Презентация по математике на тему Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.
Цель урока:Формирование представлений о дифференциальных уравнениях первого порядка с разделенными и разделяющимися переменными.Формирование умений решения дифференциальных уравнений данных типов.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, их функцию и производные (дифференциалы) этих функций.Если независимая переменная одна, то уравнение называется обыкновенным; если же независимых переменных две или больше, то уравнение называется уравнением в частных производных.Наивысший порядок производной, входящей в уравнение, называется порядком дифференциального уравнения.

Примеры.1.Обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ)1-го порядка.2. ОДУ 2-го порядка.3.- Дифференциальное уравнение (ДУ) в частных производных 1-го порядка. Общий вид ДУ 1-го порядка:Если это уравнение можно разрешить относительно y′, то оно примет вид: y′=f(x,y) или dy=f(x,y)dx.Функция y(x) называется решением (или интегралом) дифференциального уравнения если при подстановке ее в уравнение обращает его в тождество.где x - независимая переменная, y(x) - неизвестная функция


Общее решение ДУ 1-го порядка y′=f(x;y): y=φ(x;C) Пример: общее решение:Всякое решение y=φ(x;C0), получающееся из общего решения y=φ(x;C) при конкретном значении С=С0, называется частным решением.Задача, в которой требуется найти частное решение уравнения y′=f(x;y), удовлетворяющее начальному условию y(x0)=y0, называется задачей Коши.


Разделяют несколько типов (видов) ОДУ:-Уравнения с разделяющимися переменными,-Однородные уравнения,-Линейные уравнения,-Уравнение в полных дифференциалах,-и т.д.График частного решения ДУ называется интегральной кривой.Общему решению ДУ соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.
ДУ 1-го порядка с разделёнными переменными. f(x)dx + g(y)dy = 0, Интегрируя, получим                          - общий интеграл (общее решение) этого уравнения. Пример: - общее решение




Пример : Решить уравнение ydy = xdx. Найти частное решение, удовлетворяющее условию y=4 при х=–2.Решение: Это уравнение с разделенными переменными. Интегрируя, находим общее решение уравнения: Для получения более простого по форме общего решения постоянное слагаемое в правой части представлено в виде С/2. Тогда у2= х2+СПодставив в общее решение значения y = 4 и х= –2, получим 16 = 4 + С, откуда С = 12.Итак, частное решение уравнения, удовлетворяющее данному условию, имеет вид у2 = х2+12.


ДУ 1-го порядка с разделяющимися переменными. f1(x)g1(y)dx + f2(x)g2(y)dy = 0