунок к задаче.
Зачет №3
Тема: «Перпендикулярность прямых и плоскостей»
Вопросы к зачету:
Сформулировать определение перпендикулярных прямых в пространстве
Сформулировать лемму о перпендикулярности двух параллельных прямых третьей прямой
Сформулировать определение прямой, перпендикулярной к плоскости
Что называется расстоянием между параллельными плоскостями?
Что называется расстоянием между прямой и параллельной ей плоскостью?
Что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?
Сформулировать определение угла между прямой и плоскостью
Сформулировать определение двугранного угла. Его градусная мера.
Что называется линейным углом двугранного угла
Сформулировать определение перпендикулярных плоскостей
Теоремы к зачету (с доказательством):
Сформулировать и доказать теоремы, в которых устанавливается связь между параллельностью прямых и их перпендикулярностью к плоскости
Сформулировать и доказать признак перпендикулярности прямой и плоскости
Сформулировать и доказать теорему о прямой, перпендикулярной к плоскости
Сформулировать и доказать теорему о трех перпендикулярах
Сформулировать и доказать признак перпендикулярности двух плоскостей
Сформулировать и доказать свойства прямоугольного параллелепипеда
Контрольная работа № 3
Вариант 1
1. Прямые а и b лежат в параллельных плоскостях а и
·. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скрещи вающимися? Сделайте рисунок для каждого возможного случая.
2. Через точку О, лежащую между параллельными плос костями а и
·, проведены прямые n13 EMBED Equation.3 1415и т. Прямая n пересека ет плоскости а и
· в точках А1 и А2 соответственно, прямая т в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А2В2, если А1 В1 = 12 см, В1 О : ОВ2 =3:4.
Вариант 2
1. Прямые а и b лежат в пересекающихся плоскостях а и
·. Могут ли эти прямые быть: а) параллельными; б) скре щивающимися? Сделайте рисунок для каждого возможно го случая.
2. Через точку О, не лежащую между параллельными плоскостями а и
·, проведены прямые n и т. Прямая n пе ресекает плоскости а и
· в точках А1 и А2 соответственно, прямая т в точках В1 и В2. Найдите длину отрезка А1 В1, если А2В2 = 15 см, О В1 : ОВ2 = 3:5.
11 класс
Зачет №1
Тема: «Многогранники»
Вопросы к зачету:
Сформулировать определение многогранника. Его виды.
Сформулировать определение призмы
Сформулировать определение пирамиды
Какая пирамида называется правильной?
Какая пирамида называется усеченной?
Теоремы к зачету (с доказательством):
Сформулировать и доказать теорему о площади боковой поверхности призмы
Сформулировать и доказать теорему о площади боковой поверхности пирамиды
Сформулировать и доказать теорему о площади боковой поверхности усеченной пирамиды
Контрольная работа № 1
Вариант 1
1. Основанием пирамиды DABC является правильный тре угольник ABC, сторона которого равна а. Ребро DA пер пендикулярно к плоскости ABC, а плоскость DBC состав ляет с плоскостью ABC угол 30°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является ромб ABCD, сторона которого равна а и угол ра вен 60°. Плоскость A D1 C1 составляет с плоскостью основа ния угол 60°. Найдите:
а) высоту ромба;
б) высоту параллелепипеда;
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда
Вариант 2
1. Основанием пирамиды MABCD является квадрат ABCD, ребро MD перпендикулярно к плоскости основа ния, AD= DM = а. Найдите площадь поверхности пирамиды.
2. Основанием прямого параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 является параллелограмм ABCD, стороны которого равны а13 QUOTE 1415 и 2а, острый угол равен 45°. Высота параллелепипеда равна меньшей высоте параллелограмма. Найдите:
а) меньшую высоту параллелограмма;
б) угол между плоскостью АВС1 и плоскостью основания;
в) площадь боковой поверхности параллелепипеда;
Зачет № 2
Вариант 1
а) Сформулируйте понятие коллинеарных векторов;
На рис.1 изображен параллелепипед. Выпишете:
б) 5 векторов, противоположно направленных к 13 EMBED Equation.3 1415;;
в) 5 векторов, сонаправленных с 13 EMBED Equation.3 1415;
г) 2 вектора, равных13 EMBED Equation.3 1415.
