Презентация по математике на тему Решение простейших линейных и квадратных уравнений с параметром

Проект по теме «Простейшие линейные неравенства и уравнения с параметрами». «Расположение корней квадратного трехчлена». Выполнили: Езерская Лидия, Филатова АлинаНаучный руководитель: Халтурина Е.Ю. Цель работы: «углубить» и систематизировать свои знания по теме «Задачи с параметрами». Задачи: рассмотреть простейшие уравнения и неравенства, содержащие параметр, выделить алгоритм решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметром. .актуальность работы :- задачи с параметрами есть в заданиях ГИА и ЕГЭ, а также часто встречаются на вступительных экзаменах в ВУЗы; - именно эти задания вызывают у учащихся наибольшие затруднения и даже страх;- задачи с параметрами играют важную роль в формировании логического мышления и математической культуры учащихся;- задачи с параметрами – это материал для настоящей научно – исследовательской работы Простейшие уравнения и неравенстваИногда в уравнениях некоторые коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.Пример: ax+b=c.В этом уравнении х – неизвестное, a, b,c – коэффициенты, которые могут принимать различные числовые значения. Заданные таким образом коэффициенты называются параметрами. Решить уравнение с параметрами – это значит:1.  Указать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и сколько их при разных значениях параметров.2.  Найти все выражения для корней и указать для каждого из них те значения параметров, при которых это выражение определяет корень уравнения. Решить уравнение Пример №1. ax=2Решение:если а=0,то 0х=2, решений нет.2) если а≠0,то х= aа=0 а≠0𝟐а 




Решение:(а -2 )(а+2)х=а+21) если а=2, то 0▪х=4, нет решения;2) если а= -2, то 0▪х=0,х-любое число;3) если а≠2, а≠-2,то х = ,Пример №2. (а2-4)х=а+2Ответ:



Пример №3. (а2 – b2) х = а-b Решение: (а – b)(a+b)х = а-b1) если a=b,то 0х=0,то х- любое число2) если а =-b, тогда 0х=-2b, b≠0 решений нет.3) если а≠ b,т.е. , тогда



Пример №4Дробно-рациональное уравнение, сводящееся к линейному уравнению.ОДЗ:х≠0, х≠-1(а-1)(х+1)= ха, ах+а-х-1=ах, х=а-1.Т.к. х≠0, то а-1≠0, а ≠ 1.х≠-1, то а-1≠-1, а ≠ 0Если а=0, то , нет корней Если а=1,тоОтвет:а=0 и а=1-нет корней; а ≠ 1, а ≠ 0, х=а-1




Для каждого значения а решите неравенство Решение: (x2 – 1)(x-a) Нули функции : f(x)=(x-1)(x+1)(x-a) a, -1, 1 Сколько случаев?Рассмотрим, когда a< -1 < 1 -1< a <1 a=11< a a=-1 Запишите решение? Чтобы решить неравенство с параметром нужно для всех значений параметра найти множество решений неравенства.


Для каждого значения а решите неравенство Решение: (x2 – 1)(x-a) f(x)=(x-1)(x+1)(x-a) ---- -1 --- 1 + х а -1 1 х --- + --- + --- -1 + 1 + х+--- -1 + 1 --- а + х--- -1 + а ---- 1 х Пример №2. + -- +Ответ:а х 1 а х а 1 х ++++++____








Пример №4.++--++--++-а 0 х0 -а х-а=0х









Решение квадратных уравнений с параметром.Решить уравнение с параметром-это значит определить, при каких допустимых значениях параметров уравнение 1) имеет решения;2) не имеет решения;3)установить количество решений;4)найти вид каждого решения при соответствующих ему значениях параметров. Задача №1.При каких а корни уравнения ах2-(2а+1)х+3а-1=0 больше 1?Задача №2.При каких значениях параметра а корни уравнения (3а+2)х2+(а-1)х+4а+3=0 удовлетворяют условию x 1< -1< x2 < 1?Задача №3При каких а корни уравнения х2-2(а-1)х+2а+1=0 Имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4? Задача №2.При каких значениях параметра а корни уравнения (3а+2)х2+(а-1)х+4а+3=0 удовлетворяют условию -1 + -- + а + -- + x 1< -1< x2 < 1?а&3𝒂+2∙6𝒂+6<0&3𝒂+2∙8𝒂+4>0 




Задача №2.При каких а корни уравнения ах2-(2а+1)х+3а-1=0 больше 1?D =(2a+1)2-4▪а ▪(3a-1)=-18a2+8a+1, D≥0, -18a2+8a+1 ≥ 0 |▪(-1) , 18a2-8a-1≤0,a▪ f(1)>0, a(a-(2a+1)+3a-1)>0, а▪(a-1)>0x0>1, - 001xxx+ --- ++ --- + +Ответ:







Проанализируем условие:1.k=1,нет контрольного значения2. корни уравнения имеют разные знаки.Значит, по теореме Виета 2а+1<03. оба корня по абсолютной величине меньше 4,т.е. │ Х1│<4 и │ Х2│<4 . Получаем условие Задача №3При каких а корни уравнения х2-2(а-1)х+2а+1=0 Имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?Х1Х2Х-4●●4у При каких а корни уравнения х2-2(а-1)х+2а+1=0 Имеют разные знаки и оба по абсолютной величине меньше 4?1.D≥0, D=(2(а-1))2 -4(2а+1)-4(2а+1)=4а2 -8а+4-8а-4=4а2 -16а, 4а (а-4)≥02.f(-4)>0, 16-2(а-1)(-4)+2а+1>0 , а>-0,93. f(4)>0, 16-2(а-1)(4)+2а+1>0, а<4. 2а+1<0 а<5. -4< Х0 <5, -3<a<5 Ответ: (-0.9; -0,5)04-0,9-0.5-35++----------------------------------------------------------------------------------------------------------










ВыводПри выполнении работы были решены поставленные задачи:  рассмотреть простейшие уравнения и неравенства, содержащие параметр, выделить алгоритм решения линейных и квадратных уравнений и неравенств с параметром. Задачи с параметром развивают исследовательские способности, учат творчески мыслить, помогают сформировать и развить творческое мышление. Нельзя сказать, что были рассмотрены все методы решения линейных уравнений. Работа над данной темой будет продолжена.