Разработка урока по теме Теорема Виета
ТЕМА: Теорема Виета
ЦЕЛЬ УРОКА: сформировать и доказать теорему Виета и теорему, обратную ей. Показать, как эти теоремы можно применять к решению задач. Ознакомить учащихся с зависимостью между корнями и коэффициентами, выработать у учащихся умение обобщить изученные факты, развивать логическое мышление, самоконтроль, умение следить за развитием мысли, воспитать сосредоточенность.
ТИП УРОКА: усвоение новых знаний, опорные конспекты
ОБОРУДОВАНИЕ: карточки с заданиями, опорный конспект
ХОД УРОКА
Организационный момент.
Проверка домашнего задания, анализ ошибок
Актуализация опорных знаний.
Назвать коэффициенты уравнений:
2х13 EMBED Equation.3 1415+3х-5=0 3) х13 EMBED Equation.3 1415-24х-20=0 5)х-2-х13 EMBED Equation.3 1415=0
4х13 EMBED Equation.3 1415-4х-15=0 4) 8-2х-х13 EMBED Equation.3 1415=0
Решите уравнение.
х13 EMBED Equation.3 1415-144=0 3) 2х13 EMBED Equation.3 1415-8х=0 5)6х13 EMBED Equation.3 1415=0
х13 EMBED Equation.3 1415-х=0 4) 3х13 EMBED Equation.3 1415+27=0 6) 2х13 EMBED Equation.3 1415=18
Решить уравнение и найти общий признак этих уравнений.
х13 EMBED Equation.3 1415+4х+4=0 3) х13 EMBED Equation.3 1415+6х-8=0
х13 EMBED Equation.3 1415+3х+2=0 4) х13 EMBED Equation.3 1415-11х+30=0
Изучение нового материала
1). Учащимся предлагается самостоятельно заполнить таблицу.
Уравнения
ах13 EMBED Equation.3 1415+bх+с=0 а=1
Корни уравнения x13 EMBED Equation.3 1415, x13 EMBED Equation.3 1415
Сумма корней
x13 EMBED Equation.3 1415+ x13 EMBED Equation.3 1415
Произведения корней x13 EMBED Equation.3 1415* x13 EMBED Equation.3 1415
х13 EMBED Equation.3 1415+4х+4=0
-2
-4
4
х13 EMBED Equation.3 1415-11х+30=0
5;6
11
30
х13 EMBED Equation.3 1415+2х-8=0
-4,2
-2
-8
х13 EMBED Equation.3 1415+3х+2=0
-2; -1
-3
2
2). Учащиеся замечают, что сумма корней равна II коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведения корней свободному члену.
Учитель формулирует теорему Виета и доказывает с помощью учащихся.
Каждое квадратное уравнение ах13 EMBED Equation.3 1415+bх+с=0 , а13 EMBED Equation.3 14150 равносильно произведенному квадратному уравнению 13 EMBED Equation.3 1415
Доказательство теоремы Виета. Сумма корней квадратного уравнения ах13 EMBED Equation.3 1415+bх+с=0 равна 13 EMBED Equation.3 1415, а произведение 13 EMBED Equation.3 1415
ах13 EMBED Equation.3 1415+bх+с=0
если D>0 то x13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 x13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415
x13 EMBED Equation.3 1415+ x13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
x13 EMBED Equation.3 1415* x13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
. Учитель формулирует и доказывает теорему, обратную теореме Виета: Если числа т и п таковы, что их сумма равна -р, а произведение равно то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения x13 EMBED Equation.3 1415+px+g=0.
Доказать.
т+п=-р х13 EMBED Equation.3 1415-(т+п)х+т*п=0
m*n=g х-тх-nс+тп=0
х(х-т)-п(х-т)=0
(х-п)(х-т)=0 - это уравнение равносильно x13 EMBED Equation.3 1415+px+g=0,
т и п корни x13 EMBED Equation.3 1415+px+g=0
Сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену со своим знаком.
