Урок математики по теме Линейные и квадратные неравенства

Линейные и квадратные неравенства (повторение) (3 ч)
У р о к 1
Цели: повторить формулы сокращенного умножения, научить применять их при упрощении выражений и разложении на множители; повторить определение линейного неравенства с одной переменной; вспомнить определение равносильных неравенств и правила преобразования неравенств и закрепить их знание в ходе выполнения упражнений.
Ход урока
I. Повторение изученного материала.
1. Повторить формулы сокращенного умножения и записать эти формулы на доске и в тетрадях.
2. Решить устно № 1.5 (а; б) и № 1.6 (а; б) из задачника.
3. Решить письменно с комментированием на месте № 1.5 (в; г) и № 1.6 (в; г) из задачника.
4. На доске и в тетрадях решить № 1.7 (в; г) из задачника.
Р е ш е н и е
в) (а – 3)(а + 4) – (а + 2)(а + 5) = а2 + 4а – 3а – 12 – а2 – 5а – 2а – 10 = = – 6а – 22
При а = – имеем – 6 · (–) – 22 = 1 – 22 = – 21.
г) (с + 2)2 – (с + 4)(с – 4) = с2 + 4с + 4 – с2 + 16 = 4с + 20
При с = – 0,25 имеем 4 · (– 0,25) + 20 = – 1 + 20 = 19.
5. Вспомнить способы разложения многочлена на множители. Решить № 8 (а) и № 13 устно на с. 6 задачника.
II. Работа с учебником.
1. Вспомнить определение линейного неравенства с одной переменной; записать в тетради: ах + в > 0 или ах + в < 0, где а и в – действительные числа (а ≠ 0).
2. Что называют решением неравенства f(х) > 0?
3. Решить устно № 1.1 (а; б) из задачника.
4. Повторить определение равносильных неравенств: два неравенства f(х) < q(x) и r(х) < s(х) называют равносильными, если они имеют одинаковые решения или оба неравенства не имеют решений.
5. По учебнику на с. 6–7 повторить правила 1; 2; 3, выражающие равносильные преобразования неравенств.
6. Разобрать по учебнику решение примера 1 на с. 8–9.
III. Выполнение упражнений.
1. Решить № 1.2 (а; в) на с. 13 задачника самостоятельно, а затем проверить решение.
а) 4а – 11 < а + 13
4а – а < 13 + 11
3а < 24
а < 24 : 3
а < 8
О т в е т: а < 8, или (–∞; +8). в) 8b + 3 < 9 b – 2
8b – 9b < – 2 – 3
– b < – 5
b > – 5 : (–1)
b > 5
О т в е т: (5; ∞).
2. Решить № 3 (а; в) на доске и в тетрадях.
а) < 0
15  < 0 · 15
5(5 – а) – 3(3 – 2а) < 0
25 – 5а – 9 + 6а < 0
а < – 16
О т в е т: а < – 16. в)

3(х + 7) > 4(5 + 4х)
3х + 21 > 20 + 16х
3х – 16х > 20 – 21
– 13х > – 1
х <
О т в е т: х < .
3. Решить № 1.4 (в; г). Двое учащихся самостоятельно решают на доске, остальные в тетрадях; затем проверяется решение.
в) 3х(3х – 1) – 9х2 ≤ 2х + 6
9х2– 3х – 9х2 ≤ 2х + 6
– 3х – 2х ≤ 6
– 5х ≤ 6
х ≥
х ≥ – 1,2
О т в е т: х ≥ – 1,2 или [– 1,2; ∞).г) 7с(с – 2) – с(7с + 1) < 3
7с2 – 14с – 7с2 – с < 3
– 15с < 3
с > – 3 : 15
с >
О т в е т: с > .
4. Повторение ранее изученного материала. Решить задачу № 42 на с. 10 задачника.
Пусть запланированная скорость пешехода равна х км/ч, тогда за 1,2 ч пешеход пройдет 1,2х км. Пешеход же шел со скоростью (х + 1) км/ч и за 1 ч прошел путь (х + 1) · 1 км. Длина пути пешехода одинакова. Составим и решим уравнение:
1,2х = (х + 1) · 1;
1,2х – х = 1;
0,2х = 1;
х = 1 : 0,2 = 5.
Длина пути равна 1,2 · 5 = 6 (км).
О т в е т: 6 км.
IV. Итог урока.
Домашнее задание: изучить по учебнику страницы 12–14; решить № 1.1 (в; г), № 1.2 (б; г), № 1.4 (а; б); № 1.3 (б; г).
У р о к 2
Цели: повторить определение квадратного неравенства и его решения; напомнить еще один способ рассуждений, который можно применять при решении неравенств, – это метод интервалов; упражнять учащихся в решении квадратных неравенств; развивать логическое мышление учащихся.
Ход урока
I. Устная работа.
1. Что называется квадратным неравенством с одной переменной х? Что называется решением неравенства f(х) > 0?
2. Разобрать решение примера 2 по учебнику на с. 9–10 (рис. 1).
3. Сформулировать два утверждения, применяемые при решении квадратных неравенств (при дискриминанте D < 0).
4. Записать в тетрадях теорему: квадратный трехчлен ах2 + bх + с с отрицательным дискриминантом при всех значениях х имеет знак старшего коэффициента а.
5. Разобрать решение примера 3 на с. 10 учебника и записать в тетради решение.
а) 2х2 – х + 4 > 0; D = – 31 < 0; а = 2, а > 0; значит, по теореме, при всех х выполняется неравенство 2х2 – х + 4 > 0.
О т в е т: (– ∞; + ∞).
б) – х2 + 3х – 8 ≥ 0; D = – 23 < 0; а = – 1, то есть а < 0. Тогда по теореме – х2 + 3х – 8 < 0. Значит, данное неравенство не имеет решений.
О т в е т: нет решений.
II. Выполнение упражнений.
1. Решить № 1.5 (а; б) на доске и в тетрадях.
а) х2 – 6х – 7 ≥ 0
х2 – 6х – 7 = 0
D = (– 6)2 – 4 · 1 · (– 7) = 64
х1 =
х2 =

О т в е т: х ≤ – 1, х ≥ 7. б) – х2 + 6х – 5 < 0
– х2 + 6х – 5 = 0
D = 62 – 4 · (– 1) · (– 5) = = 36 – 20 = 16
х1 =
х2 =

О т в е т: х < 1, х > 5.
2. Решить № 1.6 (в; г). Двое учащихся решают самостоятельно на доске, остальные – в тетрадях, затем проверяется решение.
в) 6х2 – 7х – 20 ≤ 0
6х2– 7х – 20 = 0
D = (– 7)2 – 4 · 6 · (– 20) = 529
х1 =
х2 =

О т в е т: ≤ х ≤ . г) 15х2 – 29х – 2 > 0
15х2 – 29х – 2 = 0
D = (– 29)2 – 4 · 15 · (– 2) = 961
х1 =
х2 =

О т в е т: х < ; х > 2.
3. Решить № 1.7 (в; г) с комментированием на месте.
в) 5х2 – 2х + 1 < 0
5х2 – 2х + 1 = 0
D = (– 2)2 – 4 · 5 · 1 = – 16 < 0
а = 5 > 0;
по теореме не имеет решений.
О т в е т: нет решений. г) – 7х2 + 5х – 2 ≤ 0
– 7х2 + 5х – 2 = 0
D = 52 – 4 · (– 5) · (– 2) = = – 31 < 0
а = – 7 < 0, тогда по теореме
х – любое число.
О т в е т: (– ∞; + ∞).
III. Работа по учебнику.
1. Вспомним еще один способ рассуждений, который можно использовать при решении неравенств. Разберем решение неравенства х2 – 6х + + 8 > 0 по учебнику на с. 10 (пример 4) по рис. 2.
2. Метод рассуждений, который мы применили в примере 4, называют обычно методом интервалов (или методом промежутков). Он активно используется в математике для решения рациональных неравенств.
3. Решить № 1.14 (а) и 1.10 (б) методом интервалов. Решение объясняет учитель.
1.14 (а) . Выражение имеет смысл, если подкоренное выражение неотрицательно, то есть (3 – х)(х + 7) ≥ 0. Отметим на числовой прямой числа 3 и – 7.
Если х < – 7, то 3 – х > 0 и х + 7 < 0.
Если – 7 ≤ х ≤ 3, то 3 – х > 0 и х + 7 > 0.
Если х > 3, то 3 – х < 0 и х + 7 > 0.
О т в е т: – 7 ≤ х ≤ 3, или [– 7; 3].
1.10 (б) Выражение имеет смысл, если 5х – х2 + 6 ≥ 0; – х2 + 5х + 6 = 0; D = 52 – 4 · (– 1) · 6 = 49; х1 = – 1; х2 = 6; тогда – (х + + 1)(х – 6) ≥ 0.

О т в е т: – 1 ≤ х ≤ 6.
4. Повторение ранее изученного материала.
1) Решить № 8 (в; г) на с. 6 самостоятельно с проверкой.
в)
г)
2) Решить № 11 (в; г) на с. 6 на доске и в тетрадях.в) 428 + 427 = 427 · (42 + 1) = 427 · 43 кратно 43;
г) 223 + 220 = 220 · (23 + 1) = 220 · 9 = 217 · (23 · 9) = 217 ·72 кратно 72.
IV. Итог урока. Выставление отметок.
Домашнее задание: решить № 8 (б) на с. 6 и № 1.15 на с. 14 задачника; решить № 1.5 (в; г), № 1.6 (а; б), № 1.7 (а; б).
У р о к 3
Цели: выработать навыки решения квадратных неравенств; рассмотреть на примерах решение неравенств с модулями; повторить и закрепить навык разложения многочлена на множители способом группировки.
Ход урока
I. Проверка домашнего задания.
1. Выборочно проверить домашние задания у некоторых учащихся.
2. Трое учащихся решают на доске задания по карточкам (с последующей проверкой):
1) решить неравенство х2 – 4х – 5 ≤ 0;
2) решить № 8 (в) на с. 6;
3) решить неравенство 3х2 – 6х + 8 ≤ 0.
II. Выполнение упражнений.
1. Решить на доске и в тетрадях.
б) f(х) = Областью определения выражения f(х) являются все значения х, при которых х2 – 9 > 0. Применим метод интервалов:
(х – 3)(х + 3) > 0; х = 3; х = – 3.

