Исследовательская работа по теме Теорема Виета

Городская научно – практическая конференция
«Путь к успеху»












Теорема Виета.
«Математика вокруг нас»










Автор:
Гордеева Ирина Сергеевна
8 класс
МБОУ «средняя общеобразовательная школа № 26»

Руководитель:
Кадочикова Юлия Николаевна
учитель математики, 1 категории
МБОУ «средняя общеобразовательная школа № 26»





г. Дзержинск
2012 год
Содержание.

Введение 3
Биография Франсуа Виета 5
Теорема Виета для квадратных уравнений 7
Теорема Виета для кубических уравнений 10
Применение теоремы Виета для решения уравнений с параметрами 12
Заключение 14
Литература 15

Введение.

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова:
В числителе c, в знаменателе a
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда –
В числителе b, в знаменателе a.
Александр Гуревич.

Уравнения в школьном курсе алгебры занимают ведущее место. На их изучение отводится времени больше, чем на любую другую тему. Действительно, уравнения не только имеют важное теоретическое значение, но и служат чисто практическим целям. Подавляющее число задач о пространственных формах и количественных отношениях реального мира сводится к решению различных видов уравнений. Овладевая способами их решения, мы находим ответы на различные вопросы из науки и техники (транспорт, сельское хозяйство, промышленность, связь и т. д.).
Квадратные уравнения изучаются в 8-м классе, где школьники тренируются на простых (иногда примитивных) задачах. Но затем, на рубеже 1011 классов и, особенно при изучении высшей математики, квадратные уравнения представляются как нечто само собой разумеющееся. При этом в коэффициентах зачастую возникают такие большие числа, что работать с ними большинство учеников просто не готовы.
Например, попробуйте решить уравнение: x2 + 27x
· 3240 = 0. Корни у него будут вполне нормальными, вот только дискриминант равен
D = 272
· 4·1·(
·3240) = 13689.
Ну и какое число надо возвести в квадрат, чтобы получить 13689? С помощью калькулятора все просто: 13689 = 1172. Но как догадаться об этом на экзамене или контрольной работе?
Теорема Виета помогает решать даже такие уравнения. Без всяких корней из пятизначных чисел схема работы остается прежней. В результате экономится фантастически много времени, ведь многие километровые уравнения оказываются почти устными!
Цель работы:
Рассмотреть теорему Виета для квадратных и кубических уравнений.
Задачи работы:
доказать теорему Виета для квадратных уравнений, рассмотреть её применение на примерах;
доказать теорему Виета для кубических уравнений, рассмотреть её применение на примерах;
рассмотреть применение теоремы Виета для уравнений, содержащих параметр.
Объект исследования - элементарная алгебра Предмет исследования применение теоремы Виета при решении уравнений. Выбор этой темы основывался на том, что уравнения есть как в программе начальной, так и в каждом последующем классе общеобразовательных школ, лицеев, колледжей. Многие геометрические задачи, задачи по физике, химии и биологии решаются с помощью уравнений. Уравнения решали двадцать пять веков назад. Они создаются и сегодня – как для использования в учебном процессе, так и для конкурсных экзаменов в вузы, для олимпиад самого высокого уровня.
Биография Франсуа Виета.

Франсуа Виет замечательный французский математик, положивший начало алгебре как науке о преобразовании выражений, о решении уравнений в общем виде, создатель буквенного исчисления.
Виет первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры, чем завершил развитие математики эпохи Возрождения и подготовил почву для появления результатов Ферма, Декарта, Ньютона.
Франсуа Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Фантене-ле-Конт. Отец Виета был прокурором. По традиции сын выбрал профессию отца и стал юристом, окончив университет в Пуату.
В 1671 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франции Генриха III.
Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код перехваченной переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников. Код был сложным, содержал до 600 различных знаков, которые периодически менялись. Испанцы не могли поверить, что его расшифровали, и обвинили французского короля в связях с нечистой силой.
К этому времени относятся свидетельства современников Виета о его огромной трудоспособности. Будучи чем-то увлечен, ученый мог работать по трое суток без сна.
В 1584 году по настоянию Гизов Виета отстранили от должности и выслали из Парижа. Именно на этот период приходится пик его творчества. Обретя неожиданный покой и отдых, ученый поставил своей целью создание всеобъемлющей математики, позволяющей решать любые задачи. У него сложилось убеждение в том, «что должна существовать общая, неизвестная еще наука, обнимающая и остроумные измышления новейших алгебраистов, и глубокие геометрические изыскания древних».
Виет изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры, в изданном в 1591 году знаменитом «Введение в аналитическое искусство». Однако главный замысел ученого замечательно удался: началось преобразование алгебры в мощное математическое исчисление. Само название «алгебра» Виет в своих трудах заменил словами «аналитическое искусство.
Основу своего подхода Виет называл видовой логистикой. Следуя примеру древних, он четко разграничивал числа, величины и отношения, собрав их в некую систему «видов». В эту систему входили, например, переменные, их корни, квадраты, кубы, квадрато - квадраты и т. д., а также множество скаляров, которым соответствовали реальные размеры длина, площадь или объем. Для этих видов Виет дал специальную символику, обозначив их прописными буквами латинского алфавита. Для неизвестных величин применялись гласные буквы, для переменных согласные.
Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, т. е. решить задачу в общем виде. Это положило начало коренному перелому в развитии алгебры: стало возможным буквенное исчисление.
Демонстрируя силу своего метода, ученый привел в своих работах запас формул, которые могли быть использованы для решения конкретных задач. Из знаков действий он использовал «+» и «-», знак радикала и горизонтальную черту для деления. Произведение обозначал словом «in». Виет первым стал применять скобки, которые, правда, у него имели вид не скобок, а черты над многочленом. Но многие знаки, введенные до него, он не использовал. Так квадрат, куб и т. д. обозначал словами или первыми буквами слов.
Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так: «Если В + D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D».
Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.
Глубокое знание алгебры давало Виету большие преимущества. Причем интерес его к алгебре первоначально был вызван приложениями к тригонометрии и астрономии. Не только каждое новое применение алгебры давало импульс новым исследованиям по тригонометрии, но и полученные тригонометрические результаты являлись источником важных успехов алгебры. Виету, в частности, принадлежит вывод выражений для синусов (или хорд) и косинусов кратных дуг.
В последние годы жизни Виет ушел с государственной службы, но продолжал интересоваться наукой. Известно, например, что он вступил в полемику по поводу введения нового, григорианского календаря в Европе. И даже хотел создать свой календарь.

Теорема Виета для квадратных уравнений.

Квадратным уравнением называется уравнение вида ax2 + bx + c =0, где х – переменная, а, b, c – некоторые числа, причем, а
· 0. Числа а, b, c – коэффициенты квадратного уравнения. Число а называют первым коэффициентом, b называют вторым коэффициентом, с – свободным членом.
Квадратное уравнение, в котором коэффициент при x2 равен 1, называют приведённым квадратным уравнением.
Теорема.
Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
Доказательство.
Рассмотрим квадратное уравнение вида ax2 + bx + c =0, где а
· 0. Приведём его к приведённому квадратному уравнении, путём деления на первый коэффициент а:
ax2 + bx + c = 0 | : а;
x2 + 13 QUOTE 1415x + 13 QUOTE 1415 = 0.
Введём обозначения: 13 QUOTE 1415 = p, 13 QUOTE 1415 = q. Тогда уравнение примет вид x2+px +q=0. Найдём дискриминант данного уравнения по формуле D = b2 – 4ac, т.е. D = p2 – 4q.
Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Если D
· 0, то уравнение имеет два действительных корня, которые вычисляются по формуле x1,2 = 13 QUOTE 1415. Подставим в формулу и получим:
x1,2 = 13 QUOTE 1415. Найдём корни уравнения:
x1 = 13 QUOTE 1415
x2 = 13 QUOTE 1415.
Найдём сумму и произведение корней:
x1 + x2 = 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = – p;
x1
·x2 = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = q.
Итак, получаем, что x1 + x2 = – p; x1
·x2 = q.
Итак, теорема доказана.
Вернёмся к нашим обозначениям 13 QUOTE 1415 = p, 13 QUOTE 1415 = q и получим, что если имеем полное квадратное уравнение, то x1 + x2 = –13 QUOTE 1415; x1
·x2 = 13 QUOTE 1415.
Рассмотрим примеры применения теоремы.

