Конспект урока алгебры на тему Теорема Виета

доказательство и применение теоремы виета
Цели: изучить теорему Виета; формировать умение ее применять.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Устная работа.
– Вычислите:
а) ; е) ;
б) ; ж) ;
в) ; з) ;
г) ; и) ;
д) ; к) .
III. Объяснение нового материала.
Объяснение проводится в несколько этапов.
1. «Открытие» теоремы Виета.
Целесообразно организовать исследовательскую работу. Для этого разбить учащихся на пять групп, каждой из которых дать решить приведенное квадратное уравнение. После его решения один представитель от каждой группы выходит к доске и заполняет строку в таблице.
Уравнение b c Корни Сумма корней Произведение корней
x2 – 3x + 12 = 0 x2 – x – 12 = 0 x2 + 5x + 6 = 0 x2 + 3x – 10 = 0 x2 – 6x – 7 = 0 После этого учитель предлагает учащимся сравнить сумму и произведение полученных корней с коэффициентами b и c и сделать предположение. Учитель подтверждает сделанное предположение, сообщая, что данное утверждение называется теоремой Виета, обращая при этом еще раз внимание учащихся, что эта теорема справедлива для приведенных квадратных уравнений.
Для доказательства теоремы можно привлекать учащихся, поскольку оно не является сложным. После доказательства на доску выносится запись:
Если х1 и х2 – корни уравнения
x2 + px + q = 0, то
x1 + x2 = –p, x1 ∙ x2 = q
Для первичного усвоения теоремы Виета можно предложить учащимся выполнить задание: найти сумму и произведение корней квадратного уравнения:
а) x2 + 7x – 2 = 0; г) x2 – x – 5 = 0;
б) x2 – 4x + = 0; д) x2 – 2x + 1 = 0;
в) x2 + 10x + 2 = 0; е) x2 + 3x + 5 = 0.
При выполнении этого задания учащиеся могут догадаться, что прежде чем применять теорему Виета, необходимо убедиться, что данное квадратное уравнение имеет корни. Если учащиеся не выскажут эту мысль, то при решении задания «е» предложить им найти дискриминант уравнения и сделать соответствующий вывод.
2. Формулы для неприведенного квадратного уравнения.
Используя теорему Виета, вывести соответствующие формулы для неприведенного квадратного уравнения. После этого на доску вынести запись:
Если х1 и х2 – корни уравнения
ax2 + bx + c = 0, то
x1 + x2 = –, x1 ∙ x2 =
3. Теорема, обратная теореме Виета.
Обратить внимание учащихся, что с помощью теоремы, обратной теореме Виета, появляется возможность находить корни квадратного уравнения подбором. Привести примеры.
IV. Формирование умений и навыков.
На этом уроке основное внимание следует уделить непосредственному применению теоремы Виета. Упражнения на нахождение корней подбором, то есть использование обратной теоремы, можно выполнить, если останется время.
1. № 513 (а, в, д).
2. № 514 (а, в, д), 515 (а, в, д).
3. Решите квадратное уравнение по формуле и сделайте проверку, используя теорему Виета:
а) x2 + 7x – 8 = 0; в) x2 – 4x – 5 = 0;
б) x2 – 5x – 14 = 0; г) x2 + 8x + 15 = 0.
4. № 516 (а, в).
5. Дополнительное задание: найдите подбором корни уравнения:
а) x2 – 11x + 28 = 0; д) x2 – 13x + 36 = 0;
б) x2 + 11x + 28 = 0; е) x2 – 15x + 36 = 0;
в) x2 – 3x – 28 = 0; ж) x2 + 20x + 36 = 0;
г) x2 + 3x – 28 = 0; з) x2 + 37x + 36 = 0.
V. Проверочная работа.
Вариант I
Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х1 и х2. Не находя их, найдите значения выражений x1 + x2 и x1 ∙ x2:
а) x2 – 7x – 9 = 0; в) 5x2 – 7x = 0;
б) 2x2 + 8x – 19 = 0; г) 13x2 – 25 = 0.
Вариант II
Каждое из следующих уравнений имеет по два корня: х1 и х2. Не находя их, найдите значения выражений x1 + x2 и x1 ∙ x2:
а) x2 + 8x – 11 = 0; в) 4x2 + 9x = 0;
б) 3x2 – 7x – 12 = 0; г) 17x2 – 50 = 0.
VI. Итоги урока.
Вопросы учащимся:
– Сформулируйте теорему Виета.
– Что необходимо проверить, прежде чем находить произведение и сумму корней приведенного квадратного уравнения?
– Как можно применить теорему Виета для неприведенного квадратного уравнения?
– В чем состоит теорема, обратная теореме Виета? Когда она применяется?
Домашнее задание: № 513 (б, г, е), 514 (б, г, е), 515 (б, г, е).
Дополнительно. Найдите подбором корни уравнения:
а) x2 – 12x + 27 = 0;д) x2 + 5x – 36 = 0;
б) x2 + 12x + 27 = 0; е) x2 + 9x – 36 = 0;
в) x2 – 6x – 27 = 0; ж) x2 – 16x – 36 = 0;
г) x2 + 6x – 27 = 0; з) x2 – 35x – 36 = 0.