Исследовательская работа на тему Тригонометрические уравнения в заданиях ЕГЭ

МБОУ « Мордовско-Паёвская СОШ» Инсарского района РМ






[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Выполнила: Пантилейкина Надежда,
ученица 11 класса
Руководитель: Кадышкина Н.В.,
учитель математики



Оглавление

Введение.
Глава I. О тригонометрических уравнениях..5
1) Основные типы тригонометрических уравнениях и методы их решения:
1. Уравнения, сводящиеся к простейшим. ..5
2. Уравнения, сводящиеся к квадратным.5
3. Однородные уравнения acosx + b sin x = 0...6
4.Уравнения вида acosx + b sin x = c, с
· 07
5. Уравнения, решаемые разложением на множители....7
6. Нестандартные уравнения.8
Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии.8-10
Глава III. Уравнения предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет...10-14
Заключение.14
Приложение...15-17
Литература..18










Введение
«Единственный путь, ведущий к знаниям - это деятельность...»
Бернард Шоу
  Актуальность работы.

Через несколько месяцев я заканчиваю школу.
Чтобы не было проблем с дальнейшим выбором жизненного пути, необходимо получить школьный аттестат, а для того чтобы получить школьный аттестат, необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ  и один из них математика. Что уж там говорить, выпускные экзамены  ответственный период в жизни любого школьника, от которого зависит не только итоговая оценка в аттестате, но и его профессиональное будущее, доход и карьера.
Единый Государственный Экзамен – это важный тест перед переходом в новую жизнь и поступлением в университет или колледж. Особенно важно сдать его на хорошие баллы. ЕГЭ по математике  серьезное испытание и без хорошей базы ученик не сможет претендовать на приличный результат.
Как не допустить провала на экзамене и получить хорошие баллы? Для этого необходимо хорошо решить задания. Я не претендую на максимальный балл, тем не менее старательно готовлюсь. И заметила, что даже на первом задании части С, а, именно, на решении тригонометрических уравнениях и их системах допускаю ошибки. На первый взгляд, задача С1 – это относительно несложное уравнение или система уравнений, которое может содержать тригонометрические функции, одним из основных подходов к решению которых состоит в их последовательном упрощении с целью сведения к одному или нескольким простейшим. Так почему я ошибаюсь?
Актуальность темы определяется тем, что учащиеся должны разбираться в тех или иных способах решения тригонометрических уравнений.
Поэтому, перед собой я поставила следующую цель:
Систематизировать, расширить знания и умения, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений.
Объектом исследования является изучение тригонометрических уравнений в заданиях ЕГЭ.
Предмет исследования - является решение тригонометрических уравнений
Таким образом, основной целью написания данной курсовой работы является изучение тригонометрических уравнений и их систем, способы их решения.
В соответствии с целями, объектом и предметом исследования определены следующие задачи:
1). Изучить все задания, связанные с решением тригонометрических уравнений, предлагавшиеся на ЕГЭ работ предыдущих лет и при выполнении диагностических работ;
2) Изучить методы решения тригонометрических уравнений.
3). Выявить основные возможные ошибки при решении таких уравнений;
4). Выяснить причину допущения таких ошибок.
5)Рассмотреть рекомендации по решению тригонометрических уравнений;
6). Сделать выводы.
В своей работе я решу несколько тригонометрических уравнений, покажу возможные ошибки при их решении и постараюсь ответить на следующие вопросы:
1). Можно ли избежать ошибок при выполнении заданий типаС1
2) Если я буду тренироваться в решении уравнений такого типа, то я смогу
ли безошибочно выполнять такие задания?
Для этой цели я изучила все демонстрационные и тренировочные задания, проводимые с нами, материалы ЕГЭ предыдущих лет;
изучила справочные источники;
самостоятельно решала задания из Интернета;
консультировалась со своим учителем в случае затруднения;
училась анализировать и правильно оформлять результаты.






