Теоремы о границах корней квадратного уравнения и их применение в заданиях с параметрами

Теоремы о границах корней квадратного уравнения и их применение в заданиях с параметрами
В специальных сборниках задач, а также в вариантах выпускных и вступительных экзаменов все чаще стали встречаться задачи с параметрами, связанные с границами корней квадратного уравнения.
По данному вопросу имеется различная информация в источниках, предназначенных, в основном, для подготовки к вступительным экзаменам. Но в новейших источниках, как правило, преобладает слишком громоздкая геометрическая интерпретация рассуждений. Конечно, в этих источниках с большой наглядностью перебираются все варианты ситуаций ,по которым составляются нужные системы неравенств. Но во многих случаях сложно продумать необходимое и достаточное количество этих неравенств.
Порой бывает трудно быть уверенным в рациональности подобных условий. А решающий к тому же бывает ограниченным во времени.
Конечно, наиболее эффективным условием является знание трех теорем, которые можно найти в более ранних источниках, например, у П.С. Моденова в книге "Сборник задач по специальному курсу элементарной математики", в книге С.И Новосепова "Специальный курс элементарной математики"(Изд-во "Советская наука", 1956г)
Замечание. При формулировке теорем будем считать, что квадратное уравнение имеет корни, то есть D>0
23526757620Теорема 1.
Для того, чтобы корни X₁ и X₂ квадратного уравнения ax2+bx+c=0 удовлетворяет условию λ< X₁< X₂ , необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств
Теорема 2.
Для того, чтобы корни X₁ и X₂ квадратного уравнения ax2+bx+c=0 удовлетворяли условию X₁< λ < X₂, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие
aa λ 2+bx+c<0Теорема 3
1543050525780Для того, чтобы корни X₁ и X₂ квадратного уравнения ax2+bx+c=0 удовлетворяли условию X₁< X₂ < λ, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система неравенств
Рассмотрим доказательство необходимости признака для первой теоремы
1885950139065Дано:
D>0
λ< X₁< X₂
Доказать:
Доказательство:
Так как λ< X₁< X₂, то имеем:
0<a2λ- x1λ-x2 =a*aλ- x1λ-x2 =a(aλ2+bx+c)
2)С другой стороны, так как (λ< X₁< X₂)→(x1+x2>2 λ)→ -ba>2λ→-ab>2a2λ→→2a2λ+ab<0→a2aλ-b<0 Ч.Т.Д
Доказательство необходимости признаков в остальных теоремах аналогично проведенному, а достаточность признаков доказывается методом от противного.
Доказательство достаточности признаков можно предложить самим учащимся
619125220980Рассмотрим примерное доказательство достаточных признаков теоремы 3.
Дано:
Доказать: X₁< X₂ < λ
283845029210Доказательство: Пусть дано, что условия:
Выполняются для квадратного уравнения ax2+bx+c=0 для λ
Допустим, что при этом корни удовлетворяют либо условию λ< X₁< X₂,, либо условию X₁< λ < X₂,. Но тогда в первом случае необходимо получить условия .Но тогда в первом случае необходимо получить условия:
1722579190638А во втором- aa λ 2+bλ+c<0В обоих случаях получим противоречия данным условиям, а это говорит о неверности и первого и второго допущений. Остается, что единственно верно условие: X₁< X₂ < λ
Для случая, когда λ=0, формулировки этих теорем вкратце выглядят так:
Если обозначить левую часть уравнения ax2+bx+c=0 через f ′(λ) , то есть рассмотреть как функцию , то очевидно, что выполняются равенства:
a λ 2+bλ+c= f (λ)2aλ +b=f '(λ) Этот результат позволяет к концу десятого класса рассмотреть доказательство данных теории по другому.
А именно становится явным геометрическое обоснование доказательство теории 1 - 3.
Пусть а>0, а квадратное уравнение ax2+bx+c=0 имеет два корня x1 и x2.
7620005422901736090751840Тогда парабола f(x)= ax2+bx+c пересекает ось Оx в точках с абсциссами x1 и x2. Ясно, что в таком случае в точке x= λ , гд λ<x1<x2е λ<x1<x2, выполняются условия f (λ) и f '(λ)<0, то есть имеем
Это наглядно видно из рисунка.

А так как a>0, то эти два неравенства дают следующие необходимые условия теоремы 1:
-11430067310
Достаточность признака (1) также становится понятной из рисунка. Так как f'λ<0, то λ<-b2a . Но так как при этом f (λ)<0, то λ<x1, и мы получаем, что
λ<x1<x2. Что и требовалось доказать.
Доказательство теории 2 и 3 можно интерпритировать на подобных рисунках.
Для случая a<0 можно рассмотреть геометрическую интерпретацию доказательства, например, теоремы 3.

1990725-1066800Из рисунка видно x1<x2<λ. К тому же видно, что f (λ)<0, это есть f (λ)= a λ 2+bλ+c= 0, и f' λ=2aλ +b<0.
А так как а<0, то получается необходимый признак x1<x2<λ в виде системы
Признак (2) также достаточен для условия x1<x2<λ.
Действительно, так как а<0, то из второго неравенства системы (2) имеем, что f '(λ)<0, значит, λ>-b2a.
А так как f (λ)<0, то λ<x2, то есть верно неравенство x1<x2<λ. Что и доказывает достаточность признака выражаемого системой неравенств (2).
Рассмотрим по степени усложнения группы упражнений, решаемых с помощью доказанных теорем.
А. найти все значения параметра а, при которых корни следующих уравнений действительны, и определить знаки корней.
1. x2-2a-1x+2a+1=02. (a-3)x2- 23a-4x+7a-6=03. 3ax2- 23a-2x+3a-1=04. a-xx2- 2ax+2a-3=0Б. 1. Найти все значения а, при которых корни уравнения (a+1)x2- 3ax+4a=0 действительны и каждый из корней больше 1.
2. Найти все значения а, при которых корни уравнения (a-2)x2- 2(a+3)+4a=0 были бы меньше 2.
В. 1. Найти все действительные значения а, при которых оба корня уравнения (2a+2)x2+a+1x+4=0 заключены между 0 и -2.
2. Для каких действительных значений а уравнение (a-2)x2- 2(a+3)+4a=0 имеет корень, больший 3, а другой меньше 2?
Вариант В усложнен тем, что сразу нужно применять две из рассмотренных теорем или одну и ту же теорему два раза.
Г. При каких значениях а не имеют корней уравнения:
а) sin2x+(a+2)sinx+3a+1=0б) cosx- (a-2)sinx+4a+1=0 ?Группа г усложнена введение функции вместо переменной x и неявностью условия применяемости приведенных теорем.
Рассмотрим решение некоторых заданий из приведенных групп.
1. Найти все значения параметра а, при которых корни уравнения
(a-3)x2- 3a-4x+7a-6=0 действительны и определите знаки корней.
Решение. Найдем дискриминант.
Д=4(3a-4)2- 4a-37a-6=49a2- 24a+16- 28a2- 108a+72= 8a2 + 12a - 8
По условию должно выполняться неравенство Д≥0. Тогда имеем:
8a2+ 12a - 8≥0
2a2+ 3a-2≥0a=-3±9+164=-3±54=-2;12a∈-∞;-2∪12;∞а) При Д = 0, то есть при а=-2 или при а=12 имеем:
x1,2=3a-42(a-3)Для а=-2 x1,2=-6-42(-2-3)=1, -оба корня положительны.Для а=12 x1,2=-32-42(-12-3)=-52-5= 12, -сноа оба корня положительны.б) При 7a-6=0 т.е.при a=67 уравнение принимает вид:a-3x2-3a-4x=0.Откуда имеем :xa-3x-3a-4=0;x1=0; x2=3a-4a-3=3*67-467-3=187-467-3>0Выходит, что один из коней равен нулю, а другой положительный.
В) выясним, при каких значениях параметра а выполняется неравенство 0<x1<x2По теореме 1 решаем систему неравенств
-295275253365
141922586995

