Опорный конспект по математике тему Тригонометрические уравнения

Решение тригонометрических уравнений

I Простейшие тригонометрические уравнения


1) sin t = a (a13 EMBED Equation.3 1415 [-1; 1] ) 2) cos t = a (a13 EMBED Equation.3 1415 [-1; 1] ) 3) tg t =a (a13 EMBED Equation.3 1415 R, т.е. решения есть всегда,
никаких частных случаев)
общая формула: общая формула: t =arctg a + Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z;

t = (- 1)k arcsin a + Пk, k13 EMBED Equation.3 1415 Z t = 13 EMBED Equation.3 1415 arccos a + 2Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z

частные случаи: частные случаи: 4) ctg t = a

1) sin t = 0 1) cos t = 0 t = arcctg a + Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z
t = Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z t = 13 EMBED Equation.3 1415 + Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z

·
2) sin t = 1 2) cos t = 1
t = 13 EMBED Equation.3 1415 + 2Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z t = 2Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z

3) sin t = –1 3) cos t = – 1
t = – 13 EMBED Equation.3 1415 + 2Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z t = П + 2Пn, n13 EMBED Equation.3 1415 Z


II Преобразование к квадратным



a
·sin2
·+ b
·sin
· + c = 0 a
·sin2
·+ b
·cos
· + c = 0 использование формул:
(Пусть sin
·= t,
·t
·
· 1 (используем формулы: cos2x = cos2x – sin2x =
тогда: a
·t2 + b
·t + c = 0 sin2
·= 1 – cos2
· или = 2 cos2x – 1 = 1– 2 sin2x
. ) cos2
·= 1– sin2
·) (пример: cos2x + sinx = 0)


III Разложение на множители
13 SHAPE \* MERGEFORMAT 1415
вынесение общего множителя использование формул суммы
за скобки (разности) тригонометрических функций

(пример: 13 EMBED Equation.3 1415 cosx = sin2x
·cosx ) (пример: sin7x = sinx)


IV Однородные уравнения


1ой степени: 2ой степени:

a
·sin
·+ b
·cos
· = 0 a
·sin2
·+ b
·sin
·
·cos
·+ c
·cos2
·= 0
(обе части уравнения делим на cos
·
· 0, (обе части уравнения делим на cos2
·
· 0,
получим: a
·tg
·+ b = 0) получим: a
·tg2
·+ b
·tg
·+ c = 0)