Аны?тауыштар мен матрицалар.Сызы?ты? те?деулер ж?йесі

Д‰рістіS таKырыбы.

АныKтауыштар. Матрицалар. Кері матрица. МатрицаныS рангі. СызыKтыK теSдеулер ж_йесін шешу.

Д‰рістіS маKсаты: Студенттерге аныKтауыш, матрица aCымдарын беру. АныKтауышты есептеу жолдарын _йрету. Кері матрица, матрицаныS рангі aCымдарын беру ж‰не оларды табу жолдарын _йрету. СызыKтыK теSдеулер ж_йесін шешу ‰дістерін _йрету.
Жоспары:
1. Екінші ж‰не _шінші ретті аныKтауыштарды есептеу жолдарын _йрету.
2. Минорлар ж‰не алгебралыK толыKтауыштарды табуды меSгерту.
3. МатрицаныS аныKтамасын, оныS т_рлерін білу ж‰не оларCа амалдар KолдануCа _йрету.
4. МатрицаныS рангі aCымын беру ж‰не оны есептеу жолын _йрету.
5. Кері матрица aCымын беру ж‰не оны табу.
6. Негізгі aCымдар.
7. СызыKтыK теSдеулер ж_йесін шешудіS ‰дістерін білу.

1. АныKтама. СандардыS мына т_рдегі тік бaрышты кестесін
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ™лшемді матрица деп атайды, мaндаCы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - наKты сандар, берілген матрицаныS элементтері. МатрицаныS элементтері жолдар мен баCандарды Kaрайды. Бірінші индекс 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 жолдыS н™мірін к™рсетеді, ал екіншісі - 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 баCанныS н™мірін к™рсетеді. Матрицаны KысKаша былай белгілейді:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Егер матрицадаCы жолдыS саны мен баCанныS саны бірдей болса (т=п) , онда матрица п-ші ретті квадратты матрица деп аталады. Ал теS болмаса, онда тік бaрышты матрица деп аталады.
Егер т = 1, п>1 болса, біржолды матрица аламыз: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Егер m>1, n = 1 болса, бір баCанды матрица аламыз, яCни 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 элементтердіS реттелген жиынтыCын квадратты матрицаныS бас диагоналы деп атайды.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 екі матрица ™зара теS деп аталады, егер бірдей орындаCы элементтері теS болса, яCни барлыK 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 _шін 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ( мaнда екі матрицадаCы жолдыS ж‰не баCанныS сандары бірдей болуы керек).
МатрицаCа мынадай сызыKтыK амалдар KолдануCа болады:
1. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ж‰не 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 екі матрицаныS Kосындысы деп _шінші бір 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 матрицасын айтады, оныS да т жолы ж‰не п баCаны бар, оныS элементтері
мына теSдікпен аныKталады: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Белгіленуі: A+B=C.
АйталыK, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 десек, онда
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Осы сияKты екі матрицаныS айырмасын да табуCа болады.
2. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 матрицасын 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 санына к™бейту деп ‰рбір элементі А матрицасыныS с‰йкес элементі мен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 саныныS к™бейтіндісінен тaратын матрицаны айтады, яCни 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 десек, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415;
т жолы ж‰не п баCаны бар 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 матрицасы мен к жолы мен п баCаны бар 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 матрицасыныS к™бейтіндісі деп т жолы ж‰не п баCаны бар ж‰не 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 элементі А-ныS i жолындаCы элементтері мен В-ныS j баCаныныS элементініS к™бейтіндісініS Kосындысына теS 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 матрицасын айтады, яCни 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
АйталыK,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 десек, онда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Бас диагоналындаCы элементтері 1-ге, ал KалCан элементтері 0-ге теS матрицаны бірлік матрица деп атайды:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 немесе 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
АйталыK, _шінші ретті бірлік матрицаны жазсаK: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Бірлік матрицаныS мынадай Kасиеті бар: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ж‰не 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
МатрицаларCа сызыKтыK амалдар Kолдануда мынадай Kатынастарды KолдануCа болады (Kасиеттері):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415, мaндаCы A,B ж‰не C - ™лшемдері бірдей матрицалар, ал 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 - кейбір наKты сандар, 0- н™лдік
матрица.
Матрицаларды к™бейтуде мынадай Kатынастарды KолдануCа болады (Kасиеттері):
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415кез келген наKты сан.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Матрицаны транспорлеу деп матрицаныS жолдарын, ретін саKтай отырып, оныS баCандарымен ауыстыруды айтады. Транспорленген матрицаны 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 деп белгілейді.
МатрицаныS рангы деп осы матрицаныS н™лден ™згеше минорларыныS еS жоCарCы ретін айтады.
A матрицасыныS рангын r(A) деп белгілейді.
Мысал: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 матрицасын A квадратты матрицасына кері матрица деп атайды, егер олардыS к™бейтіндісі бірлік матрицаCа теS болса: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Кері матрицаны мына формуламен есептейді:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 мaндаCы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 біріктірілген матрица.
2. АныKтама 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ™лшемді матрицаCа с‰йкес келетін,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
таSбасымен белгіленген, кез келген сандар кестесіне белгілі бір заSдылыKпен с‰йкес Kойылатын Kандай да бір сан n-ші ретті аныKтауыш деп аталады.
АныKтауышты 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 немесе 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 деп белгілейді.
n-ші ретті аныKтауыш ‰рKайсысы ‰р n жол мен ‰р n баCаннан тек бір элементтен алынCан осы аныKтауыштыS n элементініS к™бейтіндісі болатын n!=1*2*3*...*n м_шелерініS алгебралыK Kосындысына теS, сонай-аK м_шелерініS жартысы солардыS таSбасымен, ал KалCандары Kарама-Kарсы таSбамен алынады.
Дербес жаCдайда екінші ретті квадраттыK матрица берілсін:
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415; (1)
АныKтама. Екінші ретті аныKтауыш (детерминант) деп (1) матрицаCа с‰йкес ж‰не 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 таSбасымен белгіленетін ж‰не 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 теSдігімен аныKталатын санды айтады.
^шінші ретті аныKтауыш та осылай аныKталады: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Бaны есептеу _шін т™мендегідей схема Kолданылады: 1) 2)

