Статья Использование укрупненных дидактических единиц при обучении решению задач на проценты

Ю.Е.СиневаИспользование укрупненных дидактических единиц при обучении решению задач на проценты.
Современное содержание математического образования направлено главным образом на интеллектуальное развитие школьников, формирование культуры и самостоятельности мышления.
Важным фактором в развитии мыслительных операций служат педагогические системы развивающего обучения. К такой системе относится методика обучения по технологии укрупнения дидактических единиц, концепция которой была создана П.М.Эрдниевым и его коллегами в 60-х годах. Одна из основных целей технологии – создание действенных и эффективных условий для развития познавательных способностей детей, их интеллекта и творческого начала, расширение математического кругозора.
В основу УДЕ положен следующий принцип: чтобы обучать ускоренно и при высоком уровне знаний, необходимо рассматривать целостные группы взаимосвязанных понятий.
Укрупненной дидактической единицей называют систему родственных единиц учебного материала, в которой симметрия, противопоставления, упорядоченные изменения компонентов учебной информации в совокупности благоприятствуют возникновению единой логико-пространственной структуры знания.[1]
УДЕ представляет собой «клеточку» учебного процесса, состоящего из логически различных элементов, обладающих информационной и структурной общностью, благодаря чему знания приобретают свойства устойчивости и сохранения в памяти, системности и двойственности (быстрого проявления) в многообразной учебной деятельности. [1]
Сущность УДЕ сводится к утверждению преимуществ совместного усвоения на одном уроке контрастных знаний, то есть совокупности взаимообратных задач.
Концептуальные положения технологии:
совместное и одновременное изучение взаимосвязанных вопросов программы;
метод деформированных упражнений, в которых искомым является не один, а несколько элементов;
решение прямой задачи и преобразование её в обратные или аналогичные;
усиление удельного веса творческих заданий.
Ключевой элемент технологии УДЕ – это упражнение, элементы которого рассматриваются на одном занятии:
решение обычной «готовой» задачи;
составление обратной задачи и её решение;
составление задачи, решение задачи, проверка решения с помощью обратной задачи, переход к родственному, но более сложному упражнению;
самостоятельное составление школьниками упражнений на основе сравнения и обобщения, индукции и аналогии.
В данной статье проиллюстрирована следующая идея: задачный материал школьного курса математики может быть преобразован в форму, удовлетворяющую требованиям теории и методики УДЕ.
Приведем группу заданий на выполнение процентных расчетов и покажем, что она образует УДЕ по определению данному П.М.Эрдниевым.
Задание 1. [4]
За хорошую учебу своего сына мама и папа решили купить ему новый компьютер. Первоначальная стоимость компьютера 20 000 рублей. Семье повезло дважды: воскресная скидка 5% и новогоднее предложение – скидка 10%. Определите цену товара после двух понижений: сначала на 5%, а потом на 10%.
Решение.
Поскольку первое понижение составляет 5%, то после понижения стоимость компьютера составит 95% от первоначальной стоимости. Воспользуемся правилом нахождения процента от числа.
20 000 · 95100 = 19 000 (руб.) – стоимость компьютера после первого понижения цены.
Значит, после второго понижения стоимость составит 90% от уже пониженной цены
19 000 · 90100 = 17 100 (руб.) – стоимость компьютера после второго понижения цены.
Ответ: после двух понижений стоимость компьютера составит 17 100 рублей.
Задание 2.
Составьте задачу, обратную предыдущей и решите её.
Для составления обратной задачи удобно использовать таблицу. В нашем случае таблица будет выглядеть следующим образом:
Начальная стоимость компьютера Процент воскресной скидки Цена после первого понижения стоимости Процент новогодней скидки Конечная стоимость
Прямая 20 000 5 % ? 10 % ?
Обратная 1 ? 5 % ? 10 % 17 100
Обратная 2 ? 5 % 19 000 ? 17 100
Обратная 3 ? 5 % 19 000 10 % ?
Обратная 4 20 000 ? 19 000 ? 17 100
Обратная 5 20 000 ? 19 000 10 % ?
Опираясь на данную таблицу, можем сформулировать 5 обратных задач. Сформулируем и решим одну из них.
Обратная 1. За хорошую учебу своего сына мама и папа решили купить ему новый компьютер. Семье повезло дважды: воскресная скидка 5% и новогоднее предложение – скидка 10%. После двух понижений (сначала на 5%, а потом на 10%) стоимость компьютера составила 17 100 рублей. Какова начальная стоимость компьютера?
Решение.
Для решения этой задачи пользуемся правилом нахождения числа по его проценту. Сначала найдем стоимость после первого понижения, а потом и первоначальную стоимость.
17 100 · 10090 = 19 000 (руб.) – стоимость после первого понижения цены.
19 000 · 10095 = 20 000 (руб.) – начальная стоимость.
Ответ: начальная стоимость компьютера 20 000 рублей.
Задание 3.
По таблице составьте прямую и обратную задачи. Решите прямую задачу и проверьте её решение с помощью обратной задачи. Заполните пропуски в таблице.
Число, составляющее 100 % Процент повышения Число после повышения
Прямая 15 % 920
Обратная Примером прямой задачи может служить следующая задача: В результате увеличения производительности труда на 15 % завод стал выпускать 920 изделий в месяц. Сколько изделий в месяц выпускал завод раньше? [1, №12]
Решение. За 100 % принимаем первоначальное количество выпускаемых в месяц изделий. Тогда 100% + 15% = 115% приходится на 920 изделий.
920 ∙100%115% = 800 (изд.) – первоначальный выпуск.
Ответ: раньше завод выпускал 800 изделий в месяц.
Обратная: Завод выпускал 800 деталей в месяц. Сколько изделий будет выпускать завод после повышения производительности труда на 15%?
Решение.
За 100% принимаем первоначальное количество выпускаемых в месяц изделий, то есть 800 изделий. Тогда 100% + 15% = 115% приходится на количество изделий после повышения производительности труда.
800 ∙115%100% = 920 (изд.) – будет выпускать завод после увеличения производительности труда.
Ответ: после увеличения производительности труда завод будет выпускать 920 изделий в месяц.
Задание 4. [3, №11]
В одном магазине на товар установили цену 200 р., в другом аналогичный товар стоит 180 р.
а) на сколько процентов в первом магазине цена на товар выше, чем во втором?
б) на сколько процентов во втором магазине цена ниже, чем в первом?
Решение.
200 – 180 = 20 (р.) – разница цен.
а) За 100% принимаем 180 р.: 20 ∙100%180 ≈ 11,1% - на столько процентов цена в первом магазине выше, чем во втором.
б) За 100% принимаем 200р.: 20 ∙100%200 ≈ 10% = на столько процентов цена во втором магазине ниже, чем в первом.
Задание 5. [2,№1]
Известно, что товар x на 15% дороже товара y. Можно ли считать, что товар y на 15% дешевле товара x?
Решение.
Стоимость товара Х составляет 115% от стоимости товара У, то есть Х=1,15У.
Стоимость же товара У в свою очередь составляет 85% от стоимости Х : У = 0,85 · 1,15У = 0,9775У.
Таким образом, получили неверное равенство У = 0,9775У. Следовательно, если первый товар дороже второго на 15% нельзя считать, что второй товар дешевле первого на 15%.
Ответ: нельзя.
Нетрудно увидеть, что цикл из 5 упражнений образует УДЕ, т.к.
Имеется стандартная вычислительная задача (№1);
Имеется задача, обратная данной (№2);
Присутствует требование сформулировать задачу (№2, №3);
Присутствуют аналогичные задачи (№3 аналогична №1 и №2);
Присутствуют факты, из которых один является обобщением другого (№5 обобщает №4).
С формальной точки зрения определение УДЕ выполняется.
В качестве ожидаемых результатов работы с применением УДЕ можем выделить следующие моменты:
сокращение учебного времени;
увеличение общего количеств усваиваемой школьником информации;
усвоение материала происходит всегда с опережением во времени при более высоком качестве усвоения;
снижение нагрузки на ученика;
развитие у учеников не только памяти, мышления и внимания, но и воображения.
Несомненный плюс этой системы состоит в том, что через преобразование, изменение, обобщение, сравнение ранее пройденного идёт активное повторение. А это - залог прочности знаний, экономия времени, увеличение объёма подачи. За счёт широкого применения принципов, реализующих УДЕ, постигаются азы логического мышления. Применение УДЕ позволяет значительно усилить развивающую функцию обучения, повысить интеллектуальный уровень учащихся.
Освоение технологии УДЕ обеспечивает повышение качества усвоения большего объёма программных знаний за меньшее время, что является здоровьесберегающим фактором обучения учащихся, даёт возможность интегрировать предметы разных образовательных областей для создания целостной картины окружающего мира.
Библиографический список.
Ляшевская, Н. Задачи на процентные вычисления [Текст] // Математика. – 1998. - №46. – С. 26-32.
Севрюков, П.Ф. Маленькие хитрости в решении задач на доли и проценты [Текст] // Математика в школе. – 2011. - №9. – С. 30-34.
Сукова, Н. Тема урока «Проценты и семейная математика» [Текст] // Математика. – 2009. - №12. – С.35-36.
Эрдниев, П.М., Эрдниев, Б.П. Укрупнение дидактических единиц в обучении математики [Текст]. – М.: Просвещение, 1986. – 255 с.