Определение векторов и операций над ними (для учеников старших классов с углубленным изучением математики)

Обозначается: Направленный отрезок, на которомзаданы начало, конец и направление, называется вектором. Обозначается: Длиной или модулем вектора называетсярасстояние между его началом и концом. Векторы, лежащие на одной прямой илина параллельных прямых, называются коллинеарными. Если начало и конец вектора совпадают,то вектор называется нулевым. В любой системе отсчета вектор характеризуется своими координатами.Пусть в системе отсчета XYZ заданы координаты начала и конца вектора: Тогда координаты вектора будут: Где: Или: Длина вектора определяется по формуле: Пусть два вектора заданы своими координатами: Если эти вектора коллинеарны, то их соответствующие координаты должны быть пропорциональны: Суммой двух векторов будет вектор, координаты которого равны суммам соответствующих координат исходныхвекторов. Для построения суммы векторов, нужно совместить конец первого вектора с началом второго. Тогда вектор их суммы будет направлен от начала первого вектора к концу второго: Аналогично определяется сумма нескольких векторов. Данный метод носит название метод треугольника Разностью двух векторов называется сумма векторов В параллелограмме, построенном на двух векторах, одна диагональ представляет собой сумму этих векторов, а другая – разность: Произведением вектора на число будет вектор, координаты которого равны произведению соответствующих координат исходного вектора на эточисло. Геометрически смысл умножения вектора на число заключается в увеличении его длины в λ раз, если lλl>1, и в ее сокращении во столько же раз при lλl<1. 1 2 3 4 5 Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними. Если два вектора заданы своими координатами: То скалярное произведение выразится следующим образом: Отсюда можно выразить угол между двумя векторами: Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение должно быть равно нулю: