Методическая разработка: Применение производной для решения производственных задач

Министерство образования и науки Республики Казахстан
Управление образования Карагандинской области
КГУ «Сатпаевский индустриальный колледж»
Применение производной
для решения производственных задач
Методическая разработка

Рассмотрена на заседании методической комиссии общеобразовательных предметов
Протокол № от ___ __________ года.
Составитель методической разработки:
Преподаватель математики первой категории
Абсалыкова Гульшат Куанышевна
Введение
Основная задача темы «Применение производной для решения производственных задач» - показать студентам, как в жизни и на практике применяются знания и умения нахождения производной для решения практических задач. Изучение данной темы повысит интерес студентов к предмету математика и значимости её в их специальности. Материал изучаемой темы предназначен для студентов 2 курса по специальности «Организация питания».
Усвоение этого материала является одним из важнейших условий для решения производственных задач. Кроме того, чтобы студенты успешно усвоили новую тему, они должны уметь дифференцировать простые и сложные функции; вычислять производную первого, второго порядка; знать геометрический, механический и экономический смысл производной.
На данном уроке осуществляется связь со спецдисциплинами (Организация работы предприятий питания, Технология приготовления пищи), с физикой.
Тема «Применение производной для решения производственных задач» способствует более полному, расширенному и разностороннему изучению и усвоению материала; позволит студентам осознать связь математики со спецпредметами, что должно повысить интерес к предмету математика.

Тема урока
«Применение производной для решения производственных задач»
Цель урока: продолжить формирование знаний студентов о применении производной для решения задач; об истории возникновения и развития теории дифференциального исчисления.
Задачи:
способствовать развитию умений студентов применять полученные знания о производной для решения производственных задач; развитию навыков самостоятельности при выполнении самостоятельной работы;
развивать логическое мышление студентов;
содействовать воспитанию у студентов внимания и аккуратности;
повышать интерес студентов к предмету Математика путём осуществления межпредметных связей.
Методическая цель: Решение производственных задач путем создания проблемных ситуаций для формирования профессиональных компетенции студентов.
Тип урока: комбинированный.
Межпредметные связи: физика,

I.Организационный момент
Проверка готовности к уроку присутствующих студентов.
Объявление темы и целей урока.
Сегодня на уроке мы продолжим изучение темы «Применение производной», вспомним смысл производной, будем устно вычислять производную и применять её для решения производственных задач. Также мы познакомимся с историей возникновения и развития теории дифференциального исчисления. Повторение этого материала пригодится при решении производственных задач, а так же нужно для представления более полной картины развития дифференциальных исчислений.
Итак, начнем наш урок с повторения пройденного материала.
II.Повторение пройденного материала.
1.Фронтальный опрос.
В чем заключается геометрический смысл производной? (значение производной равно угловому коэффициенту касательной к графику функции. В этом заключается геометрический смысл производной).В чем заключается механический смысл производной? (Если функция y = f(x) и ее аргумент «x» являются физическими величинами, то производная- это скорость изменения переменной «y» относительно переменной «x» в точке x. Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная - это скорость в момент времени t. Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то q'(t) – скорость изменения количества электричества в момент времени t, т.е. сила тока в момент времени).
2. Устный счет. Вычислите производную.
Студенты с места озвучивают ответы.
y=2x3 +6; 7. y= x5 – 4x6
y =3x -2; 8. y=3ctg x-1
y =7+sinx9. y= 8-9x +7cosxy =x9 10. y= 4x-0.5y =2tgx-8x 11. y=3sinx-7cosx
y=√x+4x12. y=x5 -√x3.Выступления студентов с опережающим домашним заданием.
Заслушаем два сообщения на тему «История возникновения и развития теории дифференциального исчисления», посмотрим презентацию.
В конце 17 века в Европе образовались две крупные математические школы. Главой одной из них был Готфрид Вильгельм фон Лейбниц. Его ученики и сотрудники – Лопиталь, братья Бернулли, Эйлер жили и творили на континенте. Вторая школа, возглавляемая Исааком Ньютоном, состояла из английских и шотландских ученых. Обе школы создали новые мощные алгоритмы, приведшие по сути к одним и тем же результатам – к созданию дифференциального и интегрального исчисления. (Слайд№2)
Происхождение производной. Ряд задач дифференциального исчисления был решен еще в древности. Такие задачи можно найти у Евклида и у Архимеда, однако основное понятие – понятие производной функции – возникло только в17 веке в связи с необходимостью решить ряд задач из физики, механики и математики, в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного неравномерного движения и построения касательной к произвольной плоской кривой.
Первую задачу ( о связи скорости и пути прямолинейно и неравномерно движущейся точки) впервые решил Ньютон. Он пришел к формуле (Слайд №3)
Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Свои результаты в этой области он изложил в трактате «Метод флюксий и бесконечных рядов». Написана работа была в 60-е годы 17 века, однако опубликована после смерти Ньютона. Ньютон не заботился о том, чтобы своевременно знакомить математическую общественность со своими работами.
Флюксией называлась производная функции – флюэнты.
Флюэнтой также в дальнейшем называлась первообразная функция (Слайд №4).
В подходе Лейбница к математическому анализу были некоторые особенности. Лейбниц мыслил высший анализ не кинематически, как Ньютон, а алгебраически. Он шел к своему открытию от анализа бесконечно малых величин и теории бесконечных рядов.
В 1675 году Лейбниц завершает свой вариант математического анализа, тщательно продумывает его символику и терминологию, отражающую существо дела. Почти все его нововведения укоренились в науке, и только термин «интеграл» ввёл Якоб Бернулли (1690), сам Лейбниц вначале называл его просто суммой.
(Слайд №12).
По мере развития анализа выяснилось, что символика Лейбница, в отличие от ньютоновской, отлично подходит для обозначения многократного дифференцирования, частных производных и т. д. На пользу школе Лейбница шла и его открытость, массовая популяризация новых идей, что Ньютон делал крайне неохотно. (Слайд №13)
Ньютон, создал свой метод, опираясь на прежние открытия, сделанные им в области анализа, но в самом главном вопросе он обратился к помощи геометрии и механики. Когда именно Ньютон открыл свой новый метод, в точности неизвестно. По тесной связи этого способа с теорией тяготения следует думать. что он был выработан Ньютоном между 1666 и 1669 годами.
Лейбниц обнародовав главные результаты своего открытия в 1684, опережая Исаака Ньютона, который еще раньше Лейбница пришел к сходным результатам, но не публиковал их.
Впоследствии на эту тему возник многолетний спор о приоритете открытия дифференциального исчисления.
(Слайд №15)
III. Изложение нового материла.
1.Экономический смысл производной.
12271311327710Z = VꞋ (t)
00Z = VꞋ (t)
Мы вспомнили геометрический и механический смысл производной, но этим значение производной не ограничивается: в приложениях производной отмечается, что она имеет и экономический смысл.
Например, производительность труда в данный момент есть производная объема произведённой продукции по времени:
Z- производительность труда, V – объём произведённой продукции.
Кроме того, производная позволяет находить скорость и темпы изменения различных экономических показателей.
Первая производная показывает скорость изменения, а вторая производная- скорость изменения скорости = ускорение =темпы изменения.
у Ꞌ Показывает, что происходит с изучаемой величиной: увеличивается или уменьшается
у ꞋꞋ Показывает, в каком темпе это происходит
Законспектируйте объяснение в тетрадь
2.Применим сказанное к решению задач.
Задача. Объём продукции на некотором производстве может быть описан формулой
v= - 56 t3+ 152 t2 +100t +50, 1≤ t ≤ 8, t – время. Вычислите производительность труда, скорость её изменения через час после начала работы и за час до её окончания.
Решение: у=v\(t)= -52 t3 + 15t +100(ед./час), поэтому после первого часа V\(1) =112,5 (ед./час), V\(7) = 82.5 (ед./час). Очевидно, что к концу рабочего дня производительность существенно снизилась. Но это факт понятный и без производной.
Как конкретно изменилась производительность? Для этого найдем её производную. Проанализируем, что с ней происходит?
у\(t)=V||(t)= -15t+15.
-5t + 15 =0
t=3;
Эта картина даёт более важную информацию: она говорит о том, что в первые 3 часа работы производительность растёт, а затем убывает.
354457012065000134429513271500
25438101917700050209451917700045637451917700035445701917700026777951917700013442951917700012001519177000у\ 0 + 0 --
44399203492500у 0 3 t
Как быстро происходит процесс изменения, т. е. в каком темпе она изменится? Этот вопрос решается с помощью второй производной от производительности у//= -5. Этот результат говорит о том, что изменение происходит в данном случае в одном темпе.
В общем же случае при положительной производной от производительности изменение происходит в ускоренном темпе, при отрицательной – в замедленном.Вывод. С помощью производной мы убедились, как меняется производительность труда в течение дня, через час после начала работы и за час до её окончания.
IV. Закрепление нового материала.
При закреплении материала вы сначала самостоятельно изучите уже решенную задачу, законспектируете её, а затем попробуете решить самостоятельно подобную задачу.
1.Задача. Затраты на производство «х» единиц товара d(х)=25х+200, цена товара p(х)=100 - х50
Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной? Чему равна максимальная прибыль?
Сколько товара нужно произвести, чтобы прибыль была максимальной, если с каждой единицы товара взимается налог, равный 10?
Решение. Прибыль вычисляется по формуле:
Q(х)=х*р(х) - d(х) = 100х - x250 -25х – 200 = - x250 + 75х – 200. Получаем математическую задачу: найти максимальное значение функции Q(х). Q Ꞌ(х) = - х25 + 75 = 0, х=1875
183163521679007896458547400
2405793154763114051915476311979315476328523611547630 QꞋ (х) _______+ _______________-- _______
Q(х) 0 ↑ 1875 ↓
maxЧтобы прибыль была максимальной, надо произвести 1875 единиц товара.
Величина прибыли: 1875* (100 - 187550 ) – 25*1875 – 200 = 70112,5
С учетом налога: Q(х) = х*р(х) – d(х) – 10х =
х* р(х) – 35х – 200 = 100х - x250 – 35х – 200 =65х - x250 - 200, QꞋ (х) = - 2х50 +65=0, х=1625.
576993160655120431416065525440171606552076184-946600662054-94660036179051606550 Q ꞌ(х)___ ________ + ________________ -- ____________
0 ↑ 1625 ↓
max Чтобы прибыль была максимальной при оплате налога, надо произвести 1625 единиц товара.
Ответ: 1) 1875; 70112,5; 2) 1625.
2.Решите самостоятельно
Задача. Опишите темпы изменения издержек, если их зависимость от объема произведенной продукции описывается формулой:
К(х) = х33-5x2+80х+1.
Пример решения задачи.
Темпы издержек = ускорение! Ускорение = вторая производная!
Кꞌ = х3 – 10х +80 =0, Д = 100 - 320< 0, следовательно, корней нет, соответствующая парабола расположена выше оси «х», т.е. К ꞌ> 0.
Это означает, что издержки растут при увеличении объема производства.
К ꞌꞌ =2х – 10, 2х – 10 = 0, х= 5 –точка перегиба
5557278615200149139286152003749758615300
134681660750Кꞌ_____ ______________________+____________________
Кꞌꞌ 0 -- 5 +
Если 0≤ х < 5 , то Кꞌꞌ <0, если Х ≥ 5, то Кꞌꞌ> 0.
Вывод:
При изменении объема производства от 0 до 5 издержки растут в замедленном темпе, а при дальнейшем увеличении – растут в ускоренном.
3. Самостоятельная работа с разно уровневыми заданиями
в
а
ри
а
н
т На «3»
Вычислите производную. На «4»
Исследуйте функцию с помощью производной На «5»
Решите практическую задачу
1 у =8х – х3 у= х3 – 27х Предприятие производит х единиц некоторой продукции. Установлено, что зависимость финансовых накоплений предприятия от объема выпуска выражается формулой:
К(х) = -0,02х3 + 600х – 1000.
Выясните, при каком объёме выпускаемой продукции финансовые накопления будут максимальными? Увеличиваются? Уменьшаются?
2 у= х4 -2х у = 2х3 -6х Зависимость полных издержек производства К от объема Х всей продукции имеет вид:
К(х) = х3 – 4х2 + 9х.
Рассчитайте, при каком объёме средние издержки минимальны? (Кср = К Х)
V. Итоги урока.
1. Оценка знаний студентов.
2. Домашнее задание: учить конспект, решить задачу.
Задача № 4: Пельменный цех производит «х» кг пельменей в день. По договору он должен поставить в магазин ежедневно не менее 20 кг пельменей. Производственные мощности цеха таковы, что выпуск не может превышать 90 кг в день. Определите. при каком объеме «у» производства удельные затраты (средние затраты на единицу продукции) будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид
К(х) = - х3 + 98 х2 + 200 х.
3. Рефлексия.
Что мне дал прошедший урок?
Повысил ли я свой уровень знаний?
Что было сложным на уроке?
Что мне больше всего понравилось на уроке?
Используемая литература
Абилкасимова А.Е.Алгебра и начало анализа. 10 класс.
Колмагоров А.Н.Алгебра и начало анализа. 10-11 класс.
Малышева О.А . Учебно- методическое пособие для студентов и преподавателей образовательного учреждения средне - профессионального образования.