Доказательство.
x13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
x13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
x13 EMBED Equation.3 1415+ x13 EMBED Equation.3 1415=-p
x13 EMBED Equation.3 1415* x13 EMBED Equation.3 1415 =13 EMBED Equation.3 1415=g
Учитель знакомит учащихся со свойством коэффициентов квадратного уравнения:
Если а+b+с=0, то x13 EMBED Equation.3 1415=1 Х2= 13 EMBED Equation.3 1415 для квадратного уравнения ах13 EMBED Equation.3 1415+bх+с=0 Доказательство.
а+b+с=0
b=-(а+с), подставим значение b в уравнение ах13 EMBED Equation.3 1415+bх+с=0.
Получим ах13 EMBED Equation.3 1415-(а+с)х+с=0
х13 EMBED Equation.3 1415-13 EMBED Equation.3 1415=0
х13 EMBED Equation.3 1415-(1+13 EMBED Equation.3 1415)x+13 EMBED Equation.3 1415=0
Согласно теореме Виета
x13 EMBED Equation.3 1415=1
x13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415
5) Учитель предлагает доказать самостоятельно дома следующее свойство квадратного уравнения: если а-b+с=0, то x13 EMBED Equation.3 1415=-1, x13 EMBED Equation.3 1415=-13 EMBED Equation.3 1415 для квадратного уравнения ах13 EMBED Equation.3 1415+bх+с=0.
6. Для закрепления этого материала учитель предлагает учащимся решить уравнения устно.
1). 2х13 EMBED Equation.3 1415-3х+1=0 3). 3х13 EMBED Equation.3 1415-2х-1=0
2). 4х13 EMBED Equation.3 1415-5х+1=0 4). 5х13 EMBED Equation.3 1415-х-6=0
Усвоение новых знаний.
Не решая уравнений, найти его корни.
. х13 EMBED Equation.3 1415-3х+2=0 3). х13 EMBED Equation.3 1415-3х-40=0
. х13 EMBED Equation.3 1415-х-20=0 4). х13 EMBED Equation.3 1415-х-12=0
Составить квадратное уравнение, корни которого равны: а) 2 и 4 б) -3 и 5 в) 2 и 2
Определить знаки корней уравнения (если они существуют), не решая уравнения.
а). х13 EMBED Equation.3 1415-4х+3=0 б). х13 EMBED Equation.3 1415-7х+10=0 в). х13 EMBED Equation.3 1415-6х+8=0
Останавливаю внимание учащихся на исследовании квадратного уравнения по коэффициентам.
x13 EMB
·ED Equation.3 1415+px+g=0
1). Если g>0, то x13 EMBED Equation.3 1415 и x2 корни одинаковых знаков или оба положительные или оба отрицательные
x13 EMBED Equation.3 1415* x13 EMBED Equation.3 1415 >0, то корни имеют знаки, противоположные знаку II коэффициента.
Нельзя изучить математику, оглядываясь, как это делает сосед. Необходимо дать возможность учащимся поработать самостоятельно. Работа по карточкам.
Выполнение письменных заданий самостоятельно.
Карточка 1.
Найти значение g, при котором уравнение имеет равные корни
l). x13 EMBED Equation.3 1415-14x+g=0
2). x13 EMBED Equation.3 1415+gx+25=0
Карточка 2.
Найти р и х, если
1). х13 EMBED Equation.3 1415+рх+25=0 и x13 EMBED Equation.3 1415=7 2). х13 EMBED Equation.3 1415+рх+21=0 и х13 EMBED Equation.3 1415=-3
Карточка 3.
Один из корней уравнения х13 EMBED Equation.3 1415-5х+с=0 равен 3. Найти с.
Карточка 4.
Известно, что 13 EMBED Equation.3 1415, где x13 EMBED Equation.3 1415 и x13 EMBED Equation.3 1415 корни уравнения х13 EMBED Equation.3 1415+х+5а=0.
Определить а.
Карточка 5.
Один из корней уравнения х13 EMBED Equation.3 1415+рх+8=0 равен 13 EMBED Equation.3 1415. Найти второй корень и коэффициент р.
Карточка 6.
Найдите корни уравнения х13 EMBED Equation.3 1415 и х13 EMBED Equation.3 1415 (х13 EMBED Equation.3 1415 х13 EMBED Equation.3 1415) и свободный член g,
если x13 EMBED Equation.3 1415-10x+g=0 и х13 EMBED Equation.3 1415-х13 EMBED Equation.3 1415 =14.
Карточка 7.
Известно, что х13 EMBED Equation.3 1415и х13 EMBED Equation.3 1415 -корни уравнения х13 EMBED Equation.3 1415-8х+6=0.
Не решая это уравнение вычислить:
а)13 EMBED Equation.3 1415 б) х13 EMBED Equation.3 1415 + х13 EMBED Equation.3 1415 в) х13 EMBED Equation.3 1415 * х13 EMBED Equation.3 1415
Коррекция учителя при решении заданий обязательна
Подвожу итог урока.
По праву достойна в стихах быть воспета о свойствах корней теорема Виета.
что лучше, скажи, постоянства такого: умножишь ты корни - и дробь уж готова: в числителе - с, в знаменателе - а, а сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда,
в числители - b, в знаменателе - а.
М.Б.Балк
2. Что необходимо помнить?
x13 EMBED Equation.3 1415+px+g=0 (*) - приведенное уравнение
Если х13 EMBED Equation.3 1415 и х13 EMBED Equation.3 1415 корни уравнения (*), то х13 EMBED Equation.3 1415 + х13 EMBED Equation.3 1415= -р,
х13 EMBED Equation.3 1415 * х13 EMBED Equation.3 1415=g (теорема Виета).
ах13 EMBED Equation.3 1415+bх+с=0 : если а+b+с=0, то х13 EMBED Equation.3 1415=1 , х13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
Если a-b+c=0, тo х13 EMBED Equation.3 1415=-1 , х13 EMBED Equation.3 1415= -13 EMBED Equation.3 1415
Домашнее задание.
Выучить §21. Выучить теорему Виета и теорему обратную к ней, свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Решить № 1005, 1016, 1017, 1008
И у большого по модулю знак
противоположный знаку
второго коэффициента Биквадратные уравнения
Приём экономии времени, обучения учащихся самоконтролю
х13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415х+13 EMBED Equation.3 1415=0
Квадратное уравнение общего вида
х13 EMBED Equation.3 1415+pх+g=0
Исследование по коэффициентам
g>0 – знаки корней одинаковы и противоположны знаку второго коэффициента
g<0 – знаки корней разные и у большего по модулю знак, противоположный знаку второго коэффициента
x=13 EMBED Equation.3 1415
Теорема Виета
x13 EMBED Equation.3 1415+ x13 EMBED Equation.3 1415=-p
x13 EMBED Equation.3 1415* x13 EMBED Equation.3 1415=g
ах13 EMBED Equation.3 1415+bх+с=0, а13 EMBED Equation.3 14150
b=0
ах13 EMBED Equation.3 1415+с=0
ах13 EMBED Equation.3 1415=-c
х13 EMBED Equation.3 1415=-13 EMBED Equation.3 1415
x=13 EMBED Equation.3 1415
b=0
c=0
ах13 EMBED Equation.3 1415=0
x=0
c=0
ах13 EMBED Equation.3 1415+bх=0
x(ax+b)=0
x=0 ax+b=0
x=-13 EMBED Equation.3 1415
х=13 EMBED Equation.3 1415
Исследование квадратного уравнения по дискриминанту
D=b13 EMBED Equation.3 1415-4ac
D>0 - x13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 x13 EMBED Equation.3 1415
D=0- x13 EMBED Equation.3 1415= x13 EMBED Equation.3 1415
D<0 корней нет
x=13 EMBED Equation.3 1415
(х-2)2-3(х-2)+2=0
x=13 EMBED Equation.3 1415
Теорема Виета
x13 EMBED Equation.3 1415+ x13 EMBED Equation.3 1415=-p
x13 EMBED Equation.3 1415* x13 EMBED Equation.3 1415=g
ах13 EMBED Equation.3 1415+bх13 EMBED Equation.3 1415+с=0
х13 EMBED Equation.3 1415=у
ау13 EMBED Equation.3 1415+bу+с=0
у=13 EMBED Equation.3 1415
x-2=у
y2-3y+2=0
у13 EMBED Equation.3 1415=1
x-2=1
x13 EMBED Equation.3 1415=3
y13 EMBED Equation.3 1415=2
x-2=2
x13 EMBED Equation.3 1415=4
Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native