Глава I. О тригонометрических уравнениях.
1) Определение 1. Тригонометрическим уравнением называется уравнение, содержащее переменную под знаком тригонометрических функций.
Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида sin x = a,
cos x=a, tg x=a, ctg x = a.
В таких уравнениях переменная находится под знаком тригонометрической функции, а - данное число.
Решение тригонометрического уравнения состоит из двух этапов: преобразование уравнения для получения его простейшего вида и решение полученного простейшего тригонометрического уравнения.
2)Основные типы тригонометрических уравнений.
Уравнения, сводящиеся к простейшим.
Решить уравнение 
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Уравнения, сводящиеся к квадратным.
1) Решить уравнение 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Однородные уравнения: asinx + bcosx = 0
   a sin 2 x + b sinxcosx + c cos 2 x = 0.
Решить уравнение 2sinx – 3cosx = 0
Решение: Пусть cosx = 0, тогда 2sinx = 0 и sinx = 0 – противоречие с тем,
что sin 2 x + cos 2 x = 1. Значит cosx
· 0 и можно поделить уравнение на cosx.
Получим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Уравнения вида a sinx + b cosx = с, с 
· 0.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Пример: Решить уравнение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решение: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 
Уравнения, решаемые разложением на множители.
Припер: Решить уравнение sin2x – sinx = 0.
Решение: Используя формулу sin2x = 2sinxcosx, получим
2sinxcosx – sinx = 0,
sinx (2cosx – 1) = 0.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Ответ: [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Нестандартные уравнения.
Решить уравнение cosx = х 2 + 1.
Решение:
Рассмотрим функции
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Глава II. Основные понятия и формулы тригонометрии.
Тригонометрические уравнения - обязательная тема любого экзамена по математике.
Ох, сколько мучений доставляет ученикам изучение тригонометрии.
Определенные сложности возникают даже в том случае, если рядом учитель по математике и объясняет каждую мелочь. Это и понятно, одних только базовых формул существует более двадцати. А уж если считать их производные Ученик путается в вычислениях и никак не может запомнить механизмы, при помощи которых эти формулы позволяют найти, например, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Вы знаете формулы - вам легко решать. Не знаете - не поймете, даже если дадут формулу.Формулу нужно не просто тупо знать, а знать куда ее можно применить, как раскрыть и в чем суть формулы, а для этого вам нужно решать примеры именно для тех задач, которые даются с трудом.
Мне поначалу казалось, тригонометрия - это скучный набор формул и графиков. Однако, знакомясь с новыми понятиями тригонометрии и методами решения тригонометрических уравнений, каждый раз убеждалась, насколько интересен и увлекателен мир тригонометрии.
Во- первых, для успешного решения тригонометрических уравнений нужно хорошо знать тригонометрические формулы, причем не только основные, но и дополнительные (преобразование суммы тригонометрических функций в произведение и произведения в сумму, формулы понижения степени и другие), так как использование на ЕГЭ шпаргалок и мобильных телефонов запрещается
(Приложение1)
Во- вторых, мы должны четко знать стандартные формулы корней простейших тригонометрических уравнений (полезно помнить или уметь получать с помощью тригонометрической окружности упрощенные формулы для корней уравнений)
Каждое из таких уравнений решается по формулам, которые следует знать. Вот эти формулы:
а) Функция y=sin x. Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа sinx=2 или sinx=-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= sinx
1) sinx =a, x= (-1)narcsin a +
·n,n13 EMBED Equation.3 1415Z
2) sinx = - a, x= (-1)n+1arcsin a +
·n,n13 EMBED Equation.3 1415Z
Также, нужно знать частные случаи: 1) sinx =- 1, 13 EMBED Equation.3 1415
2) sinx =0, 13 EMBED Equation.3 1415
3) sinx =a, 13 EMBED Equation.3 1415
Также нужно уметь решение 13 EMBED Equation.3 1415 в виде двух серий корней
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415.
2. Функция y= cos x. Функция ограниченная: находится в пределах [-1; 1]. Это значит, что при решении уравнений типа cos x=2 или cos x=-5 в ответе получается: нет корней. Формулы для функции у= cos x:
1. cosx =a, X=± arccos a+2
·n,n13 EMBED Equation.3 1415Z
2. cos x=-a, X=±(
· - arccos a)+2
·n,n13 EMBED Equation.3 1415Z
Частные случаи: 1. cosx =-1, X=
· +2
·n,n13 EMBED Equation.3 1415Z
2. cosx =0, 13 EMBED Equation.3 1415
3. cosx =1, X= 2
·n,n13 EMBED Equation.3 1415Z
3. Функция y= tg x.
Тут всего одна формула, без частных случаев: tg x =±a .
х= ± arctg a+
·n,n13 EMBED Equation.3 1415Z
13 EMBED Equation.3 1415
В-третьих, надо знать значения тригонометрических функций;
( Приложение 2)
В- четвёртых, Если в уравнении тригонометрическая функция находится под знаком радикала, то такое тригонометрическое уравнение будет иррациональным. В таких уравнениях следует соблюдать все правила, которыми пользуются при решении обычных иррациональных уравнений (учитывается область допустимых значений как самого уравнения, так и при освобождении от корня четной степени).

V. Уравнения, предлагавшиеся на ЕГЭ прошлых лет.
«Метод решения хорош, если с самого начала мы можем предвидеть – и впоследствии подтвердить это, - что, следуя этому методу, мы достигнем цели».
Лейбниц
1. Уравнения, сводящиеся к квадратному.
С1. Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
Решение: Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, перепишем уравнение в виде13 EMBED Equation.3 1415
Заменой cos13 EMBED Equation.3 1415=t уравнение сводится к квадратному:2t2+ 9 t -5 =0, которое имеет корни t 1= Ѕ и t2 = -5. Возвращаясь к переменной х, получим 13 EMBED Equation.3 1415,13 EMBED Equation.3 1415
Второе уравнение корней не имеет так как |cosx|
·1, а из первого x=±13 EMBED Equation.3 1415+613 EMBED Equation.3 1415k,k13 EMBED Equation.3 1415Z
Ответ: =±13 EMBED Equation.3 1415+613 EMBED Equation.3 1415k,k13 EMBED Equation.3 1415Z

Вывод: вводя новую переменную, нужно учитывать, что значения sin x и cos x ограничены отрезком 13 EMBED Equation.3 1415, а иначе появятся посторонние корни.

2. Уравнения, решаемые разложением на множители
Задание С1 ( 2011 г.)
а) Решить уравнение13 EMBED Equation.3 1415
б) Указать корни уравнения, принадлежащие отрезку 13 EMBED Equation.3 1415

Решение: а) решаем разложением левой части на множители:
группируем и выносим общий множитель за скобки, получим



Уравнение 1) решений не имеет.
Второе уравнение однородное, решается делением почленно на cosx
·0, получим 13 EMBED Equation.3 1415, откуда 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: а) 13 EMBED Equation.3 1415 б)13 EMBED Equation.3 1415
Вывод:
1.При решении уравнения такого вида, во – первых, нужно знать, что |sinх|
·1 и |cosx|
·1, и уравнение sinx=-2 решений не имеет;
2.Во – вторых, обосновать деление на cosx
·о ( так как , если cosx=0,то sinх=0 , а это невозможно;
в- третьих, обоснованно произвести отбор корней, принадлежащие данному промежутку
3.Уравнение на применение формул приведения
С1 ( 2010 г.) Дано уравнение

а) решить уравнение;

б) Указать корни, принадлежащие отрезку

Решение: Используя формулы приведения, получим :
sin 2 x – cos x =0,
2 sinx cosx- cosx =0,
сosx (2 sinx -1 )=0, откуда cosx= 0 или sinx =Ѕ,
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать
указанному промежутку. Для того, чтобы выбрать корни. принадлежащие заданному промежутку, решение представим в виде :
13 EMBED Equation.3 1415
б) Найдем значения к, при которых корни будут принадлежать указанному промежутку.
2)

Решая это неравенство, целого
значения к не получим.
3)

Ответ: а)13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415
Вывод:
При решении уравнения такого вида, необходимо знать формулы приведенного уравнения и правильно её применить; уметь представлять решение13 EMBED Equation.3 1415на две серии корней; правильно выбрать корни, принадлежащие заданному отрезку.


4. Системы тригонометрических уравнений
С1 (2010).  Решить систему уравнений13 EMBED Equation.3 1415
Решение: О.Д.З 13 EMBED Equation.3 1415
Дробь равна нулю, если числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Из уравнения 2sin2x – 3 sinx +1 =0, решая методом введения новой переменной, находим
13 EMBED Equation.3 1415 или sin x=1.
1)Пусть 13 EMBED Equation.3 1415, тогда 13 EMBED Equation.3 1415 и у = cos x = 13 EMBED Equation.3 14150 ( используя основное тригонометрическое тождество)
либо 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415- нет решения.
2) Пусть sinx = 1, тогда у = cos x = 0 – нет решения.
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415и у = 13 EMBED Equation.3 1415

Вывод: 1) нужно учитывать ограниченность тригонометрических
функций
2) Записывать и учитывать О.Д.З.



5. С1 ( ЕГЭ 2011 г.) Решить уравнение: 13 EMBED Equation.3 1415
О.Д.З. – cos x
· 0, sin х
· 0.
4sin2 x + 12 sinx + 5 = 0 или cos x =0
sinx = t 13 EMBED Equation.3 1415
4 t2 + 12 t + 5=0, откуда t1=-Ѕ , t2 = -13 EMBED Equation.3 1415
sinx = -Ѕ sinx =- 13 EMBED Equation.3 1415 - не имеет решения
х = 13 EMBED Equation.3 1415
х = 13 EMBED Equation.3 1415
с учётом О.Д.З. х =13 EMBED Equation.3 1415
Ответ: х =13 EMBED Equation.3 1415
Вывод: Ответ записать с учётом О.Д.З.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В проделанной мною работе были изучены решения тригонометрических уравнений, рассмотрены рекомендации по решению тригонометрических уравнений, методы решения тригонометрических уравнений и рассмотрены ошибки, которые возможны при их решении.
Я пришла к следующим выводам:
1. Задания типа С1 проверяют умение решать тригонометрические уравнения. Эти задания являются, действительно, несложными, что придаёт лишнюю самоуверенность и усыпляют внимательность. Единственной сложностью этих заданий является то, что, решив уравнение или систему уравнений, отбросить посторонние корни.
2. Задача С1 – это самая простая задача группы С. При ее решении не должны возникать громоздкие преобразования и сложные вычисления. Если же они появились – немедленно нужно остановиться, проверить решение и попробовать понять, что же здесь не так.3. В конечном итоге, главное требование  решение должно быть математически грамотным, из него должен быть понятен ход рассуждений. Нужно постараться записать свое решение кратко и понятно, но главное – правильно!
4. И самое главное - чтобы научиться без ошибок решать уравнения , надо их решать! Ведь, как говорил Пойа, « Если хотите научиться плавать, то смело ныряйте в воду, а если хотите научиться решать задачи, надо их решать!»


