Теоремы об углах образованных двумя параллельными прямыми и секущей
Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей. Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. а в А В 1 2 1 = 2 c Доказательство: A
B C D M N 1 2 A
B C D M N 1 2 K O Пусть прямые АВ и СD параллельны, МN — их секущая.Докажем, что накрест лежащие углы 1 и 2 равны между собой. Допустим, что 1 и 2 не равны. Проведем через точку О прямую КF.Тогда при точке О можно построить KON, накрест лежащий и равный 2. Но если KON = 2, то прямая КF будет параллельна СD. Получили, что через точку О проведены две прямые АВ и КF, параллельные прямой СD. Но этого не может быть. Мы пришли к противоречию, потому что допустили, что 1 и 2 не равны. Следовательно, наше допущение является неправильным и 1 должен быть равен 2, т. е. накрест лежащие углы равны. F Теорема:Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны. а в А В 1 2 1 = 2 Доказательство:
2 а в А В 3 1 Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ, то накрест лежащие 1 и 3 будут равны. 2 и 3 равны как вертикальные.Из равенств 1 = 3 и 2 = 3 следует, что 1 = 2.Теорема доказана Теорема: Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°. а в А В 3 1 1 + 3 = 180° Доказательство: Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей АВ, то соответственные 1 и 2 будут равны, 2 и 3 – смежные, поэтому 2 + 3 = 180°.Из равенств 1 = 2 и 2 + 3 = 180° следует, что 1 + 3 = 180°.Теорема доказана.
2 а в А В 3 1 Решение: 1. Пусть Х – это 2, тогда 1 = (Х+70°), т.к. сумма углов 1 и 2 = 180°, в силу того, что они смежные. Составим уравнение: Х+ (Х+70°) = 180°2Х = 110 °Х = 55° (Угол 2)2. Найдем 1.55° + 70° = 125°3. 1 = 3, т.к. они вертикальные. 3 = 5, т.к. они накрест лежащие. 125° 5 = 7, т.к. они вертикальные. 2 = 4, т.к. они вертикальные. 4 = 6, т.к. они накрест лежащие. 55° 6 = 8, т.к. они вертикальные. Задача №1: A
B 4 3 5 8 7 2 1 6 Условие: найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных A и B секущей C, если один из углов на 70° больше другого. Решение: 1. Т.к. 4 = 45°, то2 = 45°, потому что 2 =4(как соответственные)2. 3 смежен с 4, поэтому 3+4=180°,и из этого следует, что 3= 180° - 45°= 135°.3. 1 = 3, т.к. они накрест лежащие. 1 = 135°.Ответ: 1=135°; 2=45°; 3=135°. Задача №2: A
B 1 Условие: на рисунке прямые А II B и C II D, 4=45°. Найти углы 1, 2, 3. 3 2 4 Решение: 1. 1=2, т.к. они вертикальные, значит 2= 45°.2. 3 смежен с 2, поэтому 3+2=180°, и из этого следует, что 3= 180° - 45°= 135°.3. 4 + 3=180°, т.к. они односторонние. 4 = 45°.Ответ: 4=45°; 3=135°. Задача №3: A
B 2 Условие: две параллельные прямые А и B пересечены секущей С. Найти, чему будут равны 4 и 3, если 1=45°. 3 4 1