Сонда жоCарыдаCы аныKтауыш мына теSдікпен табылады:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415; (4)

АныKтауыштыS Kасиеттері: 1.АныKтауыштыS жатыK жолдарын с‰йкес тік жолдарымен ауыстырCаннан м‰ні ™згермейді, яCни:13 EMBED Equation.DSMT4 1415
АныKтауыштыS екі тік жолын немесе екі жатыK жолын ауыстырсаK онда оны –1-ге к™бейткенге геS: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Егер аныKтауышта екі бірдей тік жол немесе екі бірдей жатыK жол болса, онда ол н™лге теS болады.
АныKтауыштыS бір тік жолыныS немесе бір жатыK жолыныS элементтерін кез келген 13 EMBED Equation.DSMT4 1415санына к™бейту аныKтауышты сол 13 EMBED Equation.DSMT4 1415санына к™бейткенмен теSбе-теS:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Егер аныKтауыштыS бірнеше тік жолыныS немесе бірнеше жатыK жолыныS элементтері н™лге теS болса, онда аныKтауыштыS ™зі де н™лге теS болады. (Бaл 4-ші Kасиеттен шыCады, яCни 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 болса).
Егер аныKтауыштыS екі тік жолыныS немесе екі жатыK жолыныS элементтері пропоционал болса, онда мaндай аныKтауыш н™лге теS болады.
Егер аныKтауыштыS п-ші тік жолыныS ‰рбір элементтері екі KосылCыштан тaрса,онда аныKтауышты екі аныKтауыштыS Kосындысымен жазуCа болады, мaндаCы 1-ші тік жолдар ‰р KосылCыштан тaрады, 2-ші, 3-ші тік жолдар ™згермейді.
Егер аныKтауыш кейбір тік (жатыK) жолыныS элементтеріне с‰йкесінше басKа тік (жатыK) жолдыS элементтерін кез келген 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ортаK к™бейткішке к™бейтіп Kосса, онда аныKтауыштыS шамасы ™згермейді.
Минор ж‰не алгебралыK толыKтауыш
АныKтама. АныKтауыштыS кез келген элементініS миноры дегеніміз - ол да аныKтауыш, берілген аныKтауыштыS осы элемент тaрCан тік жолы мен жатыK жолын сызып тастаудан шыKKан.
Мысалы, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 аныKтауышыныS
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 элементініS минорын табайыK: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
АныKтама. АныKтауыштыS кез келген элементініS алгебралыK толыKтауышы дегеніміз осы элементтіS минорын 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 к™бейткенге теS, мaндаCы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, яCни осы элемент орналасKан тік ж‰не жатыK жолдыS н™мірлерініS Kосындысы.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 элементініS алгебралыK толыKтауышы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 ,
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 элементініS алгебралыK толыKтауышы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 , т. с. с. белгіленеді.
Осы aCымдардан кейін келесі Kасиетті айтамыз.
АныKтауыш Kандай да бір тік немесе жатыK жолдыS элементтерін олардыS алгебралыK толыKтауышына к™бейтіп KосKанCа теS болады.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Мaны - аныKтауышты жіктеу деп атайды.
Мысал: АныKтауышты 1-ші жатыK жолдыS элементтерін жіктеу арKылы табу керек: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Шешуі: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

