Презентация по теме «Квадратичная функция и функция, содержащая переменную под знаком модуля»

Функции и их графики Квадратичная функция и функция, содержащая переменную под знаком модуля Содержание Понятие «функция».Квадратичная функция. Свойства квадратичной функции.Примеры.Рисунки .Функции, содержащие переменную под знаком модуля. Свойства функции y=|x|.Функции вида y=|f(x)|.Функции вида y=f(|x|).Функции, частично содержащие знак модуля.Задачи Определение Функцией называется соответствие между множествами X и Y, при котором каждому элементу множества X соответствует единственный элемент множества Y, причем y=f(x).Переменная х - независимая переменная или аргумент. Переменная у - зависимая переменная или функция.Все значения независимой переменной образуют область определения функции. Их обозначают буквой D(f) или D(y) .Все значения, которые принимает зависимая переменная, образуют область значений функции. Их обозначают буквой E (f) или E(y).Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты — соответствующим значениям функции.Функции бывают четные и нечетные. График четной функции симметричен относительно оси ординат. График нечетной функции симметричен относительно начала координат Квадратичная функция Функция вида y=ax2+bx+c, где a, b и c – числа, причем a≠0, называется квадратичной. Область определения этой функции - множество R действительных чисел.График квадратичной функции - парабола.Ветви параболы направлены вверх при а>0 и вниз при а<0.Функция y=x2 – непрерывная, четная.Координаты вершины параболы: (m;n), m=-b/2a, n=-D/4a . Прямая x=m является осью симметрии графика квадратичной функции. Любая квадратичная функция представима в виде f(x)=a(x-m)І+nГрафик этой функции вы видите на рисунке. Свойства функции у = х2. 1.  Если х = 0, то у = 0, т.е. парабола имеет с осями координат общую точку (0; 0) - начало координат. 2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки параболы, кроме начала координат, лежат над осью абсцисс. 3. Множеством  значений  функции у = х2 является промежуток [0; + ∞). 4. Если значения аргумента отличаются только знаком, то значения функции равны, т.е. парабола симметрична относительно оси ординат (функция у = х2 - четная). 5. На промежутке [0; + ∞) функция у = х2 возрастает. 6. На промежутке (-∞; 0] функция у = х2 убывает. 7. Наименьшее значение функция принимает в точке х = 0, оно равно 0. Наибольшего значения не существует. Примеры y=ax2+bx+c D – дискриминант (от латинского discriminare – различать) D=bІ-4acЕсли a>0(ветви параболы направлены вверх) и: D>0(уравнение имеет 2 различных решения) D=0 (уравнение имеет 2 одинаковых решения) D<0 (уравнение не имеет решений) Если a<0(ветви параболы направлены вниз) и:D>0 (уравнение имеет 2 различных решения) D=0 (уравнение имеет 2 одинаковых решения) D<0 (уравнение не имеет решений) Рисунки С помощью квадратичной функции можно даже создавать рисунки. Например, нарисовать вот такого лягушонка совсем не сложно, нужно лишь построить 15 графиков и выбрать для них определенный интервал. А вот еще некоторые работы учеников: Функции, содержащие переменную под знаком модуля Определение модуля величины x: x при x≥0 |x|= -x при x<0Область определения этой функции - множество R  действительных чисел.Существуют функции содержащие модуль вида:1.y=|f(x)|2.y=f(|x|)3.функции, частично содержащие модуль. Свойства функции y=|x| 1. Если х = 0, то у = 0, график пересекает оси координат в точке (0; 0) - начале координат.2. Если х ≠ 0, то у > 0, т.е. все точки графика   функции  лежат над осью абсцисс.3.Множеством значений функции y = |x|  является промежуток [0;+∞).4. График функции симметричен относительно ординат (функция y = |x| - четная).5.На промежутке [0;+∞) функция y = |x|  возрастает.6.На промежутке (-∞;0] функция y = |x|  убывает.7. Наименьшее значение функция прини-мает в точке х, оно равно 0. Наибольшего значения не существует. Функции вида y=|f(x)| Для построения графика функции y=|f(x)| нужно сначала построить график функции f(x), а затем ту часть графика, которая расположена в нижней полуплоскости, отобразить симметрично относительно оси абсцисс в верхнюю полуплоскость. Полученная в верхней полуплоскости кривая и будет графиком функции y=|f(x)| Функции вида y=f(|x|) Для построения графика функции y=f(|x|) нужно сначала построить график функции y=f(x), затем оставить ту часть графика, которая соответствует неотрицательной части области определения функции y=f(x).