Сборник задач по математике экономического содержания

Задача 1.
Фирма состоит из двух отделений, суммарная величина прибыли которых в минувшем году составила 13 млн. р. На этот год запланировано увеличение прибыли первого отделения на 75%, а второго – на 140%. В результате суммарная прибыль фирмы должна вырасти в два раза.
Какова величина прибыли каждого из отделений 1) в минувшем году? 2) в текущем году?
Решение.
Обозначим через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]прибыль первого отделения и через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]прибыль второго отделения в минувшем году. Тогда условие задачи можно записать следующим образом:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решая систему из двух уравнений с двумя переменными, получи, что:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Следовательно,
1) прибыль в минувшем году у первого отделения 8 млн. р., у второго – 5 млн. р.,
2) прибыль в этом году у первого отделения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]млн. р., у второго – 12 млн. р.




Задача 2.
Перед торговым предприятием возникла проблема – в каком соотношении закупить товары А и В: можно закупить 5 единиц товара А и 8 единиц товара В – всего за 92 тыс. р., а можно, наоборот, закупить 8 единиц товара А и 5 единиц товара В.
Торговое предприятие остановилось на первом варианте, так как при этом экономится сумма, достаточная для закупки 2-х единиц товар А.
Какова цена товара А и товара В?
Решение.
Обозначим через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]соответственно стоимость единиц товаров А и В. тогда условие задачи можно записать так:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Решая эту систему, получаем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Следовательно, стоимость одной единицы товара А – 12 тыс. р., а цена товара В – 4 тыс. р.
Для решения следующей задачи потребуется объяснить смысл некоторых экономических терминов. А именно, что такое рыночное равновесие. Рыночное равновесие – это ситуация, при которой величина спроса равняется величине предложения.



Задача 3.
Функция предложения на некоторый товар имеет вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а функция спроса – q= -p +820
([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– количество товара (в шт.), а [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– цена товара (в тыс. р.).)
Найдите:
рыночное равновесие;
цену, при которой дефицит составит 494 тыс. р.
Решение.
1) Рыночное равновесие найдем, решив систему уравнений
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Отсюда получаем [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], или [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Следовательно, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], тогда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Итак, равновесная цена составляет 120 тыс. р. По этой цене будет приобретено 700 шт. продукции.
2) Поскольку при дефиците объем спроса превышает объем предложения на 494 тыс. р., то следует найти такую цену [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], при которой выполняется равенство:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Отсюда [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].




Задача 4.
Фирма приобрела на 30 тыс. у.д.ед. 30 предметов для оборудования своего офиса: некоторое количество офисных телефонов по 9,5 тыс. за телефон, компьютерных столов по 500 у.д.ед. за стол, офисных кресел по 250 у.д.ед. за кресло.
Какое количество единиц каждого вида оборудования было приобретено?
Задача 5.
Функция спроса на рынке некоторого товара имеет вид [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а функция предложения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Найдите:
рыночное равновесие;
выручку продавца при продаже товара в момент рыночного равновесия;
цену, при которой избыточное предложение составляет 420 усл. ед.





Можем также предложить Вашему вниманию задачи финансового характера, как пример прикладных задач, использующих аппарат простых и сложных процентов при построении математической модели.

Задача 6.
Вкладчик открыл счет и положил на него сумму в 25000 р. сроком на 4 года под простые (без капитализации) проценты по ставке 11,5 % годовых. Какой будет сумма, которую вкладчик получит при закрытии вклада? На сколько рублей вырастет вклад за 4 года? Чему равен коэффициент наращения (то есть на сколько процентов вырастет сумма вклада)?
Решение.
Обозначим через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– первоначальный капитал, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– процентная ставка, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– количество полных лет, [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]– сумма капитала с начисленными процентами на конец [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]-го года.
Тогда модель функционирования вклада путем начисления простых процентов будет выглядеть следующим образом:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Данная формула и будет выражать математическую модель данной экономической задачи.
Проведем расчеты, используя данные задачи. Так как [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], получаем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Сумма вклада через 4 года будет равна 36500 р., то есть вклад вырастет на 11500 р.
Коэффициентом наращения простых процентов называют отношение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Он показывает, во сколько раз вырос первоначальный вклад [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]за [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]лет хранения этой суммы в банке по схеме простых процентов с годовой ставкой [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]%.
В данном случае коэффициент наращения равен [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Задача 7.
Вкладчик внес на счет в банке 2700 долл. США. Банк выплачивает простые проценты по ставке 5,6 % годовых. Определите, какая сумма будет через 2 года 5 месяцев и 15 дней. На сколько процентов увеличится вклад?
Задача 8.
В банке получена ссуда в размере 40 тыс. долл. США на 8 лет на следующих условиях: для первых трех лет процентная ставка равна 28% годовых, на следующий год она увеличивается на 2%, и на последующие годы еще на 2,5%. Найдите сумму, которая должна быть возвращена банку по окончании срока ссуды при ежегодных начислениях сложных процентов.
(Сложный процент (или по-другому “процент на процент”) – это такое увеличение капитала, когда накопленная за первый период сумма прибавляется к первоначальной, то есть, говоря экономическим языком, первоначальная сумма капитализируется, и в новом периоде процент будет начисляться уже на новую, увеличенную сумму.)
Решение.
Разобьем весь срок на периоды равной годовой процентной ставки. В первый период идет начисление [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]% годовых, длина периода – [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]лет, потом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]лет идет начисление [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]годовых, и в третий период продолжительностью [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]года идет начисление [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и т.д. Тогда за первый период будет начислена следующая сумма:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ],
за второй и третий соответственно:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
и т.д.
Значит, по прошествии [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]лет наращенная сумма [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]равна
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
В нашей задаче три периода. В первый период идет начисление 28% годовых, длина периода – 3 года, потом 1 год идет начисление 30%, и в третий период – 4 года – идет начисление 32,5%. Тогда за первый период будет начислена следующая сумма:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
Сумма возврата равна 336,122 тыс. долл. США с точностью до доллара.
Задачи с экономическим содержанием являются практическими задачами. А их решение, бесспорно, способствует более качественному усвоению содержания курса математики средней школы, позволяет осуществлять перенос полученных знаний и умений в экономику, что в свою очередь, активизирует интерес школьников к задачам прикладного характера и изучению математики в целом. Такие задачи позволяют наиболее полно реализовывать прикладную направленность в обучении и способствуют более качественному усвоению самого учебного материала и формированию умения решать задачи данного типа.
Литература.
1. Абчук В.А. Экономико-математические методы: Элементарная математика и логика. Методы исследования операций, СПб.: Союз, 1999.
Начало формы

Конец формы


Конец формы











Сборник экономических задач

Arial Black