Нарисуйте тетраэдр DABC. Изобразите на рисунке векторы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415 ; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415.
Скопируйте векторы с рис. 2 в тетрадь и постройте векторы:
а) 13 EMBED Equation.3 1415; б) 13 EMBED Equation.3 1415; в) 13 EMBED Equation.3 1415 ; г) 13 EMBED Equation.3 1415.
Перечислите свойства умножения вектора на число: сочета-тельное, первое и второе распределительные свойства.
Упростите выражения: а) 13 EMBED Equation.3 1415;
Дан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 (рис.1). Какие из трех следующих векторов компланарны: а) 13 EMBED Equation.3 1415 ?
Выразите векторы13 EMBED Equation.3 1415 на рис. 3 через векторы 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415, если известно, что Y – середина DB, а DХ =13 EMBED Equation.3 1415 DC.
Контрольная работа № 2
Вариант 1
^
Вычислите скалярное произведение векторов m и n , если m = a + 2 b – c, n = 2 a – b, /a/ = 2, /b/ = 3, (ab) = 60°, c
· a, c
· b.
Дан куб ABCDA 1B 1C 1D1. Найдите угол между прямыми AC и DC 1.
При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость
· – на плоскость
·1. Докажите, что если а //
·, то а1//
·1.
Вариант II
^
Вычислите скалярное произведение векторов m и n , если m = 2a - b + c, n = a – 2b, /a/ = 3, /b/ = 2, (ab) = 60°, c
· a, c
· b.
Дан куб ABCDA 1B 1C 1D1. Найдите угол между прямымиAD 1 и BM, где М – середина ребра DD 1.
При движении прямая а отображается на прямую а1, а плоскость
· – на плоскость
·1. Докажите, что если а //
·, то а1//
·1.
12класс
Зачет №1 по теме «Цилиндр, конус, шар»
1.Сформулируйте определение цилиндра, его элементов (основания, ось, образующая, боковая поверхность, высота, радиус основания). Осевое сечение цилиндра и сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям. Площадь поверхности цилиндра (с объяснением).
2. .Сформулируйте определение конуса, его элементов (основание, образующая, ось, боковая поверхность, высота, радиус основания). Осевое сечение конуса и сечение конуса плоскостью, параллельной основанию. Площадь поверхности конуса (с выводом).
3. .Сформулируйте определение усеченного конуса, его элементов (основания, образующая, ось, боковая поверхность, высота, радиус основания). Осевое сечение усеченного конуса и сечение усеченного конуса плоскостью, параллельной основаниям. Площадь поверхности усеченного конуса.
4. Сформулируйте определение сферы и шара, его элементов (центр, радиус, диаметр). Сечения шара. Уравнение сферы.
5. Сформулируйте определение касательной плоскости к сфере. Докажите свойство касательной плоскости.
6. Сформулируйте определение сферы и шара, его элементов (центр, радиус, диаметр). Расскажите о взаимном расположении сферы и плоскости.
7. Высота конуса равна 10 см, угол между высотой и образующей конуса равен 45[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите площадь сечения конуса плоскостью, проведенной через две образующие, угол между которыми 30[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
8. Радиус шара равен 12 см. Через конец радиуса проведена плоскость под углом 45[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] к нему. Найдите площадь сечения.
9. Сечение цилиндра плоскостью, параллельной оси, отсекает от окружности основания дугу в 120[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите площадь сечения, если высота цилиндра равна 7 см, а расстояние между осью цилиндра и секущей плоскостью равно 2 см.
10, Диагональ осевого сечения равностороннего цилиндра равна 8 см. Найдите площадь его основания.
11. Радиусы оснований усеченного конуса 6 и 2 см, образующая наклонена к основанию под углом 60[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите высоту и образующую конуса.
12. Каждое ребро правильной треугольной призмы равно a[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Найдите площадь осевого сечения вписанного цилиндра.
13. Радиус шара равен R. Найдите площадь диагонального сечения вписанного куба.
14. Ребро куба равно a. Найдите площадь осевого сечения описанного цилиндра.
15. Образующая конуса равна 13 см. В конус вписана пирамида, основанием которой служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 см. Найдите высоту пирамиды.
16. Образующая конуса равна 4 см и наклонена к плоскости основания под углом 60[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите боковую поверхность вписанной в конус правильной треугольной пирамиды.
17. Площадь осевого сечения равностороннего цилиндра (диаметр равен образующей) равна 16 см2. Найдите боковую поверхность вписанной в цилиндр правильной шестиугольной призмы.
18. Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 60[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.
Контрольная работа №1
Вариант 1.
Осевое сечение цилиндра – квадрат , площадь основания цилиндра равна 16
· см2. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Высота конуса равна 6 см, угол при вершине осевого сечения равен 120°. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 30°; б) площадь боковой поверхности конуса.
Диаметр шара равен 2 m . Через конец диаметра проведена плоскость под углом 45° к нему. Найдите длину линии пересечения сферы этой плоскостью.
Вариант II
Осевое сечение цилиндра – квадрат, диагональ которого равна 4 см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
Радиус основания конуса равен 6 см, а образующая наклонена к площади основания под углом 30°. Найдите: а) площадь сечения конуса плоскостью, проходящей через две образующие, угол между которыми равен 60°; б) площадь боковой поверхности конуса.
Диаметр шара равен 4 m . Через конец диаметра проведена плоскость под углом 30° к нему. Найдите площадь сечения шара этой плоскостью.
Зачет №2
1.Понятие объема. Свойства объемов.
2.Теорема об объеме шара.
3.Задача.
Сторона основания правильной шестиугольной пирамиды равна 4,а угол между боковой гранью и основанием равен 450 Найти объем пирамиды.
1.Понятие призмы вписанной в цилиндр, описанной около цилиндра .Формула для нахождения объема цилиндра.
2.Теорема об объеме прямой призмы.
3.Задача
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 18 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить в другой цилиндрический сосуд, диаметр которого в 3 раза больше первого?
1.Понятие шарового сегмента. Объем шарового сегмента.
2.Теорема об объеме пирамиды.
3. Задача.
Найти объем V конуса, образующая которого равна 10 и наклонена к плоскости основания под углом 30. В ответе укажите V/
·
1.Понятие шарового слоя. Объем шарового слоя.
2.Теорема об объеме конуса.
3. Задача.
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 13 QUOTE 1415. Найдите объем параллелепипеда.
1.Понятие шарового сектора. Объем шарового сектора.
2.Теорема об объем цилиндра.
3. Задача.
Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды , больше объема конуса ,вписанного в эту пирамиду.
1.Объем прямоугольного параллелепипеда.
2.Теорема об объеме наклонной призмы.
3.Задача.
Объем куба равен 150. Найдите объем четырех угольной пирамиды, основанием которой является грань куба, а вершиной - центр куба.
Задачи для проведения зачета.
1.В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 600 см3 воды и полностью погрузили в нее деталь. При этом уровень воды в сосуде поднялся с отметки 12 см до 16 см. Чему равен объем детали.
2.Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 16,боковые ребра 17. Найти объем пирамиды.
3.Кубик весит 8 г. Сколько граммов будет весить кубик, ребро которого в 3,5 больше, чем ребро первого кубика, если оба кубика изготовлены из одинакового материала.
4.Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Вычислите объем цилиндра, если объем конуса равен 10.
5.Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равна 2. Найти объем параллелепипеда.
6.Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 600 . Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
7.Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 1. Объем параллелепипеда равен 8. Найти высоту цилиндра.
8.Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с катетами 1 и 5.Боковые ребра равны 8/
·
Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Контрольная работа №2 «Объёмы тел».
Вариант 1.
1.Апофема правильной треугольной пирамиды равна 4 см, а двугранный угол при основании равен 600. Найдите объем пирамиды.
2.В цилиндр вписана призма. Основанием призмы служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 600. Диагональ большой боковой грани призмы составляет с плоскостью её основания угол 450. Найдите объём цилиндра.
