Презентация по математике. Возрастание , убывание функции.

Открытый урок по алгебре и началам анализа в 11 классе.
Тема: Обобщение и систематизация знаний по теме: «Свойства тригонометрических функций».
Учитель: Щербинина О.В., учитель высшей категории, «Заслуженный учитель РСО-Алания».
Цели:
Обобщить и систематизировать знания по теме «Свойства тригонометрических функций».
Научить находить множество значений некоторых тригонометрических функцийвида у= cos4x + sin4x и y=acosx±bsinx .
Продолжить работу по подготовке к ЕГЭ.
Продолжить работу по привитию интереса к предмету.
План
Мотивация.
Фронтальный опрос.
Решение задач на нахождение наименьшего и наибольшего значения функций.
Индивидуальные задания на построение графиков с помощью компьютера.
Решение задач на нахождение множества значений функции.
Самостоятельная работа.
Решение заданий С1.Подведение итога урока.
Ход урока.
Мотивация: сообщение целей и плана работы.
Фронтальный опрос:
Какова область определения и множество значений функций:
y=sinx, y=arcsinx,
у=cosx, y=arcosx,
у=tgx, y=arctgx,
у=ctgx, y=arcctgx.
Найти наименьшее и наибольшее значение функций:
y=2sin2x, (Отв: 0 и 2).
y=cos2x-1, (Отв: -1 и 0).
y=3sinx+1, (Отв: -2 и 4).
у=sin2x-cos2x, (Отв: -1 и 1).
y=12sin22x, (Отв: 0 и).
y=-12sin22x (Отв: -12 и 0)
Каков наименьший положительный период функций
y=2sin2x, (Отв: π).
y= -cosx2, (Отв: 4π).
y=12tg3x, (Отв: π /3).
Решение задач.
1)Найти наименьшее инаибольшее значение функций:
а)y=sin4x+ cos4x;
б) y=sin6x+cos6x;
в) y=sin6x+cos6xsin4x+cos4x;
г)y=sin4x+cos4xsin6x+cos6x - самостоятельная работа №1.
2) sin6x+cos6x=а, найти все значения а, при которых данное уравнение имеет корни. Решить уравнение.
1)Найти наибольшее и наименьшее значение функций:
Показать решение примера. /учитель/
а) y=sin4x+cos4x.
Преобразуем правую часть:
(sin2x+cos2x)2-2sin2x∙cos2x=1-12sin22x;
0≤sin22x≤1 /∙-12,
-12≤-12sin22x≤0 /+1,
12≤1-12sin22x≤1.
Ответ: наименьшее значение 12; наибольшее значение 1.
б) Решить: /у доски – ученик/
y=sin6x+cos6x.
Преобразуем правую часть:
(sin2x)3+cos2x3=sin2x+cos2x∙sin4x-sin2x∙cos2x+cos4x=1-34sin22x. 0≤sin22x≤1 /∙-34,
-34≤-34sin22x≤0 /+1,
14≤1-34sin22x≤1. Ответ: наименьшее значение 14; наибольшее значение 1.
в) Найти Е(у), если y=sin6x+cos6xsin4x+cos4x /ученик/
I способ
y=sin6x+cos6xsin4x+cos4x=1-34sin22x1-12sin22x=1-34t1-12=(4-3t)∙24∙(2-t)=4-3t2∙(2-t)=6-2-3t2∙(2-t)=3∙2-t-22∙(2-t)=3∙(2-t)2∙(2-t)-22∙2-t=32-12-t=32+1t-2.Еслиt=0, то y=1;
еслиt=1, тоy= 1 2.
Ответ: [12;1]II способ
y=sin6x+cos6xsin4x+cos4x=1-34sin22x1-12sin22x=1-34t1-12=(4-3t)∙24∙(2-t)=4-3t2∙(2-t)=4-3t4-2t.
Если t=sin22x, где 0≤t≤1, то подставив вместо t значенияt=0 и t=1 получим:
y(0)=1, y(1)= 12.
Ответ: наименьшее значение 12, наибольшее 1.
г)y=sin4x+cos4xsin6x+cos6x - /самостоятельно/
Решение:
y=sin4x+cos4xsin6x+cos6x=4-2t4-3t, где t=sin22x, 0≤t≤1, то подставив вместо t значенияt=0 и t=1 получим:
y(0)=1, y(1)= 2.
Ответ: [1;2]
2) sin6x+cos6x=а, найти все значения а, при которых данное уравнение имеет корни. Решить уравнение. /ученик/
sin6x+cos6x=1-34sin22x=1-341-cos4x2=1-3-3cos4x8=8-3+cos4x8=18(5+3cos4x).
Пусть 1 85+3cos4x=а, тогда
8a=5+3cos4x,
3cos4x=8a-5,
cos4x=8a-53, так как -1 ≤ cos 4x ≤ 1, то
-1≤8a-53≤1 /∙3,
-3≤8a-5≤3 /+5,
2≤8a≤8 /:8,
14≤a≤1.
Решим уравнение:
cos4x=8a-53.
4x=±arccos8a+53+2πn ;x=±14arccos8a-53+πn2, nϵZ;
Ответ: ±14arccos8a-53+πn2, nϵZИзобразить график функции с помощью компьютера:
а)y=-2sinx+π3-1; /ученик/
б)y=3 cos⁡(2x-π3); /ученик/
Описать алгоритм построения.
№ 397 (из учебника, автор Алимов Ш.А.)
Найти наименьшее инаибольшее значение функции
y=3cos2x-4sin2x. /ученик/
Пусть 3cos2x – 4 sin2x=a.
Разделим обе части на 5, так как 32+42=5,34cos2x-45sin2x=a5;
Пусть 34=cos2x, 45=sin2x /342+452=1/;cos2x+α=a5,
-1≤a5≤1,
-5≤а≤5.
Ответ: [-5;5].
Самостоятельная работа №2.
Вариант 1
у=sinx – 5cosx.
sinx-5cosx=0 /: √26,
126sinx-526cosx=a26,
-1≤sinα+x≤1,-1≤a26≤1 / ∙ 26,
-26≤a≤26.
Ответ: [-26 ; 26]Вариант 2
у=2sin3x+cos3x.
2sin3x+cos3x=a, так как 22+1=5, разделим обе части на 5, получим:
25sin 3x+15cos3x=a5,
cos(3x-α)=a5,
-1≤a5≤1,
-5≤a≤5.
Ответ: [-5; 5]Вариант 3
Составить функцию вида y= a cos x ± b sin x и найти ее наименьшее и наибольшее значение.
Решение заданий ЕГЭ.
Решить уравнения:
12sin2х+4cosх-72-3sinx=0. /решает ученик/
Ответ: -23π+2πn, nϵZ.±arccos56+2πn, nϵZ.2cos2x-2cosx+2-1cos2x-sin2x=0. /решает ученик/
Ответ: ±arccos1-22+2πn, nϵZ.
4 cos2x-3log5(-tgx)=0. /решает ученик/
Ответ: 5π6+πk, kϵZ.
Подвести итог урока.
Домашнее задание: №699, 774, 769,
Найти Е(у), если y=sin8x+cos8x