Решение квадратных уравнений с параметром

Министерство образования и науки Самарской области
Государственное автономное образовательное учреждение дополнительного профессионального образования (повышения квалификации) специалистов
САМАРСКИЙ ОБЛАСТНОЙ ИНСТИТУТ ПОВЫШЕНИЯ КВАЛИФИКАЦИИ
И ПЕРЕПОДГОТОВКИ РАБОТНИКОВ ОБРАЗОВАНИЯ
Итоговая работа
На курсах повышения квалификации
«Методические особенности обучения решению задач с параметром в условиях перехода к новым образовательным стандартам».
По ИОЧ ВБ 13.03.2017г-17.03.2017г
по теме:
« Квадратные уравнения с параметрами»

Выполнила:
Тихонова Надежда Викторовна,
Преподаватель математики
БГПОУ Сызранский «политехнический колледж»
Сызрань 2017 г.
. КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ПАРАМЕТРАМИ
Уравнение вида ax2+bx+c=0, где a, b, c – числа, причем а≠0 называется
квадратным уравнением.
а – первый коэффициент, b – второй коэффициент, с – свободный член.
Например:
а) 2х2– 3х + 0,7 = 0
б) -0,9 х2+ 8 – 2 1/6х=0
Найти a, b, c?
Решим уравнение ax2+bx+c=0
а) если а=0, то уравнение имеет вид bx+c=0. Тогда x=-c|b
б) если а≠0, то уравнение имеет:
1) 2 различных корня х1≠х2, если Д>0,
2) 2 равных корня х1=х2, если Д=0
3) не имеет корней, если Д<0.
Рассмотрим примеры.
Пример №1. При каких значениях уравнение имеет 2 корня?
2х2+6х+b=0
Уравнение квадратное.
Найдем Д=36-4*2*b=36-8b. По условию задачи уравнение имеет 2 корня,
значит Д>0.
Решим неравенство 36-8b>0
-8b>-36
b<4,5.
Ответ: при b<4,5.
Пример № 2. При каких значениях имеет один корень?
3х2-6х+2v=0
Уравнение квадратное. Д=36-4*3*2v=36-24v.
Так как уравнение имеет один корень, то Д=0.
36-24v=0
24v=36
V=1,5.
Пример № 3. При каких t уравнение не имеет корней?
2x2-15x+t=0
Уравнение квадратное. Д=225-4*2t=225-8 t По условию Д<0, то
225-8t<0
-8t<-225
t>281/8.
Ответ: при t>281/8/
Пример № 4.
При каких значениях m равно один из корней уравнения равен нулю. х2 – 2х + 2m – 3 = 0
Решение: Если х = 0, то имеем:
02 – 2 .0 + 2m – 3 = 0
2m = 3
m = 1,5
Проверим, не равняется ли второй корень уравнения нулю.
х = 0
х = 2
х2 – 2х = 0
Ответ: m = 1,5
При решении квадратного уравнения с параметрами контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0. Дело в том, что если этот коэффициент равен нулю, то уравнение превращается в линейное и решается по соответствующему алгоритму; если же этот коэффициент отличен от нуля, то имеем квадратное уравнение, которое решается по иному алгоритму. Дальнейшее решение зависит от дискриминанта.
Пример №.5
Решить уравнение х2 – (2р + 1)х + (р2 + р – 2) = 0
Решение: Здесь коэффициент перед х2 отличен от нуля, значит данное уравнение при любых значениях параметра является квадратным. Найдем дискриминант:
D = (2р + 1)2 – 4∙1(р2 + р – 2) = (4р2 + 4р + 1) – (4р2 + 4р – 8) = 4р2 + 4р + 1 – – 4р2 – 4р + 8 = 9
D > 0, значит квадратное уравнение имеет два решения
х1 = р + 2
х2 = р – 1
Ответ: при любых значениях р х1 = р + 2; х2 = р – 1
Пример № 6.
Решить уравнение рх2 +( 1 – р)х – 1 = 0
Решение: Мы не можем утверждать, что данное уравнение является квадратным. Рассмотрим контрольные (точки) значения р = 0, имеем два случая.
Если р=0, то получается уравнение вида 0∙х2 + х – 1 = 0, которое является линейным и имеет корень х = 1
Если р ≠0, то уравнение является квадратным, можно применять формулы корней квадратного уравнения.
D = (1 – р)2 – 4∙.р .(-1) = 1 – 2р + р2 + 4р = (1+ р)2
х1 = 1
х2 = –
Ответ: при р = 0 х = 1; при р ≠0 х1 = 1 х2 = –
Пример № 7
Решить уравнение: (а – 1)х 2 + 2(2а + 1)х + (4а + 3) = 0
Решение: здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х2 обращается в 0.
Если а – 1 = 0, а = 1, уравнение имеет вид 0∙ х2 + 6х + 7 = 0 и является линейным. Корнем этого уравнения является х =
Если а–1 ≠ 0, а ≠ 0, уравнение является квадратным. Найдем его дискриминант.
D = (2∙(2а + 1))2 – 4(а – 1)(4а + 3) = 4(4а2 + 4а + 1) – 4(4а2 – а – 3) = 4(5а + 4)
Дальнейшие рассуждения зависят от значения дискриминанта.
Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней; если D = 0, то уравнение имеет один корень, если D > 0, то уравнение имеет два корня.
Дискриминант обращается в нуль при а = – (можно сказать, что это – второе контрольное значение параметра; при переходе через него происходит качественное изменение уравнения – меняется число корней уравнения).Если а < – , то D < 0 и следовательно, квадратное уравнение не имеет корней.
Если а > – , то если D > 0 и, значит квадратное уравнение имеет два корня:
х1 =
х2 =
Если а = – , то D = 0, то уравнение имеет единственное решение
х =
Ответ: при а = 1, х = – ;
при а = –, х = ;
при а < –, корней нет;
при а > –, х1 =
х2 =
Иногда задания сформулированы так, что искать корни нет необходимости.
Пример №8
При каких значениях m ровно один из корней х2+(m+3)х +|m| – 3 = 0
уравнения равен нулю.
Решение. Если нуль является корнем уравнения, квадратный трехчлен х2+(m+3)х +|m| – 3 при х = 0 обращается в нуль. 02+(m+3) .0 +|m| – 3 = 0
|m| – 3 = 0 m1 = 3 m2 = –3
Найдем второй корень при найденных значениях m.
Если m=3, то уравнение принимает вид х2+6х = 0; х1 = 0 х2 = –6
Если m= –3, то уравнение принимает вид х2 = 0, которое имеет два кратных корня, равных нулю.
Ответ: при m = 3
Пример №9
Сколько корней имеет уравнение 3х (х – 1) 2 = kх в зависимости от значения параметра k ?Решение: 3х (х – 1) 2 = kх3х (х – 1) 2 – kх = 0
х (3(х – 1) 2 – k) = 0
Один корень есть всегда – х0 = 0
Исследуем 3х 2 – 6х + 3 – k = 0
D = 32 – 3(3 – k) = 3k
а) Если k = 0, существует один корень х = 1;
б) Если k > 0, существуют два корня х1 = х2 = , но необходимо исследовать случай, когда один из корней равен 0. Это так, если k = 3;
в) Если k < 0, корней нет.
Ответ: уравнение 3х (х – 1) 2 = kх имеет при
1) k > 0
k ≠ 3 три корня;
2) k = 0 два корня
3) k = 3 два корня
4) k < 0 один корень.