Презентация к уроку Применение производной для решения задач судовождения

«Рано или поздно всякая правильная математическая идея находит применение в том или ином деле.»Алексей Николаевич Крылов (1863-1945) Советский кораблестроитель, механик и математик, академик Цель урока: формирование умений применять полученные знания при решении профессиональных задач судовождения, решаемых с использованием производной. Применение производной при решении задач судовождения. Производная.Дайте определение производной.В чем заключается физический смысл производной.Каков геометрический смысл производной?Какие задачи можно решить при помощи производной?Что необходимо знать, чтобы решать задачи на нахождение производной элементарных функций? v(t)= x’(t) Производная от координаты точки по времени есть скорость. Производная от скорости по времени есть ускорениеКратко: производная функции – это скорость изменения этой функции Нахождение производной функции в точке– это вычисление углового коэффициента касательной к данной функции в этой точке.f’(x0 ) = tqα 1. Уравнение касательной к графику функции в заданной точке.2. Задачи на нахождение скорости изменения функции.3. Определение промежутков монотонности функции 4. Определение точек экстремума функции5. Задачи на наибольшее и наименьшее значение (оптимизацию). 1.Производная функции равна 0; 1; с.0
2.Производная функции равна 0; 1; х.1
3.Производная функции равна х; 2х; х2. 2х
4.Производная функции равна 0; 1; k.k
style.rotation 5.Производная функции равна ; ; .
6.Производная функции равна ; ; .
7.Производная функции равна ; ; .
8.Производная функции равна 10 ; 0 ; .0
Составьте пары «функция – производная функции»1в1-323452в6789103в20 x -611121314154в161718192021 -120x -722232401 Составьте пары «функция – производная функции»1в1-323452в6789103в20 x -611121314154в161718192021-120x -72223000000002401 Проверка:1 вариант: 1—7, 2—23, 3—10, 4—11, 5—19.2 вариант: 6—15, 7—21, 8—24, 9—2, 10—13.3 вариант: 11—22, 12—20, 13—18, 14—16, 15—5.4 вариант: 16—23, 17—8, 18—3, 19—6, 20—23.перевод в оценку:«5» – 5 правильных ответов«4» – 3-4 правильных ответа«3» – 2 правильных ответа Правила дифференцирования1. 2.3.4. Найти производную функции
Найти производную функции


Для каких целей, по вашему мнению, может применятся производная в судовождении?Основная задача судовождения – определение места судна в море. Главные понятия: Навигационный параметр(скорость, направление, углы, расстояния, разности расстояний и т.п.)Навигационный ориентир(объекты с отличительными признаками и известным положением)Навигационная функция – математическое выражение, устанавливающая связь между навигационным параметром и координатами места судна - U = f(x, y, t, φ, λ)


Какие задачи из других изучаемых дисциплин решались на уроках математики с использованием производной?В чем заключается физический смысл производной? Как определить скорость тела, пользуясь понятием производной, если задано уравнение движения тела? Производная – это скорость.Скорость судна – это навигационный параметр?Если известно уравнение движения судна, как найти его скорость?


Задача Судно движется прямолинейно по закону x - в милях, t – часах.а) Выведите формулу для вычисления скорости движения в любой момент времени t. б) Найдите скорость судна в момент времени t = 2.1 часа. в) Через сколько часов после начала движения теплоход остановится? {5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}1 вариантБаржа движется по реке прямолинейно по закону Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2ч. 2 вариантБаржа движется по реке прямолинейно по закону Найдите скорость и ускорение в момент времени t=2ч.




Какие задачи с практическим содержанием вы решали на уроках математики? Задачи на наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке.Задачи на наибольшее и наименьшее. значение функции на интервале. Задачи на оптимизацию.

наибольшее значениенаименьшеезначениеababНаибольшее , наименьшее значение функции на интервале.Если функция f имеет на интервале (области определения) одну точку экстремума.Если это точка минимума, то в этой точке функция будет принимать наименьшее значение. Если это точка максимума, то в этой точке функция будет принимать наибольшее значение.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на интервале.Найти производную функции.Найти критические точки функцииНайти область определения функции (интервал исследования)Отметить интервал и критические точки на числовой прямойОпределить знаки производной на получившихся промежуткахОпределить вид экстремума Основные этапы, при решении задач прикладного характера на оптимизацию:Формализация (перевод задачи на математический язык – составление математической задачи);решение полученной математической задачи;интерпретация найденного решения.