Екінші ж‰не _шінші ретті аныKтауыштар дегеніміз не?
АныKтауыштыS Kандай Kасиеттері бар?
АныKтауыштыS миноры дегеніміз не? АлгебралыK толыKтауыш дегеніміз не?
ЖоCарCы ретті аныKтауыштар Kандай ‰діспен есептеледі?
Матрица дегеніміз не? МатрицаныS ™лшемі дегеніміз не?
Тікбaрышты, квадратты, бірлік матрицалар дегеніміз не?
Jандай матрицалар ™зара теS болады?
Транспорленген матрица дегеніміз не?
МатрицаларCа сызыKтыK амалдар Kалай орындалады?
МатрицаларCа Kолданылатын сызыKтыK амалдардыS Kандай Kасиеттері бар?
Бірлік матрицаныS Kандай Kасиеті бар?
МатрицаныS рангі дегеніміз не?
Кері матрица деп Kандай матрицаны айтады?
Біріктірілген матрица деп Kандай матрицаны айтады?

Матрицалар ж‰не аныKтауыштардыS теориясы теSдеулер ж_йесін шешуде кеSінен Kолданылады.
1. ^ш белгісізі бар _ш теSдеулер ж_йесін KарастырайыK:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 коэффициенттері ж‰не 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 бос м_шелері берілген.
Егер 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 _ш санын 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 -тіS орнына KойCанда (1) ж_йедегі _ш теSдеу тепе-теSдікке айналса, онда бaл _ш санды (1) ж_йеніS шешімі деп атайды.
€рі Kарай мына т™рт аныKтауыш негізгі р™л атKарады:
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 (2)
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 аныKтауыш (1) ж_йеніS аныKтауышы деп аталады. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 аныKтауыштары 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 аныKтауышындаCы бірінші, екінші ж‰не _шінші баCандарды с‰йкесінше бос м_шелермен алмастыру арKылы алынады.
Егер (1) теSдеулер ж_йесініS еS болмаCанда бір шешімі болса, онда ж_йе _йлесімді; егер ж_йеніS шешімі болмаса, онда _йлесімсіз деп аталады. Егер _йлесімді теSдеулер ж_йесініS бір Cана шешімі болса, онда ол аныKталCан, ал бірден к™п шешімі болса, онда аныKталмаCан деп аталады.
(1) т_ріндегі екі теSдеулер ж_йесініS шешімдер жиыны бірдей болса, онда бaл теSдеулер ж_йесін эквивалентті немесе м‰ндес деп атайды. Ж_йені эквивалентті т_рлендірулер оны эквивалентті (м‰ндес) ж_йеге келтіреді.
СызыKтыK теSдеулер ж_йесiнiS элементар т_рлендiрулерi
- 13 EMBED Equation.3 1415 - теSдеуiн сызып тастау;
- ж_йедегi теSдеулердiS немесе теSдеудегi 13 EMBED Equation.3 1415 KосылCыштардыS орнын ауыстыру;
ж_йедегi бiр теSдеудiS екi б™лiгiне, екiншi теSдеудiS с‰йкес екi б™лiгiн кез келген наKты санCа к™бейтiп Kосу;
ж_йедегi басKа теSдеулердiS сызыKтыK комбинациясы болатын теSдеудi ж_йеден алып тастау.
Енді теSдеулер ж_йесін шешудіS ‰дістерін Kарастырамыз.
(2) аныKтауыштар арKылы (1) теSдеулер ж_йесініS шешімдерін табу ‰дісін Крамер ережесі деп атайды. Ол мына формулалар:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (3)
Кері матрица ‰дісінде ‰уелі берілген (1) сызыKтыK теSдеулер ж_йесін матрица т_рінде жазып аламыз:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (4)
Сонда, матрицаларды к™бейту ережесі бойынша, (1) ж_йені эквивалентті матрица т_рінде жазуCа болады:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (5)
мaндаCы A - берілген матрица; H – берілген вектор-баCан; X – белгісіз вектор-баCан. Бaдан, кері матрица aCымын KолдансаK, онда ізделінді шешімді былай табуCа болады:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (6)
ТаCы бір к™п Kолданылатын ‰дістердіS бірі – Гаусс ‰дісі. Бaл ‰дісте белгісіздерді бірте-бірте жою арKылы шыCарады. Гаусс ‰дісі бойынша шешім табу екі кезеSнен тaрады. Бірінші кезеSде (тура жол) ж_йе сатылы т_рге келтіріледі. Екінші кезеSде (кері жол) осы сатылы ж_йеден белгісіздер аныKталады. Осыны ж_йелеп айтайыK. АйталыK, сызыKтыK теSдеулер ж_йесі берілсін:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (7)
Бірінші кезеS:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415деп есептейміз ( егер 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 болса, онда 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-діS коэффициенті н™лден ™згеше теSдеуді бірінші жазамыз). 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-ді жетекші коэффициент, ал осы коэффициенті бар теSдеуді жетекші теSдеу деп атайды.
Бірінші теSдеуден басKа барлыK теSдеуден 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 белгісізді жойып, (1) ж_йені т_рлендіреміз. Ол _шін бірінші теSдеудіS екі жаCын да 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-ге к™бейтіп, ж_йеніS екінші теSдеуіне м_шелеп Kосамыз. Бaдан кейін бірінші теSдеудіS екі жаCын 13 EMBED Equation.DSMT4 1415-ге к™бейтіп, _шінші теSдеуге Kосамыз. Осы процесті жалCастыра отырып, эквивалентті ж_йе аламыз:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (8)
МaндаCы 13 EMBED Equation.DSMT4 1415бірінші адымнан кейінгі жаSа коэффициенттер.
ЖоCарыдаCыдай, басты элемент 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 деп есептеп,бірінші ж‰не екінші теSдеулерден басKа барлыK теSдеуден 13 EMBED Equation.DSMT4 1415белгісізін жоямыз, т.с.с.
Егер еS соSында сатылы ж_йе _шбaрыш т_ріне келсе, онда бaл ж_йеніS бір Cана шешімі болады:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Осы теSдеуден 13 EMBED Equation.DSMT4 1415ді табамыз, бaныS алдындаCы теSдеуден 13 EMBED Equation.DSMT4 1415ді табамыз, ‰рі Kарай ж_йе бойынша жоCары Kарай к™теріліп, KалCан барлыK белгісіздерді
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 табамыз.

