Презентация по алгебре на тему Тригонометрия
Аннотация Цифровой образовательный ресурс разработан в соответствии с Государственным образовательным стандартом и учебной программой дисциплины «Алгебра и начала анализа» по разделу «Тригонометрия».
Алгебра и начала анализа
Что означает название предмета «Алгебра и начала анализа?»Алгебра – один из разделов математики, изучающий свойства величин, выраженных буквами, независимо от их конкретного числового значения. Математический анализ – это совокупность частей математики,в которых главным объектом исследования является функция, аоперативная часть опирается на выполнение операций дифференцирования и интегрирования.Основоположники математического анализа:
ТригонометрияИстория возникновения тригонометрииСоотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольникаРадианное измерение угловСинус, косинус, тангенс и котангенс произвольного углаСвойства тригонометрических функций Основные тригонометрические тождестваФормулы приведенияФормулы тригонометрииТригонометрические функции их свойства и графикиОбратные тригонометрические функцииТригонометрические уравненияТригонометрические неравенства
Тригономе́трия (от греч. τρίγονο (треугольник) и греч. μετρειν (измерять), то есть измерение треугольников) — раздел математики, в котором изучаются тригонометрические функции и их приложения к геометрии. Данный термин впервые появился в 1595 г. как название книги немецкого математика Бартоломеуса Питискуса (Bartholomäus Pitiscus, 1561—1613), а сама наука ещё в глубокой древности использовалась для расчётов в астрономии, геодезии и архитектуре.
Эти ученые внесли свой вклад в развитие тригонометрииАрхимедФалесЖозеф Луи Лагранж
Тригонометрия возникла и развивалась в древности как один из разделов астрономии, как ее вычислительный аппарат, отвечающий практическим нуждам человека. С ее помощью можно определить расстояние до недоступных предметов и существенно упрощать процесс геодезической съемки местности для составления географических карт. Общепринятые понятия тригонометрии, а также обозначения и определения тригонометрических функция сформировались в процессе долгого исторического развития. Тригонометрические сведения были известны древним вавилонянам и египтянам, но основы этой науки заложены в Древней Греции встречающиеся уже в III веке до н.э. в работах великих математиков– Евклида, Архимеда, Апполония Пергского. Древнегреческие астрономы успешно решали вопросы из тригонометрии, связанные с астрономией.
Тригонометрия – математическая дисциплина, изучающая зависимость между сторонами и углами треугольника.Тригонометрические вычисления применяются практически во всех областях геометрии, физики и инженерного дела, при измерении расстояний до недалёких звёзд в астрономии, между ориентирами в географии, при контроле системы навигации, в теории музыки, акустике, оптике, электронике, теории вероятностей, статистике, биологии, медицине (включая ультразвуковое исследование (УЗИ) и компьютерную томографию), фармацевтике, химии, сейсмологии, метеорологии, океанологии, картографии, архитектуре, экономике, электронной технике, машиностроении, компьютерной графике.
авсСинус/ Косинус острого угла в прямоугольном треугольнике — отношение противолежащего/прилежащего катета к гипотенузе.Тангенс/Котангенс— отношение противолежащего/прилежащего катета к прилежащему/противолежащему.Соотношение между сторонами и углами прямоугольного треугольника
В XVIII веке Леонард Эйлер дал современные, более общие определения, расширив область определения этих функций на всю числовую ось.
Рассмотрим в прямоугольной системе координат окружность единичного радиуса и отложим от горизонтальной оси угол (если величина угла положительна, то откладываем против часовой стрелки, иначе по часовой стрелке). Точку пересечения построенной стороны угла с окружностью обозначим Р. 1Р
Вспомните как расположены четверти в прямоугольной системе координат и запишите соответствие градусных мер в каждой четверти.Вывод: Заполни таблицу: В каких четвертях расположены градусные меры{8A107856-5554-42FB-B03E-39F5DBC370BA}-99°-15°29°215°157°390°765°IIIIIIIV{8A107856-5554-42FB-B03E-39F5DBC370BA}-99°-15°29°215°157°390°765°+++++++
Измерение углов в градусахв радианах π 1º = ----- рад 180 180º 1 рад = —— π1 радиан ≈ 57,3º:где π ≈ 3,14180º = π или π = 180º.