Видно, что a∈ -∞;-2∪12;67∪3;∞), где корни уравнения положительны.Г) найдем при каких значениях а выполняется неравенство x1<0<x2Для этого применим теорему 2:
a-3(7a-6)<0a-3(a-67)<0828675-1095375
118110085725
д) Выясним при каких значениях а выполняется неравенство x1<x2<0. Используем теорему 3.
Из схемы видно, что ни при каких значениях параметра а корни заданного квадратного уравнения не являются одновременно отрицательными.
е)При a=3: -9-4x+21-6=0; -5x+15=0; x=3>0Ответ: уравнение имеет действительные корни при
a∈(-∞;-2∪12;∞)При a∈-∞;-2∪12;67∪3;∞ корня положительны;При a∈67;3корни уравнения разных знаков;
Ни при каких значениях а корни не являются одновременно отрицательными;
При а = 67 один из корней уравнения равен нулю, а другой положительный.
№2. Для каких действительных значений а уравнение
a-2x2- 2a+3x+4a=0 имеет один корень больший 3, а другой меньший 2?Решение. Так как рассматривается лишь условие существования двух корней, то Д>0. Найдем соответствующие значения а.
Д=(2x+3)2- 16aa-2=4a2+6a+9- 16a2+32a=4a2=24a+36-16a2+32a= -12a2+56a+36=-4(3a2-14a-9)-4(3a2-14a-9)>0a=7±49+27 3=7±76 3≈7±8,73≈-0,5…,5,2…3a-7-76 3a-7+76 3<0;a ∈7-76 3;7+76 3- значение параметра, при которых существует у уравнения 2 корня.123825503555По условию должно выполняться неравенство x1<2<3<x2, то есть система неравенств.
-161926216535
При а∈(2;5) один из корней заданного уравнения больше 3, а другой меньше 2.
Ответ: а∈(2;5).
№3. Решим задание №6 из работы выпускного экзамена 1997-1998 учебного года.
При каких значениях а уравнение sin2x+(a+2)sinx +3a+1=0 не имеет корней?
Решение.
Квадратное уравнение не имеет корней при D<0, значит, для заданного квадратного уравнения имеем: a+22-43a+1<0.
Откуда
a2+4a+4-12a-4<0a2-8a<0aa-8<0Итак, при а ⍷ (a;8) уравнение не имеет корней.
Для значения а (a;8) введено обозначение: sinx=y, где y>1При этом получим уравнение в виде y2+a+2y+3a+1=0 (2)
Значение а, при которых оба корня уравнения (2) меньше -1 или оба больше 1, или первый меньше -1, а второй больше 1, задания уравнение не имеет корней
Для случая расположения" y1<y2<-1" применяем теорему 3

Так как рассматривается случай, когда а∈ (-∞;0)⋃(8;∞), то из системы
a>0
a>8имеем: a>8
Значит, при а ∈(8;∞) данное уравнение не имеет корней.
Для случая “1<y₁<y₂” применим теорему 1:
40576501987551∙(12+(а+2)1+3а+1)>0 4а+4>0 a>-1
1∙(2∙1+(а+2))<0; a+4<0 a<-4
Эта система противоречива, а это означает, что ни при каких значениях а оба корня уравнения (2) не будут одновременно больше 1. Поэтому в этом случае мы не нашли таких значений а, при которых исходное уравнение не имеет корней.
В третьем случае, т.е. при расположении “y₁<-1<1<y₂” применим теорему (2) дважды с границами -1 и 1, чтобы получить следующее:

Получим, что при a∈(-∞;-1) один из корней уравнения (2) меньше -1, а другой больше . В таком случае исходное уравнение не имеет корней.
Ответ: при ф∈-∞;-1∪0;8∪8;∞ уравнение
sin2x+a+2sinx+3a+1=0
Не имеет корней