О т в е т: х < – 3; х > 3.
в) f(х) =
14 – 2х2 – 3х > 0;
– 2х2 – 3х + 14 = 0;
D = (– 3)2 – 4 · (– 2) · 14 = 9 + 112 = 121;
х1 = – 3,5;
х2 = 2.
– 2(х + 3,5)(х – 2) > 0

О т в е т: – 3,5 < х < 2.
2. Решить № 1.20 (а; б).
а) 2х2 + х < 2
2х2 + х – 2 < 0
2х2 + х – 2 = 0
D = 1 – 4 · 2 · (– 2) = 17
х1 =
х2 =

О т в е т: < х < б) 3 – х2 ≤ х – х2 – х + 3 ≤ 0
– х2 – х + 3 = 0
D = (– 1)2 – 4 · (– 1) · 3 = 13
х1 =
х2 =

О т в е т: х ≤
х ≥
3. Решить № 1.21 (б).
б)

х2 – 5 + 2х + 2 – 12 ≥ 0;
х2 + 2х – 15 ≥ 0;
х2 + 2х – 15 = 0;
х1 = – 5;
х2 = 3.
О т в е т: х ≤ – 5; х ≥ 3.
III. Изучение нового материала.
1. Напомним геометрическое истолкование выражения | х – а | – это расстояние на координатной (числовой) прямой между точками х и а, которое обозначают ρ(х; а). Применим это к решению неравенств с модулями.
2. Решить № 1.17 (б) и 1.19 (а). Решение объясняет учитель.
1.17 (б) | х – 2 | ≤ 3. Нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удалены от точки 2 на расстояние, меньшее или равное 5. Это все точки, принадлежащие отрезку [– 3; 7]:

1.19 (а) | 1 – х | > 2. Нужно найти на координатной прямой такие точки х, которые удалены от точки 1 на расстояние, большее 2.
О т в е т: х < – 1; х > 3.
3. Решить № 1.22 (а). Объясняет учитель.
а) | 4х + 3 | > 5
Р е ш е н и е
Имеем: 4 | х + | > 5; | х + | > Надо найти на числовой прямой все такие точки, которые удалены от точки () более чем на Получаем:

О т в е т: х < – 2; х >
4. Решить № 1.22 (б) на доске и в тетрадях.
б) 6 – | 3х + 1 | > 0;
– | 3х + 1 | > – 6;
| 3х + 1 | < 6;
3 | х + | < 6;
| х + | < 2.
Надо найти на числовой прямой все точки, которые удалены от точки () на расстояние, меньшее 2.

О т в е т: < х < .
IV. Повторение пройденного материала.
Вспомнить, в чем заключается способ группировки при разложении многочлена на множители.
1) Решить № 10 (в; г) на с. 6 задачника.
в) 9m2 – 9mn – 5m + 5n = (9m2 – 9mn) – (5m – 5n) = 9m(m – n) –– 5(m – n) = (m – n)(9m – 5);
г) 16ab2 + 5b2c + 10c3 + 32ac2 = (16ab2 + 32ac2) + (5b2c + 10c3) == 16a(b2 + + 2c2) + 5c(b2 + 2c2) = (b2 + 2c2)·(16a + 5c).
2) Решить № 12 (а) на с. 6 на доске и в тетрадях; № 12 (б) на с. 6 самостоятельно с проверкой.
а) 2,7 · 6,2 – 9,3 · 1,2 + 6,2 · 9,3 – 1,2 · 2,7 = (2,7 · 6,2 + 6,2 · 9,3) –– (9,3 · 1,2 + 1,2 · 2,7) = 6,2(2,7 + 9,3) – 1,2 · (9,3 + 2,7) = (2,7 + 9,3) ×× (6,2 – 1,2) = 12 · 5 = 60;
б) 125 · 48 – 31 · 82 – 31 · 43 + 125 · 83 = (125 · 48 + 125 · 83) – – (31 · 82 + 31 · 43) = 125 · 131 – 31 · 125 = 125(131 – 31) = 125 × 100 == 12500.
V. Итоги урока.
Домашнее задание: по учебнику изучить материал § 1 и записать в тетради решение примера 5 на с. 11; решить по задачнику № 10 (а; б) и № 12 (в; г) на с. 6; решить № 1.12; 1.22 (в; г) на с. 14–15.