БаKылау сaраKтары:
1.Екінші ж‰не _шінші ретті аныKтауыштар дегеніміз не?
2.АныKтауыштыS Kандай Kасиеттері бар?
3.АныKтауыштыS миноры дегеніміз не? АлгебралыK толыKтауыш дегеніміз не?
4.ЖоCарCы ретті аныKтауыштар Kандай ‰діспен есептеледі?
5.Матрица дегеніміз не? МатрицаныS ™лшемі дегеніміз не?
6.Тікбaрышты, квадратты, бірлік матрицалар дегеніміз не?
7.Jандай матрицалар ™зара теS болады?
8.Транспорленген матрица дегеніміз не?
9.МатрицаларCа сызыKтыK амалдар Kалай орындалады?
10.МатрицаларCа Kолданылатын сызыKтыK амалдардыS Kандай Kасиеттері бар?
11.Бірлік матрицаныS Kандай Kасиеті бар?
12.МатрицаныS рангі дегеніміз не?
13. Кері матрица деп Kандай матрицаны айтады?
14. Біріктірілген матрица деп Kандай матрицаны айтады?
15.n белгісізі бар сызыKтыK теSдеулер ж_йесініS (СТЖ) шешімі дегеніміз не?
16.Jандай СТЖ _йлесімді ж‰не _йлесімсіз деп аталады?
17.Jандай СТЖ аныKталCан ж‰не аныKталмаCан деп аталады?
18.Эквивалентті (м‰ндес) СТЖ дегеніміз не?
19.Крамер ережесі Kандай формулалар?
20.Гаусс ‰дісі дегеніміз Kандай ‰діс?
21.Матрица ‰дісі дегеніміз Kандай ‰діс?
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native)ІEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeAEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeРисунок 59Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native