Методическая разработка Обучение методу аналогии
Обучение методу аналогии.
Слово аналогия в переводе с греческого означает соответствие, сходство. Аналогия- весьма эффективный эвристический инструмент познания. Поэтому целесообразно специально учить школьников применению метода аналогии.
Применение аналогии распадается на следующие действия: построение аналогов различных заданных объектов и отношений; нахождение
соответственных элементов в аналогичных предложениях; составление предложений или задач, аналогичных данным; проведение рассуждений по аналогии.
Уже в V-VI классах целесообразно подчеркивать аналогию между некоторыми плоскими и пространственными фигурами. Например, между прямоугольником и прямоугольным параллелепипедом, между квадратом и кубом. Полезно показать, что
сторона прямоугольника (отрезок) соответствует грани прямоугольного параллелепипеда, т. е. прямоугольнику. При этом противоположные стороны прямоугольника равны и противоположные грани прямоугольного параллелепипеда тоже равны. Аналогия между квадратом и кубом состоит в том, что у квадрата его измерения равны и у куба его измерения равны. Учащиеся могут и сами догадаться, что граням куба соответственны стороны квадрата. Все грани куба- равные квадраты, все стороны квадрата- равные отрезки.
При знакомстве с понятиями площадь и объем можно установить аналогию между единицами длины и единицами площади, между единицами объема и единицами площади. Одновременно следует обратить на сходство в формулировках понятий. Например, повторив с учащимися определение понятия квадратный сантиметр (квадратный сантиметр-это площадь квадрата со стороной 1см), можно попросить их самостоятельно дать определение понятию кубический сантиметр.
Учащиеся иногда затрудняются быстро и правильно ответить на вопросы типа: «Сколько квадратных сантиметров в 1 дм2? Сколько кубических сантиметров в 1 дм куб.?» Устранению таких трудностей способствует иллюстрация сходства между операциями перехода от линейной единицы измерения к квадратной или кубической. В обоих случаях вычисляется произведение одинаковых множителей, причем число множителей в произведении равно показателю при единице измерения: 1дм2 = 10х10см2, 1дм3 =10х10х10см3
Формировать умение составлять предложение, аналогичное данному, можно при изучении признаков делимости. Рассмотрев с учащимися признак делимости, например, на 3, следует предложить им самим сформулировать признак делимости на 9. Приведу примеры предложений, которые давал учитель (1)-(4), и те, что формулировали учащиеся по аналогии (1*)-(4*).
На 3 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 3.
На 5 делятся те и только те числа, в записи которых последняя цифра 0 или 5.
Число делится на 6, если оно делится на 2 и на 3.
На 4 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.
(1*)На 9 делятся те и только те числа, у которых сумма цифр делится на 9.
(2*) На 25 делятся те и только те числа, в записи которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 25.
(3*) Число делится на 8, если оно делится на 2 и на 4.
(4*) На 8 делятся те числа, у которых две последние цифры нули или образуют число, делящееся на 8.
Следует провести сравнение предложений, стоящих справа и слева в этом списке. Одновременно необходимо подчеркнуть, что если данные высказывания (1)-(4) истинны, то необязательно окажутся истинными высказывания, полученные из данных по аналогии. Учащиеся должны знать, что для установления ложности какого-либо утверждения достаточно привести хотя бы один пример, опровергающий его. Так высказывания (3*) и (4*) являются ложными: 12 делится на 2 и на 4, но не делится на 8; 100 и 164 не делятся на 8.
Теперь важно показать, что 4 можно представить в виде произведения двух одинаковых множителей (4=2х2), а 8 в виде произведения трех одинаковых множителей (8=2х2х2). Установив такое различие, учащиеся могут заметить, что в утверждении (4) рассматриваются такие числа, у которых количество последних цифр-нулей равно числу простых множителей в разложении числа 4. Это наблюдение поможет сформулировать истинное утверждение вместо (4*): на 8 делятся те числа у которых три последние цифры нули или образуют число делящееся на 8.
При изучении темы «Сложение десятичных дробей» метод аналогии можно использовать для того, чтобы подвести учащихся к формулировке правила сложения десятичных дробей. Для этого нужно параллельно рассмотреть сложение натуральных чисел и сложение десятичных дробей (так как это показано в табл.№1).
Таблица 1
Натуральные числа
949+835
Десятичные дроби
95,37+101,4
Подписываем слагаемое одно под другим так, чтобы одинаковые разряды слагаемых находились друг под другом.
949
+
_ 835_
1784
95,35
+
_101,40_
196,75
Выполняем сложение поразрядно, начиная с единиц низшего разряда.
Богатым материалом для обучения приему аналогии располагает геометрия. В начале изучения курса геометрии основное внимание следует уделить выделению соответственных элементов из аналогичных задач или теорем. Например, рассмотрим две пары задач:
Докажите, что у равнобедренного треугольника биссектрисы, проведенные из вершин при основании, равны (§ 3, №20 (1)).
Докажите равенство треугольников по двум сторонам и медиане, исходящим из одной вершины (§ 3, №38).
Докажите, что у равнобедренного треугольника медианы, проведенные из вершин при основании, равны ((§ 3, №20 (2)).
Докажите равенство треугольников по медиане и углам, на которые медиана разбивает угол треугольника (§ 3, №40).
Для биссектрисы в задаче №20 (1) соответственным элементом в задаче №20 (2) является медиана. В задачах второй пары соответственными элементами оказались: две стороны, исходящие из одной вершины (№38), - два угла, на которые медиана разбивает угол треугольника (№40). Указанные задачи полезно решить непосредственно друг за другом, оформляя решение «параллельно», т.е. с левой стороны - одно решение, с правой – другое. Разобрав решения, следует подчеркнуть, что каждый шаг одного из них можно перенести в другое, применив его к соответственным элементам.
Умение применять аналогию нужно поддерживать от класса к классу пользуясь любыми возможностями. Так, при решении задачи об углах при основании равнобокой трапеции следует вскрыть ее сходство с теоремой об углах при основании равнобедренного треугольника. Полезно записать «параллельно» оба доказательства так, как это показано в табл. 2.
Таблица 2.
Терема 3 из § 3
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
Задача №53
Доказать, что углы при каждом основании равнобокой трапеции равны. .
Доказательство
Пусть АВС равнобедренный треугольник (АС=СВ). Из вершины С проведем высоту CD.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
Пусть АВСD – равнобокая трапеция (АС=СВ). Из вершин D и С проведем высоты DЕ и СF.
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
·АСD =
·ВСD по катету и гипотенузе (СD – общая, АС=СВ по условию).
Отсюда:
· А =
· В.
·АDЕ =
·ВСF по катету и гипотенузе (DЕ = СF), так как АВ
·СD; АD=СВ по условию).
Отсюда:
· А =
· В и
· АDЕ =
· ВСF;
· АDС =
· АDЕ+90
· отсюда
· DСВ =
· ВСF +90
· следует,
что
· АDС =
· DСВ
Задачи, аналогичные данным, учащиеся могут составлять самостоятельно и решать их.
Изучение свойств параллелепипеда значительно облегчается, если использовать следующие аналогии с параллелограммом:
Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его измерений.
Диагонали прямоугольника равны.
Противоположные стороны параллелограмма суть равные отрезки.
Диагонали параллелограмма в точке их пересечения делятся пополам.
противоположные углы параллелограмма равны и т.д.
Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений.
Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны.
Противоположные грани параллелепипеда суть равные параллелограммы.
Диагонали параллелепипеда в точке их пересечения делятся пополам.
5. Противоположные двугранные углы параллелепипеда равны. Противоположные трехгранные углы параллелепипеда неравновелики и т.д.
Мы уже говорили о том, что умозаключения по аналогии могут приводить как к верным заключениям, так и к ошибочным; это часто является источником неверных действий учащихся. Упрочению их способствует обычно и формальное усвоение материала. Особенно много таких ошибок учащиеся допускают в курсе алгебры. Поэтому полезно сравнивать верные соотношения с неверными, например:
53=35, но 53
· 35;
·5
·а2 =
·5а2, но
·5+а2
·
·5+
·а2
ас = а, но а+с
· а (с не равно 0)
вс в в+с в
Доказательство того, что равенство нарушается, проще провести, подставив вместо букв числа и проведя нужные вычисления.
Среди учащихся распространены ошибки следующих типов:
а+с = а
b+с b
·а2+ b 2= а+ b; log (а+ b) = log а + log b и т.д.
Очевидно, эти ошибки вызваны аналогиями с теми случаями, когда в тех же преобразованиях вместо суммы аргументов берется их произведение:
ас = а
bс b
·а2 b 2= аb; log (аb) = log а + log b.
Здесь учащиеся забывают «о вероятном только» характере суждений по аналогии. Аналогия в результатах, вообще говоря, может лишь предполагаться , и проверка этих умозаключений по аналогии должна либо подтвердить, либо отвергнуть предположение.
Целесообразной реакцией учителя на подобные ошибки должно быть не указание вреде «зачеркнуть, это не верно!» и только, а исследование, проверка правильности этих выражений. Проверка облегчается тем, что для опровержения неверных аналогий достаточно лишь установить противоречивость выражения хотя бы для одного случая.
Пример: Пусть а=100; b=10. Тогда
log (100+10)= log 110 = 2, <3; log 100 + log 10 = 2+1=3;
log (100+10)= log 100 + log 10.
Следовательно, и в общем случае неверно предполагавшееся тождество: log (а+ b) = log а + log b.
При изучении тригонометрии учащиеся нередко отождествляют выражения типа: m sin
· и sin m
· .
Эта ошибка возникает из-за уподобления символа sin (не числа, а знака функции) числу m, являющемуся коэффициентом соответственно при функции и аргументе.
Применение аналогии весьма полезно в процессе изучения математики, как и любой науки вообще. Предметы и явления действительности запечатлеваются и воспроизводятся не изолированно друг от друга, а в тесной связи друг и другом, группами и рядами. Аналогия же помогает сопоставлять и противопоставлять понятия, а новые сведения, понятия лучше усваиваются тогда, когда они вводятся не вне всякой связи с предыдущими, а в сравнении с ними, в установлении сходных и отличительных признаков.
Министерство образования и культуры Республики Калмыкия
Малодербетовская гимназия им. Б.Б. Бадмаева
Обучение методу аналогии.
Исполнитель:
учитель математики
Сарангова З.А.
с.Малые Дербеты, 2008 год.
15