Презентация по математике на тему Возрастание, убывание функции

МатематикаХорошайло Галина Васильевна - преподаватель математики и ИКТ, высшей категории Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования(ССУЗ)Каслинского промышленно-гуманитарного техникума «… знания можно предложить, но овладеть ими может и должен каждый самостоятельно»А. Дистервег Ход урока Организационный моментРефлексия: 
2. Подготовка к изучению нового материала ВопросыЧто называют функцией?Как называется переменная Х?Как называется переменная Y?Что называется областью определения функции?Что называется множеством значения функции?Какая функция называется возрастающей?Какая функция называется убывающей? .Применение производных к исследованию функции.УРОК №1-2Возрастание и убывание функции3. ФГОСТ: Знать: признаки возрастания и убывания функции Уметь: исследовать функцию на монотонность
«Производная, Ваше Величество…» Ах, госпожа производная, Вы к нам на помощь пришли! Вы честная и благородная, Для функций свой штрих принесли.Функции дифференцируя, Получше мы их узнаем. Особые точки и линии По алгоритмам найдем.К нулю приравняй производную И знаки все верно расставь. Где «плюс», там, конечно, положено Функции той возрастать.Где знак производной меняется, В тех точках экстремумы есть. Легко они определяются, Вас благодарим, Ваша честь!А функций узнать чтобы выпуклость, Производную дважды считай. Спасибо вам, Ваше Величество, Что вы добрались и сюда!О. Панишева 4. Изложение новой темы
Монотонность функцииПусть значение производной функции y= f’(x) положительны, т.е. f’(x0)>0 на промежутке (а, в)=У. Тогда R=f’(x0)= tq α > 0, а это значит, что касательная L к графику функции направлена вверх и поэтому график функций на этом промежутке «поднимается», т.е. функция f(x) возрастает.YXOУ=F(X) Значение f’(x0)<0 на промежутке √(a, b)=Y. Тогда R=f’(x0)=tgα <0, а это значит что касательная L к графику функции направлена вниз и поэтому график функции на этом промежутке «опускается», т.е функция f(x) убывает.И наоборот,αLab XYY=f (x) И так получили: f '‘+fY=f (x)OX YЕсли f’(x0)>0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.Схема: Графическое изображение: f 1 --fY=f (x)OX YЕсли f’(x)<0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.Графическое изображение:Схема: Эти два утверждения называются - достаточными признаками возрастания и убывания функции.Промежутки возрастания и убывания функции называются - промежутками монотонности функции. 5. Первичное осмысление и применение изученного
Пример №1.Найти промежутки монотонности функции f (x)= x3-3x.Решение: 1. Найти область определения f (x): D (∞)=(-∞; ∞), т.к. это многочлен.2. Найдите производную функции: f’ (x)=(x3-3x)’= (x3)’-3(x)’= 3x2-3= 3(x2-1)= 3(x-1)(x+1)3. Определить монотонность функции. Для этого решим неравенства: А) f’(x) >0 и б) f’(x)<0 Или 3(x-1)(x+1)>0 3(x-1)(x+1)<0Решим это неравенство методом интервалов: 3(x-1)(x+1)=0Откуда: x-1=0 или x+1=0 x=1 или x = -1f1++---X1-1f
F’(x) = 3(x-1)(x+1) f’ (0) = 3(0-1)(0+1)<0Таким образом, получили: F’(x) на (- ∞;-1] [1; ∞) и F’(x) на [-1;1]Схематически это выглядит так:XY -1 0 1Y=X 3 - 3X Пример № 2.Найти промежутки возрастания функции y =17x-5.Решение:Область определения: D (y) = (- ∞; ∞), т.к это линейная функция.Производная функция: y’=(17x-5)’ = 17(x)’ – 5’ = 17Промежутки монотонности: y’=17>0, то функция y на (- ∞; ∞) или y постоянно.Схема:Графическое изображение схемы:X+Y=17x-5YXO
Пример № 3.По графику определить:а)промежутки возрастания,б) промежутки убывания.Решение:а)на (- ∞;-3] и [-0,5;3] функция y=f (x) возрастает.б)на [-3;-0,5] и [3;4,5] функция y=f (x) убывает.Y=f (x)-3 0 1 3 4,5XY
Пример №4По графику определить:а) промежутки, где производная f’ (x) >0б) промежутки, где производная f’ (x) <0Y-4 0 1 XРешение:а) f’ (x) >0, если f (x) , следовательно, это промежуток [-2;1].б) f’ (x) <0, если f (x) , следовательно, это промежутки [-4;-2] и [1;5).
Запомни:Алгоритм нахождения промежутков монотонности;Область определения функцииПроизводная функцииМонотонность функции, т.е решим неравенства: а) f’ (x) >0 и б) f’ (x) <0Ответ.Признаки и схемы монотонности:1. f (x) ,если f’ (x) >02. f (x) ,если f’ (x) <0X+X---
В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716).Историческая справка И.НьютонГ.Лейбниц Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу. Эйлер Л.О. КошиЛагранж Межпредметная связь: Самостоятельная работа (уровневая),групповаяГрупповая работа( в парах):ЗаданияДля студентов 1 уровня: № 554 из учебного пособия Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11, Москва, «Просвещение»,1994Для студентов 2 уровня: 1 группе - Варианты 10(5), 26(5) 2 группе - Варианты 16(4), 43(5) 3 группе – 18(5), 87(5) из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва Для студентов 3 уровня: 1 группе - 4.185, 4.187 2 группе – 4.188, 4.192 из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва Критерии оценки выполнения самостоятельной работы.90-100% верно выполненных заданий - оценка «отлично»80-90% верно выполненных заданий - оценка «хорошо»70-80% верно выполненных заданий - оценка «удовлетворительно»Менее 70% верно выполненных заданий - оценка «неудовлетворительно» Уровни заданий1 уровень2 уровень3уровень1а)y↓ на (-∞;1/2)y↑на(1/2; ∞)1группа: 1) y↑на(- ∞;-2)ᴜ(3;∞)y↑на(-∞;-1 1/3)ᴜ(2;∞)1группа: 1) y↑на(-√2;0)ᴜ(√2;∞)y↓на(-∞;-√2)ᴜ(0; √2)2) y↑на(-∞;+∞)2.б) y↑на(0,3; ∞)y↓ на(-∞; 0,3)2группа:1) y↑на (-∞;0)ᴜ(1;+∞)2) y↓ на(-∞;+∞)2группа: 1) ) y↑на (-∞;-1)ᴜ(1;∞)y↓на (-1;0)ᴜ(0;1)2)3.в) y↑на(-1; ∞)y↓ на(-∞; -1)группа:1) y↓ на(-4;1)ᴜ(1;+∞)2) y↓ на (-1;7)4.г) y↑на(-6; ∞)y↓ на(-∞; -6)Ответы к решению заданий самостоятельной работы 6.Подведение итогов урока Рефлексия на конец урока.  Домашнее задание: для студентов 1 и 2 уровня - № 555 из учебного пособия Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11, Москва, «Просвещение»,1994Для студентов 3 уровня: Вариант 78(5) из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва, приготовить примеры (графики) возрастающих и убывающих функций Спасибо за урок !Решать, работать можно вечно.Вселенная ведь бесконечна.Спасибо всем нам за урок,А главное, чтоб был он впрок!Мне очень понравилось с вами работать