Экономический расчет рейса.Стоимость топлива необходимого для движения т/х «Амур» пропорциональна кубу его скорости и составляет 68000 рублей при скорости 10 узлов. Все другие виды расходов составляют 408 000 рублей. Найдите наиболее экономическую скорость движения и вычислите дополнительную прибыль за экономию топлива на рейс Архангельск – Нарьян – Мар (расстояние 1250 км). 1. Формализация (перевод задачи на математический язык – составление математической задачи);Расходы на эксплуатацию судна на 1 милю пути определяются по формуле S = k·v3 + b, гдеK – коэффициент пропорциональности V – скорость судна в узлахb – прочие виды расходов в рублях.На практике расходы рассчитывают не на 1 милю пути, а на 1 час, поэтому функция определяющая расходы будет иметь видf(v) = S/v = (k·v3 + b)/v = k·v2 + b/v f(v) = S/v = k·v2 + b/vНаиболее экономичная скорость –это какая скорость?При которой расходы будут минимальны.Как сформулировать математическую задачу?Исследовать функцию f(v) = S/v= k·v2 + b/v на минимум.

f(v) = k·v2 + b/vv – неизвестное. Стоимость топлива необходимого для движения т/х «Амур» пропорциональна кубу его скорости и составляет 68000 рублей при скорости 10 узлов. Все другие виды расходов составляют 408 000 рублей. Найдите наиболее экономическую скорость движения и вычислите дополнительную прибыль за экономию топлива на рейс Архангельск – Нарьян – Мар (расстояние 1250 км).b = 408 000 руб.Стоимость топлива T = k·v368000 = k· 103 k = 68000/1000 =68Получаем функциюf(v) = 68·v2 + 408000/vИсследовать данную функцию на минимум



2. Решение математической задачи:( алгоритм исследования функции на экстремум).f(v) = 68·v2 + 408000/vНайти производную функции.Найти критические точки функцииНайти область определения функции?f'(v) =(68·v2 + 408000/v)’== 68·2·v – 408000/v2 f'(v) = 68·2·v – 408000/v2 =0(136·v3 – 408000)/v2 =0v≠0, 136·v3 – 408000 = 0v 3 = 408000 /136 = 3000v ≈ 14.5V > 0





f'(v) = 136·v – 408000/v2Отметить критические точки на числовой прямойОпределить знаки производной на получившихся интервалахОпределить вид экстремума3. Интерпретация найденного решенияНаиболее экономичная скорость 14,5 узлов014,5___+хmin





Определим дополнительную прибыль за рейсf(v) = k·v2 + b/v Рейс: Архангельск – Нарьян – Мар , расстояние 1250 км.Переведем 1250 км в мили:1 миля = 1852 м, 1250 км = 1250000/1852 =674,95 мильПри скорости 10 узлов время рейса - t1 = 674.95/10 =67,95 часПри скорости 14,5 узлов время рейса –t2 = 674.95/14,5 =46,55 час





b = 408 000 руб. , k = 68При скорости 10 узловf(10) = 68·102 + 408000/10 = 6800 +40800 = 47600 руб. в часСтоимость рейса S1 = 47600·67.95 = 3 234 420 руб.При скорости 14,5 узловf(14,5) = 68·14,52 + 408000/14,5 = 14297 +28137,9 = 42434,9 руб. в часСтоимость рейса S2 = 42434,9 ·46,55= 1 975 344,6 руб.Определим дополнительную прибыль за рейсf(v) = k·v2 + b/v




Дополнительная прибыльS1 - S2 = 3 234 420 - 1 975 344,6 = = 1 259 075,4 руб.Определим дополнительную прибыль за рейсf(v) = k·v2 + b/v

Домашнее задание 1.Теплоход движется по прямой согласно закону , где S(t) путь в милях и t – время в часах. В какой момент времени скорость теплохода будет наибольшей и какова величина этой скорости, если движение рассматривать за промежуток времени от до ? Надо ли знать формулы для вычисления производных функций?В чем заключается механический смысл производной?Как называется производная расстояния по времени?Как найти ускорение, зная скорость?Нужно ли, по Вашему мнению, изучать тему «Производная» с точки зрения подготовки к профессии? Почему?Довольны ли Вы своей оценкой успеваемости за урок?