3.Объём цилиндра равен 96п3 см3. Найдите площадь сферы, описанной около цилиндра.
Вариант 2.
1.Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и составляет с плоскостью угол 600. Найдите объём пирамиды.
2.В конус вписана пирамида. Основанием пирамиды служит прямоугольный треугольник, катет которого равен 2а, а прилежащий угол равен 300. Боковая грань пирамиды, проходящая через данный катет, составляет с плоскостью основания угол 450. Найдите объём конуса.
3.Диамет шара равен высоте цилиндра, осевое сечение которого есть квадрат. Найдите отношение объёмов шара и цилиндра.
Итоговая контрольная работа (в форме теста)
Часть А.
1.Основание прямой призмы-прямоугольный треугольник с катетами, равными 3м и 4м, высота призмы равна 8м. Найдите Sполн.
1)56м2; 2)102м2; 3)96см2; 4)108см2.
2. Высота правильной треугольной призмы АВСА1В1С1 равна
·6м, а сторона основания 2м. Найдите площадь сечения, проходящего через вершины В, С и А1.
1)2
·3м2; 2)6м2; 3)3м2; 4)
·6м2..
3.Две стороны основания прямого параллелепипеда, равные 4м и 6м, образуют угол в 600. Найдите объём параллелепипеда, если боковое ребро равно 5м.
1)60м2; 2)60
·3м2; 3)30м2; 4)30
·3м2.
4. Ребро СС1 прямой призмы АВСА1В1С1 равно 9, АВ=ВС=13, АС=10. Найдите расстояние от вершины В1 до прямой АС.
1)25; 2)15; 3)12; 4)17.
5.Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 19м, а сторона основания-12м. Найдите Sбок.
1)180м2; 2)288м2; 3)144м2; 4)192м2.
6.Основание пирамиды - квадрат со стороной, равной 3
·2м, а высота пирамиды равна диагонали основания. Найдите объём пирамиды.
1)18м2; 2)36м2; 3)108м2; 4) 72м2.
7.Прямоуогльник АВСД вращается вокруг стороны АВ. Найдите объём тела вращения, если АВ=4м, Ас=5м.
1)36м3; 2)48п см3; 3)27п 3м 4)36п м3.
8.Высота конуса равна 9м, а образующая-15м. Найдите объём конуса.
1)868п м3 ; 2)1302пм3 ; 3)576п м3; 4)432п м3.
9.Радиус шара равен 10м, а расстояние от центр до секущей плоскости равно 6м. Найдите площадь сечения.
1)64п м2; 2) 16п м2; 3)256п м2; 4)32п м2.
Часть В.
1.Основание прямой призмы-трапеция, стороны которой равны 6м, 6м, 12м. Найдите величину острого двугранного угла, образованного боковыми гранями призмы.
2.Высота и сторона основания правильной треугольной пирамиды равны 3. Найдите угол между боковым ребром и плоскостью основания.
3.Площадь боковой поверхности цилиндра равна 120п м3, а радиус основания-6м. Найдите длину образующей цилиндра.
4.Осевое сечение конуса –прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10м. найдите площадь сечения.
5.Сфера с центром в точке О касается плоскости в точке Е. Точка С лежит в касательной плоскости. Найдите СЕ, если ОС=5м, а диаметр сферы 6м.
Часть С.
1.Осевое сечение конуса – треугольник с углом 600. Радиус основания конуса равен 6м. Найдите площадь сечения, проходящего через две образующие, угол между которыми равен 300.
2. Найдите расстояние от вершины А прямоугольного параллелепипеда АВСДА1В1С1Д1 до прямой ВД1, если АВ=4, АД=3, АА1=12.
3.основание пирамиды МАВСД- прямоугольник. Ребро АМ перпендикулярно плоскости основания. Грань ВМС наклонена к плоскости основания под углом 300. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если ВМ=2
·3м, ДМ=2м.
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.12 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.12 1415
13 EMBED CorelDRAW.Graphic.12 1415
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native0Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 34Рисунок 35Рисунок 55Рисунок 110Рисунок 112Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native