ху11Синус, косинус, тангенс и котангенс произвольного угла
Синус угла определяется как ордината точки Косинус — абсцисса точки Тангенс – отношение ординаты к абсциссеточки Котангенс – отношение абсциссы к ординатеточки
(1; 0)(0; 1)(-1; 0)(0;-1)-хух(x; y)(-x; y)
{8A107856-5554-42FB-B03E-39F5DBC370BA}ГрадусыРадианы0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°sin асos atg actg aЗаполните таблицу:{8A107856-5554-42FB-B03E-39F5DBC370BA}0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22π01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-101√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-1010√3/31√3--√3-1-√3/30-0-√31√3/30-√3/3-1-√3-0-012340°30°45°60°90°sin acos a0°90°30°45°60°√n/2
Знаки синуса, косинуса, тангенса, котангенса в координатных четвертях++++++++--------Свойства тригонометрических функций
Четность, нечетность синуса, косинуса, тангенса, котангенсаНечетные функцииЧетная функция
Периодичность тригонометрических функцийПри изменении угла на целое число оборотовзначения синуса, косинуса, тангенса, котангенсане изменяются
Основные тригонометрические тождестваи то, что тригонометрия рассматривается на единичной окружностиЕсли учесть то, что
{8A107856-5554-42FB-B03E-39F5DBC370BA}π/2+аπ/2-аπ+аπ-а3π/2+а3π/2-а2π+а2π-аsin acos a tg actg a {8A107856-5554-42FB-B03E-39F5DBC370BA}π/2+аπ/2-аπ+аπ-а3π/2+а3π/2-а2π+а2π-аcos a cos a -sin asin a-cos a -cos a sin a-sin a-sin asin a-cos a -cos a sin a-sin acos a cos a -ctg a ctg a tg a-tg a-ctg a ctg a tg a-tg a-tg atg actg a -ctg a -tg atg actg a -ctg a Да - меняем или нет - не меняемЗнак данной функции в данной четверти 018090270360Формулы приведения
Формулы тригонометрииСложенияДвойного аргументаПреобразование суммы и разности в произведениеПреобразование произведения в сумму и разность Половинного аргумента
синусоидакосинусоидаТригонометрические функции их свойства и графики{8A107856-5554-42FB-B03E-39F5DBC370BA}Область определенияОбласть значенийЧетностьПериодичностьНули функцииЗнакопостоянство Монотонность
тангенсоидакотангенсоидаТригонометрические функции их свойства и графики{8A107856-5554-42FB-B03E-39F5DBC370BA}Область определенияОбласть значенийЧетностьПериодичностьНули функцииЗнакопостоянство Монотонность
Обратные тригонометрические функции
Обратные тригонометрические функции{5DA37D80-6434-44D0-A028-1B22A696006F}Градусырадианы0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°Sin аCos atg aCtg a{8A107856-5554-42FB-B03E-39F5DBC370BA}0π/6π/4π/3π/22π/33π/45π/6π3π/22π01/2√2/2√3/21√3/2√2/21/20-101√3/2√2/21/20-1/2-√2/2-√3/2-1010√3/31√3--√3-1-√3/30-0-√31√3/30-√3/3-1-√3-0-xаrcsin1/2=p/6 y11/2xаrccos1/2=p/3 y11/2
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические уравнения
Тригонометрические неравенстваarcsina+2pn p-arcsina+2pn sinx>ay1-1x;p-arcsina+2pn) (arcsina+2pn a>1, o
arcsina+2pn -p-arcsina+2pn sinx<ay1-1x(-p-arcsina+2pn; arcsina+2pn) a<-1, o Тригонометрические неравенства
arccosa+2pn -arccosa+2pn cosx>ay-11 x; arccosa+2pn) (-arccosa+2pn a>1, o Тригонометрические неравенства
arccosa+2pn 2p-arccosa+2pn cosx<ay-11 x; 2p-arccosa+2pn) (arccosa+2pn a<-1, o Тригонометрические неравенства
arctga+pn tgx>ayxp/2+pn) (arctga+pn; p/2-p/2++pnТригонометрические неравенства
arctga+pn tgx<ayx (-p/2+pn;arctga+pn)p/2-p/2-+pnТригонометрические неравенства
arсctga+pn сtgx>ayx (pn;arcсtga+pn) p0+pn+Тригонометрические неравенства
arсctga+pn сtgx<ayx (arcсtga+pn;p+pn) p0-+pnТригонометрические неравенства
arccos√2/2+2pn 2p-arccos√2/2+2pn сos2x<√2/2y-11 x; 2p-arccos√2/2+2pn) 2х (arccos√2/2+2pn Тригонометрические неравенства2х (р/4+2pn ; 2p-р/4+2pn) х (р/8+pn ; 7р/8+pn)
1. Учебная программа «Алгебра и начала анализа» для 10-11 классов.2.Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений «Алгебра и начала анализа». Под редакцией А. Н. Колмогорова.2.Тригономерия - это просто. Л.А. Домогацких.3. Алгебра 4. курс математики 2000 для школьников и абитуриентов, Москва,2000г4. Ресурсы интернета. Источники: