Презентация по алгебре Элементы комбинаторики и теории вероятности

Элементы комбинаторики и теории вероятности Введение Вероятность события количественно характеризует возможность (шанс) осуществления этого события в ходе случайного эксперимента.Вероятностью события А называется отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех элементарных исходов испытания, если все исходы равновозможны (классическое определение вероятности).Формулой это определяется так: Схема решения задач Определить, в чем состоит случайный эксперимент и какие у него элементарные события. Убедиться, что они равновероятны. Найти общее число элементарных событий (N)Определить, какие элементарные события благоприятствуют событию А, и найти их число N(A).Найти вероятность события А по формуле Решение: Случайный эксперимент – бросание жребия.Элементарное событие – участник, который выиграл жребий. Число элементарных событий: N=4 Событие А = {жребий выиграл Петя}, N(A)=1 Ответ: 0,25 Вася, Петя, Коля и Леша бросили жребий – кому начинать игру. Найдите вероятность того, что игру будет начинать Петя. Дежурные по классу Алексей, Иван, Татьяна и Ольга бросают жребий - кому стирать с доски. Найдите вероятность того, что стирать с доски достанется одной из девочек. АлексейИванТатьянаОльга Ответ: 0,5 Какова вероятность того, что случайно выбранное натуральное число от 10 до 19 делится на три? 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 Ответ: 0,3 1 2 О О О Р Р О Р Р Монету бросают дважды. Найдите вероятность того, что выпадет хотя бы один ОРЕЛ. Ответ: 0,75 Перед началом футбольного матча судья бросает монету, чтобы определить, какая из команд начнет игру с мячом. Команда «Физик» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих играх «Физик» выиграет жребий ровно два раза. Ответ: 0,375 I м. О О О О Р Р Р Р II м. О О Р Р О О Р Р III м. О Р О Р О Р О Р О – орел (первый)Р – решка (второй) Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза. Ответ: 0,25 1 2 3 4 О О О О О О О Р О О Р О О О Р Р О Р О О О Р О Р О Р Р О О Р Р Р Р О О О Р О О Р Р О Р О Р О Р Р Р Р О О Р Р О Р Р Р Р О Р Р Р Р Как решить проще? Как видите, в последней задаче пришлось выписывать 16 вариантов. Вы уверены, что сможете выписать их без единой ошибки? Поэтому давайте рассмотрим второй способ решения. Специальная формула вероятности Теорема. Пусть монету бросают n раз. Тогда вероятность того, что орел выпадет ровно k раз, можно найти по формуле:Где Cnk — число сочетаний из n элементов по k, которое считается по формуле:Таким образом, для решения задачи с монетами нужны два числа: число бросков и число орлов. Чаще всего эти числа даны прямо в тексте задачи. Более того, не имеет значения, что именно считать: решки или орлы. Ответ получится один и тот же. 2 способ Решение. По условию задачи, всего бросков было n = 4. Требуемое число орлов: k = 3. Подставляем n и k в формулу: Монету бросают четыре раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно три раза. Ответ: 0,25 Решение. Снова выписываем числа n и k. Поскольку монету бросают 3 раза, n = 3. А поскольку решек быть не должно, k = 0. Осталось подставить числа n и k в формулу:0! = 1 по определению. Поэтому C30 = 1. Монету бросают три раза. Найдите вероятность того, что решка не выпадет ни разу. Ответ: 0,125 Решение. Чтобы орлов было больше, чем решек, они должны выпасть либо 3 раза, либо 4. Найдем вероятность каждого из этих событий.Пусть p1 — вероятность того, что орел выпадет 3 раза. Тогда n = 4, k = 3. Имеем:Пусть p2 — вероятность того, что орел выпадет все 4 раза. В этом случае n = 4, k = 4. Имеем:Имеем: p = p1 + p2 = 0,25 + 0,0675 = 0,3175 В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что орел выпадет больше раз, чем решка. Ответ:0,3175 Решение: Случайный эксперимент – бросание кубика.Элементарное событие – число на выпавшей грани. Ответ:0,33 Всего граней: 1, 2, 3, 4, 5, 6 Элементарные события: N=6 N(A)=2 Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, большее чем 4. Результат округлите до сотых. В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет число, меньшее чем 4. Ответ: 0,5 1, 2, 3, 4, 5, 6 В случайном эксперименте игральный кубик бросают один раз. Найдите вероятность того, что выпадет четное число. Ответ: 0,5 1, 2, 3, 4, 5, 6 В чемпионате по гимнастике участвуют 20 спортсменок: 8 из России, 7 из США , остальные из Китая. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Китая. Решение: Определите N: N = 20 Ответ: 0,25 A= {первой будет спортсменка из Китая} N(A)= 20 – 8 – 7 = 5 2)Определите N(A): Решение: N = 25 A= {шестым будет прыгун из Парагвая} N(A)= 9 Ответ: 0,36 На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 8 прыгунов из России и 9 прыгунов из Парагвая. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что шестым будет выступать прыгун из Парагвая. Решение: Всего спортсменов: N= 4 + 7 + 9 + 5 = 25 A= {последний из Швеции} N=25 N(А)=9 Ответ: 0,36 В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 – из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции. Замечание Последние три задачи, по сути, абсолютно одинаковы, но с первого взгляда их вопросы кажутся разными. Зачем? Чтобы запутать школьника? Нет, у составителей другая задача: на экзамене должно быть много разных вариантов одинаковой степени трудности. Итак, не надо пугаться "каверзного вопроса", надо рассматривать ситуацию, которая описывается в задаче, со всех сторон. В сборнике билетов по биологии всего 55 билетов, в 11 из них встречается вопрос по ботанике. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по ботанике. Решение: N= 55 A= {достанется вопрос по ботанике} N(A)= 11 Ответ: 0,2 В сборнике билетов по математике всего 25 билетов, в 10 из них встречается вопрос по неравенствам. Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику не достанется вопроса по неравенствам. Решение: N= 25 A= {не достанется вопрос по неравенствам} N(A)= 25 – 10 = 15 Ответ: 0,2 Решение: N= 1000 A= {аккумулятор исправен} N(A)= 1000 – 6 = 994 Ответ: 0,994 В среднем из 1000 аккумуляторов, поступивших в продажу, 6 неисправны. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор окажется исправным. Решение: Всего сумок: N= 100 + 8 = 108 A= {качественная сумка} N=108 N(А)=100 Ответ: 0,93 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 100 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Замечание Сравните эту и предыдущую задачи. Как важно внимательно относиться к каждому слову в условии! Конкурс исполнителей проводится в 5 дней. Всего заявлено 80 выступлений - по одному от каждой страны. В первый день 8 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса? Ответ: 0,225 Всего N = 80 выступлений В первый день 8 выступлений, в оставшиеся 5 - 1 = 4 дня по (80 - 8): 4 = 18 выступлений. В третий день состоится 18 выступлений - это благоприятствующие для россиянина события, Решение: N(А)=18 N=80 Решение: Всего N = 75 докладов В первые три дня по 17 докладов: 17 ∙ 3 = 51, в оставшиеся 5 - 3 = 2 дня по (75 - 51) : 2 = 12 докладов. N=75 N(А)=12 В последний день - 12 докладов - это благоприятствующие для профессора М. события, Ответ: 0,16 Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов — первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвертым и пятым днями. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции? Решение: Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? РешениеСобытие A - "Руслан Орлов будет играть с бадминтонистом из России".Соревнования по бадминтону, обычно, проводятся с выбыванием, и только в первом туре участвуют все 26 бадминтонистов. Но число всех возможных исходов не равно 26, N = 26 - 1 = 25, потому что Руслан Орлов не может играть с самим собой. По той же причине N(A) = 10 - 1 = 9, ведь Руслан Орлов входит в число 10 участников из России. Ответ: 0,36 Задача В10 про монеты В кармане у Пети было 2 монеты по 5 рублей и 4 монеты по 10 рублей. Петя, не глядя, переложил какие-то 3 монеты в другой карман. Найдите вероятность того, что пятирублевые монеты лежат теперь в разных карманах. Что делать Кодируем монеты числами: 1, 2 (это пятирублёвые), 3, 4, 5, 6 (это десятирублёвые). Условие задачи можно теперь сформулировать так: Есть шесть фишек с номерами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить их по двум карманам поровну, так чтобы фишки с номерами 1 и 2 не оказались вместе?