Отразив эту часть графика симметрично относительно оси y, получим график функции y=f(|x|). Функции, частично содержащие знак модуля. Выражение для функции может включать в себя аргумент одновременно со знаком модуля и без него. Прежде чем построить графики таких функций, необходимо предварительно раскрыть знак модуля и выполнить построение на отдельных интервалах.y=|x|+2x y=|x3|+2x 3x при х ≥0 x3+2x при х ≥0 y= y= х при х<0 -х3+2x при х<0 получаем график y=|x|+2x получаем график y=|x3|+2x Задачи прошедших веков, связанные с понятием функции Пусть по оси абсцисс бежит собака, а ее хозяин (первоначально находившийся на оси ординат) бежит за ней так, что поводок все время натянут. В этом случае поводок будет направлен по касательной к пути хозяина. Требуется найти, по какой линии бежит хозяин собаки. Задача Лейбница о трактрисе (собачьей кривой) Решение: эту кривую называют трактрисой. Через полтора столетия после ее открытия она сыграла роль в утверждении неевклидовой геометрии Лобачевского: если повернуть трактрису вокруг оси абсцисс, то на полученной поверхности вращения будет выполняться геометрия Лобачевского. Пушки и ученые Траекторией снарядов интересовались многие ученые. Особенный интерес возник с момента изобретения пороха (в XIII веке). Ни одна тогдашняя крепость не могла долго выдержать артиллерийский огнь. Лишь позже догадались применять навесный огонь, позволяющий стрелять из-за укрытия. Чтобы обеспечить прицельность навесного огня, нужно было изучить движение тела, брошенного под углом к горизонту. Ученые доказали, что тело движется по параболе.Если при заданной начальной скорости снаряда менять угол , то получится бесконечное множество парабол. Все параболы, для которых 45° ≤ а ≤ 90°, касаются одной и той же линии, имеющей уравнение y= 1/2(gVІ −V І g x І). Её называют параболой безопасности. Если точка N находится вне ограниченной ею области, то при начальной скорости V снаряд не попадёт в N ни при каком угле наклона. Оптические свойства параболических зеркал По дошедшей до нас легенде Архимед построил вогнутые зеркала и с их помощью сжег римские корабли. Большинство ученых отвергают эту легенду. Но если даже история о сожжении кораблей легендарна, то все-таки сжечь римский флот при помощи параболических зеркал возможно.Результаты, полученные Архимедом, были основаны на следующем утверждении: любая прямая, параллельная оси симметрии параболы, после отражения от параболы проходит через ее фокус. Это же свойство параболы можно сформулировать и так: касательная к любой точке параболы делит пополам угол между прямой, соединяющей точку касания с фокусом, и перпендикуляром, опущенным из этой точки на директрису.Для того чтобы построить зеркало, собирающее солнечные лучи в одной точке, нужно отшлифовать его по параболоиду вращения – поверхности, получаемой при вращении параболы вокруг ее оси. Если направить такое параболическое зеркало на Солнце, то все отраженные лучи пройдут через фокус параболы, и температура в нем окажется настолько большой, что с помощью солнечных лучей можно будет вскипятить воду, расплавить свинец и т.д. Отсюда происходит и само название «фокус», означающее по-латыни «очаг». Решение уравнений под знаком модуля |f(x)|=b если b<0, решений нет, если b=0, f(x)=0, если b>0, |f(x)|  f(x)=b f(x)=-b f(x)=g(x)|f(x)|=|g(x)|  f(x)=-g(x) f(x)=g(x)|f(x)|=g(x)  g(x)=0 f(x)=-g(x) g(x)=0 Решение неравенств Пусть b – некоторое число.При b≤0 1)|f(x)|b – x (-∞; +∞) f(x)-b f(x)>b 2) |f(x)|>b  f(x)<-b |f(x)|-g(x) |f(x)|>g(x)  f(x)>g(x) f(x) <-g(x) |f(x)|<|g(x)|  fІ(x)|g(x)|  fІ(x)>gІ(x)Примеры: Тест 1. Область определения квадратичной функции: а)R б)N в)D2. Функция y=|x| является: а )нечетной б)четной в)не является ни четной, ни нечетной3. На промежутке (0, + ∞) функция y=x2 : а) возрастает б)убывает в) сохраняет постоянное значение4. Функция y=-|x| принимает наибольшее значение: а) в точке (5;5) б) такого значения не существует в) в вершине 5. Как по другому называют собачью прямую?: а) нарциссой б) тракцисой в)абциссой Задачи на построение. Построить график функции y=x(|x|-4) x+2, x<2Построить график фунции y= x2-4, -2≤x ≤ 2 -x+2, x>2Построить график функции y=|x/(x-1)| Задачи с неравенствами и уравнениями. Решите совокупность неравенств: xІ-3x+2≥0 |2x-3|<1Найдите корни уравнения: ||x+6|-6|=6 Решение №1 Сначала раскроем переменную под знаком модуля. x2-4x при x≥0 y= -x2-4x при х≤0 Получаем график y=x(|x|-4) Решение №2 Это график кусочной функции, поэтому построим каждый график отдельно.y= x+2 на промежутке [-∞;2]y= x2-4 на промежутке [ -2;2 ]y=-x+2 на промежутке [2;-∞] Получаем график кусочной функции. Решение №3 Сначала раскроем модуль. Так как все выражение под модулем, то график будет находиться над осью ох. x/(x-1) при х ≥0 y= -(x/(x-1)) при х≤0Получаем график y=|x/(x-1)| Решение №1 Решим первое неравенство xІ-3x+2≥0пусть f(x)= xІ-3x+2 тогда нули функции: xІ-3x+2=0 D= 9-8=1 x=(3-1)/2=1 x=(3+1)/2=2 1≤x ≤2 Решим второе неравенство |2x-3|<1 :равносильно системе: 2x-3<1 x<2 2x-3>-1 x>1Найдем решение совокупности: x=R Ответ: R Решение №2 Раскроем внешний модуль. Это уравнение равно совокупности (т.к b>0): |x+6|-6=6 (I) |x+6|-6=-6 (II) I) |x+6|=12 равносильно совокупности (т.к b>0): x+6=12 x=6 x+6=-12 x=-18 II)|x+6|=0 равно выражению (т.к.b=0): x+6=0 x=-6Найдем решение совокупности: x=6, x=-18, x=-6Ответ: x=6, x=-18, x=-6 Источники информации: Алгебра 9 класс. Авторы: Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.Сборник задач по алгебре. Авторы: Галицкий М.Л., Гольдман А.М, Звавич Л.И.Графики функций. Авторы: Дороднов А.М., Остерцов И.Н., Петросов В.А.http://info.territory.ru/univer/qvadro_func.htm