Методика обучения решению математических задач. Стериометрия ( 11 класс)
Методика обучения учащихся решению
математических задач по стериометрии
Этапы работы над задачей:
Анализ условия задачи и схематическая запись зада чи;
Поиск решения задачи;
Оформление решения задачи;
Проверка решения и запись ответа;
Исследование задачи.
Методика работы с вычислительной стереометрической задачей
Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основания которой равна а и угол наклона боковой гра ни к плоскости основания равен 6013 QUOTE 1415.
I этап. Анализ условия задачи и построение чертежа
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Какая геометрическая фи гура рассматривается в задаче?
Пирамида.
О какой пирамиде идет речь?
2. Пирамида правильная четырехугольная.
Как выполняем построение пирамиды?
3.
а) Строим основание;
б) Определяем проекцию вершины пирамиды;
в) Отмечаем вершину;
г) Соединяем ее с верши нами основания, то есть, строим боковые ребра пира миды.
Куда проектируется вер шина данной пирамиды?
4. Вершина данной пирами ды проектируется в центр основания, так как пирамида правильная, центром квадра та является точка пересече ния его диагоналей.
Выполните построение пирамиды.
5.
Что известно о пирамиде? (Какие данные надо нанести на чертеж?)
6. В основании - квадрат со стороной а, боковая грань наклонена к плоскости осно вания под углом 60°.
Какую боковую грань вы бираем?
7.Так как пирамида пра вильная, можно выбрать лю бую боковую грань. Возьмем грань SCD.
Как построить угол накло на этой грани к плоскости основания?
8. Надо построить линейный угол, для этого надо выде лить линию пересечения этой грани с плоскостью основа ния (это ребро CD), выделить главный перпендикуляр (это SO), затем построить или на клонную, или ее проекцию, перпендикулярную линии пе ресечения боковой грани с плоскостью основания.
В данном случае можно по строить наклонную, перпен дикулярную CD, так как ASCD - равнобедренный. Пусть К - середина CD. То гда SK(CD. Соединим точку К с центром основания О. Тогда по теореме о трех пер пендикулярах можно утвер ждать, что OK(CD, значит, (SKO - линейный, по усло вию (SKO = 60°.
Было предложено построение линейного угла, когда строилась наклонная, перпендикулярная линии пересечения плоскостей. Можно ли было иначе строить линейный угол?
9. Можно сначала построить проекцию некоторой наклон ной, перпендикулярную ли нии пересечения плоскостей, для чего провести перпенди куляр из основания высоты пирамиды (точки О) на сто рону CD, этот перпендикуляр строится параллельно AD, так как ABCD - квадрат. За тем полученную точку К соединить с вершиной S.
Схематическая запись задачи
Дано: SABCD - правильная четырехугольная пирамида. АВ=а,
·=60°. Найти: V.
II этап. Поиск способа решения задачи
Деятельность учителя
Деятельность ученика
Что нужно найти в задаче?
1. Объем пирамиды.
По какой формуле нахо дится объем пирамиды?
2. V = 13 QUOTE 1415SOCHH
Что нужно знать, чтобы найти V?
3. Площадь основания и высо ту. Основание - это квадрат, значит нужно найти площадь квадрата со стороной а.
Из какой фигуры можно найти высоту пирамиды?
4. Высоту можно найти из треугольника SOK.
Что известно об этом тре угольнике?
5. Треугольник прямоугольный, (SKO=60°.
Что еще нужно знать, что бы найти высоту?
6. Какой-нибудь линейный эле мент треугольника.
Какой элемент сможем найти?
7. Сможем найти катет ОК.
Чему он равен?
8. Он равен половине стороны квадрата, то есть 13 QUOTE 1415.
Итак, наметим план реше ния.
1) Найдем soch.
2) Вычислим высоту пирами ды SO.
3) Вычислим объем пирами ды.
Оформление поиска способа решения задачи
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
План решения задачи может быть отражен в схеме поиска ее решения:
Шэтап. Оформление решения задачи
Рассмотрим квадрат ABCD: Sосн = а2.
Рассмотрим (SOK., где К - середина CD. (O = 90°, так как SO - высота пирамиды.
AD = а, ОК = 13 QUOTE 1415AD = 13 QUOTE 1415.
SO = OK tg60°=13 QUOTE 1415.
Вычислим объем пирамиды:
13 QUOTE 1415, 13 QUOTE 1415.
IV этап. Проверка решения и запись ответа
Осуществим проверку задачи, решив ее другим способом. Высоту пирамиды можно найти из (SOK по теореме Пифагора.
Если (SKO=60°, то (OSK = 30°, тогда SK = 2 ОК = а.
SO=13 QUOTE 1415.
Вычисления соответствуют первому способу, значит, задача решена верно. Ответ: 13 QUOTE 1415.
У этап. Исследование задачи
Можно ли задачу решить другим способом?
В проверке был показан иной способ вычисления высо ты. Кроме того, высоту пирамиды можно вычислить из (SOD, предварительно вычислив SD из (SDK и OD из квадрата ABCD.
На будущее полезно запомнить, как отмечается угол на клона боковой грани в правильной четырехугольной пирамиде, что поиску способа решения задачи помогают вопросы: «Что нужно знать, чтобы найти...?», «По какой формуле вычисляет ся...?», «Из какой фигуры можно найти...?», что поиск способа решения задачи и план ее решения удобно демонстрировать в граф-схеме.
S
B
A
C
D
O
S
B
A
C
D
O
К
·
V-?
V = 13 QUOTE 1415SOCHH
Sосн=а2
SО - ?
(SОК, (О=90(
ОК = 13 QUOTE 1415
(S КО= 60(
3) V-?
V = 13 QUOTE 1415SOCHH
2) Sосн=а2
2) SО - ?
(SОК, (О=90(
ОК = 13 QUOTE 1415
(S КО= 60(
15