Приложение 1 ( основные формулы тригонометрии)
1) основное тригонометрическое тождество sin2
· +cos2
·= 1,
Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно имеем
13 EMBED Equation.3 1415
2)формулы двойного аргумента sin2
· =2 sin
· cos
·,
cos 2
· = cos2
· - sin2
·,
cos 2
· = 1- 2sin2
·,
3)формулы понижения степени: 13 EMBED Equation.3 1415
4) формулы суммы и разности двух аргументов:
sin(
·+
·)=sin
· cos
· +cos
· sin
·
sin(
·-
·)=sin
· cos
· -cos
· sin
·
cos(
·+
·)=cos
· cos
· +sin
· sin
·
cos(
·-
·)=sin
· cos
· +sin
· sin
·
5)Формулы приведения
Формулами приведения называются формулы следующего вида:




Суммы суммы и разности тригонометрических уравнений







Чётность
Косинус чётная, синус, тангенс и котангенс [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ], то есть:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Непрерывность
Синус и косинус  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]. Тангенс и имеет [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415,котангенс 0; ±
·; ±2
·;
Периодичность
Функции y = cos x, y = sin x  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] с периодом 2
·,
функции  y = tg x и  y = ctg x  c периодом 
·.
Знаки тригонометрических функций по четвертям









Приложение 2(Таблица значений тригонометрических функций некоторых углов)
Угол (a)
Тригонометрическая функция

 Градусы 
 Радианы 
 sin a 
 cos a 
 tg a 
 ctg a 
 sec a 
 cosec a 

0°
0
0
1
0

·
1

·

30°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2

45°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
1
1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

60°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

90°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
1
0

·
0

·
1

120°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
-2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

135°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
-1
-1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

150°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2

180°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
0
-1
0

·
-1

·

210°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
-2

225°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
1
1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

240°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
-2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

270°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
-1
0

·
0

·
-1

300°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
2
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

315°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
-1
-1
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

330°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
-2

360°
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
0
1
0

·
1

·






ЛИТЕРАТУРА
1. Гилемханов Р.Г. О преподавании тригонометрии в 10 классе по курсу В //Математика в школе. 2001-№ 6 -с. 26-28.
2. Глазков Ю. А. Математика. ЕГЭ: сборник заданий и методических рекомендаций/ Ю. А. Глазков, И. К. Варшавский, М. Я. Гаиашвили. – М.: Издательство «Экзамен», 2008-2010
3. Крамор В.С. Тригонометрические функции. - М.: Просвещение, 1979.
4. Синакевич С.В. Тригонометрические уравнения - М.: Учпедгиз, 1959.
5. Цукарь А.Я. Упражнения практического характера по тригонометрии //Математика в школе. 1993-№3- с 12-15.
6. Выгодский М.Я. Справочник по элементарной математике. - М.: Наука, 1978.
7. Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс алгебры и начал анализа. Москва, «Просвещение», 1994.
8. Алимов Ш.А. Алгебра и начала анализа 10-11. Учебник - М.: Просвещение, 2001.
9. ЕГЭ. Контрольно-измерительные материалы. М: Просвещение, 2002-2011г.
10.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
11. [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]










13 PAGE \* MERGEFORMAT 141815



13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415




Исследовательская работаTimes New Romanпо теме:Times New Roman«Тригонометрические уравнения в заданиях ЕГЭ»Times New Roman2012 годTimes New RomanRoot EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native2Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 17 f ( n \pi + \alpha ) = \pm f (\alpha),\,Рисунок 20 f \left( \frac{(2n+1) \pi}{2} - \alpha\right) = \pm g (\alpha).\,beta}{2} Рисунок 26 \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} \sin \left( - \alpha \right) = - \sin \alpha \,, \cos \left( - \alpha \right) = \cos \alpha \,, \mathop{\mathrm{tg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{tg}}\, \alpha \,, \mathop{\mathrm{ctg}}\, \left( - \alpha \right) = - \mathop{\mathrm{ctg}}\, \alpha \,,