Пример 1.
Один из корней уравнения 5х2 – 12х + с = 0 в три раза больше за второй. Найдите с.
Решение
Пусть второй корень равен х2. Тогда первый корень х1 = 3х2. Согласно теореме Виета сумма корней равна х1 + х2 = 13 QUOTE 1415 = 2,4. Составим уравнение
3х2+х2 = 2,4;
4х2 = 2,4;
х2 = 0,6.
Тогда, х1+ х2 = 2,4;
х1+ 0,6 = 2,4;
х1 = 1,8.
Найдём коэффициент с используя теорему Виета: x1
·x2 = 13 QUOTE 1415 ;
1,8
· 0,6 = 13 QUOTE 1415;
c = 1,08
· 5;
c = 5,4.
Ответ. c = 5,4.

Пример 2
Известно, что х1 и х2 – корни уравнения х2 – 8х + p = 0, причём 3х1 + 4х2 = 29. Найдите p.
Решение
Согласно теореме Виета х1 + х2 = 8, а по условию 3х1 + 4х2 = 29. Составим систему уравнений:
х1 + х2 = 8;
3х1 + 4х2 = 29;
х1 = 8 – х2;
3(8 – х2) + 4х2 = 29;
24 – 3х2 + 4х2 = 29;
24 + х2 = 29;
х2 = 5.
Тогда х1 = 8 – х2 = 8 – 5 = 3.
Применяя теорему Виета x1
·x2 = p; р = 5
· 3 = 15.
Ответ. Р = 15.

Пример 3
Не вычисляя корней уравнения 3х2 + 8х – 1 = 0, найдите х14 + х24.
Решение
Выпишем коэффициенты уравнения a = 3, b = 8, c = – 1. Согласно теореме Виета x1 + x2 = –13 QUOTE 1415; x1
·x2 = 13 QUOTE 1415.
Подставим и получим:
x1 + x2 = –13 QUOTE 1415;
x1
·x2 = 13 QUOTE 1415.
Найдём х14+х24 = (х12 + х22)2 – 2х12х22 = ((х1 +х2)2 – 2х1х2)2 – 2(х1х2)2 = ((– 13 QUOTE 1415)2 – 2
· (– 13 QUOTE 1415))2 – 2
· (– 13 QUOTE 1415)2 = (13 QUOTE 1415 + 2
· 13 QUOTE 1415)2 – 2
· 13 QUOTE 1415 = (13 QUOTE 1415)2 – 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 13 QUOTE 1415 = 6013 QUOTE 1415.
Ответ. х14+х24 = 6013 QUOTE 1415.

Теорема Виета для кубических уравнений.

