Число е. Второй замечательный предел

Число е. Второй замечательный предел
Шинасилова С.С.учитель математики РСФМСШИ
Рассмотрим последовательность an=1+1nn, n∈N (1)
Доказать: limn⟶∞1+1nn=e – второй замечательный предел
Доказательство:
По теореме Вейерштрасса последовательность имеет предел, если последовательность:
монотонная;
ограниченная.
Итак, сначала докажем монотонность последовательности (1).Монотонность: Нужно сравнить an и an+1.
an=1+1nn, an+1=1+1n+1n+1, n∈N; Для этого, рассмотрим последовательность из n+1 чисел:
1+1n;1+1n;1+1n;…;1+1n; 1n чисел . В силу неравенства Коши имеем:
1+1n+1+1n+…+1+1n+1n+1>n+1(1+1n)n; Так как, n(1+1n)≠n равенство не выполняется.
n1+1n+1n+1>n+1(1+1n)n⇔n+2n+1>n+1(1+1n)n⇔1+1n+1>n+1(1+1n)n;
Возведем обе части последнего неравенства в n+1-ю степень.
1+1n+1n+1>1+1nn⇒an+1>an. Отсюда следует, что последовательность (1) монотонно возрастающая.
Теперь докажем, что (1) ограничена.
ограниченность: докажем,что 2≤1+1nn<3.
Очевидно, имеем 1+1nn≥2.
(1+1n)n=1+n1·1n+n(n-1)1·2·1n2+…+nn-1…n-n-11·2·3…·n·1nn;
(1+1n)n=2+11·21-1n+…+11·2·3…·n1-1n1-2n…1-n-1n;
1+1nn<2+11·2+11·2·3+…+11·2·3…·n<1+1+12+122+…+12n-1;
1+1nn<1+1+12+122+…+12n-1=1+1∙(1-12n)1-12=1+21-12n<3;
Итак, получили 2≤1+1nn<3, значит последовательность (1) ограничена.
Так как, (1) монотонна и ограничена, то по теореме Вейерштрасса она имеет предел. Это число обозначили буквой е. Число e≈2,7.
Следовательно, limn⟶∞1+1nn=e.
Примеры:
Вычислим пределы:
1.limn⟶∞1+3n4n=1∞==limn⟶∞1+1n3n34·3=limn⟶∞1+1n3n34·3=e12;
2.limn⟶∞(2n+12n-3)3n-1=1∞=limn⟶∞(2n-3+42n-3)3n-1==limn⟶∞(1+42n-3)3n-1=limn⟶∞1+12n-342n-343n-1·42n-3==limn⟶∞1+12n-342n-34limn⟶∞43n-12n-3=elimn⟶∞43n-12n-3=e4·32=e6;
3.limn⟶∞(2n+5n+3)4n=2∞=limn⟶∞(2+5n1+3n)4n=limn⟶∞(21)4n=∞Задания для самостоятельного выполнения
Вычислите пределы:
1.limn⟶∞1+3nn8. limn⟶∞(2n+32n+5)3n-12. limn⟶∞(3n-23n-1)7n9. limn⟶∞(4n+74n+1)n+23. limn⟶∞(3n-15n+3)2n10. limn⟶∞(3n+153n+1)n-14. limn⟶∞(6n-48n+3)-5n11. limn⟶∞1+1nn+25. limn⟶∞(2n+32n+1)3n-212. limn⟶∞n+1nn-16. limn⟶∞(3n+13n+4)2n-513. limn⟶∞1+1n-n7. limn⟶∞(3n+13n-2)2n+514. limn⟶∞n+1n2n