Кубическим уравнением называется уравнение вида ax3 + bx2 + cx + d = 0, где х – переменная, а, b, c, d – некоторые числа, причем, а
· 0. Числа а, b, c, d – коэффициенты кубического уравнения.
Докажем теорему Виета для кубического уравнения.
Пусть дано уравнение ax3 + bx2 + cx + d = 0 и x1, x2, x3 – корни данного уравнения. Тогда левую часть уравнения можно разложить на множители:
ax3 + bx2 + cx + d = a(x – x1)(x – x2)(x – x3) | : a;
x3 + 13 QUOTE 1415x2 + 13 QUOTE 1415x + 13 QUOTE 1415 = (x – x1)(x – x2)(x – x3);
x3 + 13 QUOTE 1415x2 + 13 QUOTE 1415x + 13 QUOTE 1415 = (x2 – x1x – x2x + x1x2) (x – x3);
x3 + 13 QUOTE 1415x2 + 13 QUOTE 1415x + 13 QUOTE 1415 = x3 – x1x2 – x2x2 + x1x2x – x3x2 + x1x3x + x2x3x – x1x2x3;
x3 + 13 QUOTE 1415x2 + 13 QUOTE 1415x + 13 QUOTE 1415 = x3 – (x1x2 + x2x2 + x3x2) + ( x1x2x + x1x3x + x2x3x) – x1x2x3;
x3 + 13 QUOTE 1415x2 + 13 QUOTE 1415x + 13 QUOTE 1415 = x3 – (x1 + x2 + x3)x2 + (x1x2 + x1x3 + x2x3)x – x1x2x3.
Но два многочлена тождественно равны в том и только в том случае, когда коэффициенты при одинаковых степенях равны. Отсюда следует, что выполняется равенство
– (x1 + x2 + x3) = 13 QUOTE 1415;
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 13 QUOTE 1415;
x1x2x3 = – 13 QUOTE 1415.
x1 + x2 + x3 = – 13 QUOTE 1415;
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 13 QUOTE 1415;
x1x2x3 = – 13 QUOTE 1415.
Рассмотрим примеры применения теоремы.

Пример 4
Напишите кубическое уравнение, корни которого являются квадратами корней уравнения x3 – 3x2 + 7x + 5 = 0.
Решение.
Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2 и x3. Тогда по формулам Виета имеемx1 + x2 +x3 = 3,
x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7,
x1x2x3 = – 5.
Корни искомого уравнения обозначим буквами y1, y2, y3, а его коэффициенты буквами b1, b2, b3, положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны выполняться равенства y1 = 13 QUOTE 1415, y2 = 13 QUOTE 1415, y3 = 13 QUOTE 1415 и поэтому
b1 = – (y1 + y2 + y3) = – (13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415),
b2 = y1y2 + y1y3 + y2y3 = 13 QUOTE 1415+ 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415,
b3 = – y1y2y3 = – 13 QUOTE 1415 .
Но имеем
13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = (x1 + x2 +x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) = 9 – 2·7 = – 5,
13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 + 13 QUOTE 1415 = (x1x2 + x1x3 + x2x3)2 – 2x1x2x3(x1 + x2+x3)= 49 – 2·3·(– 5) = 79,
13 QUOTE 1415 = (x1x2x3)2 = (– 5)2 = 25.
Значит, b1 = 5, b2 = 79, b3 = – 25, и потому искомое уравнение имеет вид
y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.
Ответ: y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.


Применение теоремы Виета при решения уравнений с параметрами.

Пример 5
xІ – (2a + 1) x + aІ + 2 = 0, при каком значении а один корень в 2 раза больше другого.
Решение.
Выпишем коэффициенты данного уравнения a = 1, b = – (2a + 1), c = a2 + 2. Применим теорему Виета для данного уравнения
D>0;
x1+x2 = 2a + 1;
x1x2 = aІ + 2.
Пусть х1 = 2х2. Тогда система примет вид:
(2а + 1)2 – 4(а2 + 2) > 0;
2х2 + x2 = 2a + 1;
2х2
· x2 = aІ + 2;
(2а + 1)2 – 4(а2 + 2) > 0;
4а2 + 4а + 1 – 4а2 – 8 > 0;
4a – 7 > 0;
4a > 7;
a > 13 QUOTE 1415;
a > 113 QUOTE 1415.
2х2 + x2 = 2a + 1;
3x2 = 2a + 1;
2х2
· x2 = aІ + 2;
213 QUOTE 1415 = a2 + 2.
Получаем систему:
a > 113 QUOTE 1415;
3x2 = 2a + 1;
213 QUOTE 1415 = a2 + 2;
3x2 = 2a + 1;
x2 = 13 QUOTE 1415.
2
·(13 QUOTE 1415)2 = a2 + 2;
2
· 13 QUOTE 1415 = a2 + 2;|
· 13 QUOTE 1415
4а2 + 4а + 1 = 13 QUOTE 1415 a2 + 9;
4а2 + 4а + 1 – 4,5а2 – 9 = 0;
– 0,5а2 + 4а – 8 = 0; |
· (–2)
a2 – 8a + 16 = 0;
(a – 4)2 = 0;
a – 4 = 0;
a = 4.
Подставим и найдём корни уравнения x2 = 13 QUOTE 1415;
x2 = 13 QUOTE 1415 = 3.
х1 = 2х2;
х1 = 2
· 3 = 6.
Вернёмся к системе
a > 113 QUOTE 1415;
a = 4;
x2 = 3;
х1 = 6. Отсюда получаем, что а = 4.
Ответ. a = 4

Пример 6.
При каком значении а сумма кубов корней уравнения х2 – х – а = 0 будет
равна 19?
Решение.
Пусть х1 и х2 корни квадратного уравнения, тогда теореме Виета имеем
13 EMBED Equation.3 1415
Тогда (х1 + х2)3 =13,
х13 + 3х12х2 +3х1х22 + х23 =1,
х13 + х23 = – 3х1х2(х1 + х2) +1,
19= 3а + 1,
а = 6.
Ответ: а=6.



Заключение.

Чтобы почувствовать всю силу теоремы Виета, взгляните на приведенные в работе задачи. Для сравнения попробуйте решить их по старинке, через дискриминант. Разницу почувствуете сразу же. Мной была установлена практическая важность теоремы Виета при решении нестандартных уравнений и простейших квадратных уравнений; выявили способы «бесформульного» решения квадратных уравнений.
Мы достаточно часто сталкиваемся с уравнениями, решение которых требует длинных вычислений, а иногда и эти вычисления не приносят успеха. И как следствие, возникает вопрос: а нельзя ли для этого уравнения найти простое, рациональное, короткое и изящное решение. Необходимо помнить, что каждая математическая задача требует индивидуального подхода. Не всегда полезно следовать общим алгоритмам, отклонение от них иногда приводит к более рациональному решению.
Теорема Виета играет огромную роль при решении квадратных уравнений. И все-таки польза от формул систем равенств, связывающих корни уравнений с их коэффициентами, есть. Есть хотя бы потому, что они содержат одну «подсказку», помогающую решать некоторые уравнения вообще без всяких формул (но уже не в уме, тут потребуется немало изобретательности и сообразительности). Полученные Виетом системы равенств, связывающие корни уравнений произвольной (не только второй!) степени с их коэффициентами, теперь называются теоремой Виета, и каждый ученик сегодня знает это имя. Какая высокая честь для ученого! Какая по-настоящему вечная память и слава! Стоит поразмышлять об этом... Исследования Виета дали совершенно новое направление работе своих современников, а алгебраические идеи его оказали сильнейшее влияние на европейскую науку, он прославился обобщением алгебры.

Литература

В.Г.Болтянского и Н.Я.Виленкина «Симметрия в алгебре».
Никифоровский В.А. Из истории алгебры XVI – XVII веков. – М.: Наука, 1979.
РодионовЕ.М. Справочник по математике для поступающих в вузы: Решение задач с параметрами. – М.: МЦ «Аспект», 1992.
Чистяков В.Д. Рассказы о математиках. – Минск: Выш. шк., 1963.








13 PAGE \* MERGEFORMAT 141515




Root Entry