Проект по математике Признаки делимости натуральных чисел

Актуальность.
При изучении на уроках математике темы: «Признаки делимости натуральных чисел» у меня возник интерес к исследованию чисел на делимость.
Не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. Деля натуральное число мы получаем остаток, допускаем ошибки, тем самым теряем время. Возникает необходимость, не выполняя деления установить, делится ли одно натуральное число на другое.
Гипотеза
Если можно определить делимость натуральных чисел на 2,3,5,9,10 то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другое число.
Объект исследования:
Делимость натуральных чисел
Предмет исследования:
Признаки делимости натуральных чисел
Цель:
Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел нацело, изучаемые в школе.
Задачи исследования:
Повторить признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе
Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел на 4,6,7,8,11,12,13,15,18,25,50,100.
Изучить дополнительную литературу о других признаках делимости натуральных чисел.
Систематизировать и обобщать признаки делимости натуральных чисел на 4,6,7,8,11,12,13,15,18,25,50,100.
Рассмотреть применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач.
Новизна:
В ходе выполнения проекта я пополнила свои знания о признаках делимости натуральных чисел.
Немного из истории:
Признаки делимости на 2,3,5,9,10 были известны с давних времён. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до н.э.
Признаки делимости на 2,3 и 5 были изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228)
Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами в теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы:
совершенных чисел (число, равное сумме своих делителей 6=1+2+3)
дружественных чисел ( каждое из ,которых равно сумме делителей другого , например: 220 и 284 (284= 1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110) и(220=1+2+4+71+142)
фигурных чисел
простых чисел и д.р

Признак Паскаля
Выдающийся французский математик и физик Блез Паскаль (1623-1662) еще в раннем возрасте вывел общий признак делимости чисел , из которого следует все частные признаки
Признак Паскаля: натуральное число А разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа А на соответствующие остатки , получаемые при деление разрядных единиц на число b делится на это число .
Признаки делимости натуральных чисел , полученных самостоятельно, изучая дополнительную литературу .
Выполняя действие деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий , я нашла закономерность и получила следующие признаки делимости:
Признак делимости на 4: если число, образованное двумя последними цифрами данного числа, делится на 4, то и само число делится на 4 без остатка.
Признак делимости на 8: если число, образованное тремя последними цифрами данного числа, делится на 8, то и само число делится на 8 без остатка.
Признак делимости на 6: если число делится и на 3 и на 2 , то и само число делится на 6 без остатка.
Признак делимости на 15: если число одновременно делится на 5 и на 3 и если оно заканчивает на 0 и на 5 и сумма цифр числа делится на 3, то и само число делится на 15.
Признак делимости на 25: если число оканчивается на 00,25,50,75, то и само число делится на 25 без остатка.
Признак делимости на 50: если число заканчивается на 00 или 50, то и само число делится на 50.
Из дополнительной литературы я нашла подтверждения правильности сформулированных мною признаков делимости натуральных чисел на 4,6,8,15,25,50.
Так же я нашла признаки делимости на 7,на 11,на 12,на 13. Все рассмотренные признаки я сформулировала в виде брошюры

Признак делимости на 7
Если последнюю цифру числа умножить на 2 и вычесть из числа, оставшегося без последней цифры и если получившееся число делится на 7, то и само число делится на 7. Число 1102283
1-й шаг: 110228-3*2 = 1102222-й шаг: 11022-2*2 = 110183-й шаг: 1101-8*2 = 10854-й шаг: 108-5*2 = 985-й шаг: 9-8*2 = -7. Делится на 7
Значит, 1102283 делится на 7
Признак делимости на 11
Если сумма цифр, занимающих нечетные места, либо равна сумме цифр, занимающих четные места, либо отличается от нее на число, делящееся на 11, то число делится на 11 без остатка.
Пример: 160369 (Сумма цифр, которые стоят на нечётных местах 1+0+6 = 7. Сумма цифр, которые стоят на чётных местах 6+3+9 = 18.
18 — 7 = 11. Делится на 11. Значит, число 160369 делится на 11).Ещё пример: 7527927 (7+2+9+7 = 25. 5+7+2 = 14. 25 — 14 = 11.Число 7527927 делится на 11).

Признак делимости на 12.
Если две последние цифры числа делятся на 4 и сумма цифр его делится на 3,то всё число делится на 12, без остатка.
Пример:
78864 (Две последние цифры — 64. Число, составленное из них, делится на 4; сумма цифр равна 7+8+8+6+4 = 33-делится на 3.) Значит, всё число делится на 12.
Еще пример:
76812(две последние цифры-12. Число, составленное из них,делится на 4;
сумма цифр равна 7+6+8+1+2=24,
(данное число делится на 3).
Значит, всё число делится на 12.
Признак делимости на 13
Если взять последнюю цифру числа, умножить ее на 4 и прибавить к числу, оставшемуся без последней цифры, и если получившееся число делится на 13, то и само число делится на 13, без остатка.
Пример:
Число 595166.
1-й шаг. 59516 + 6*4 = 59540
2-й шаг. 5954 + 0*4 = 5954
3-й шаг. 595 + 4*4 = 611
4-й шаг. 61 + 1*4 = 65
5-й шаг. 6 + 5*4 = 26. Делится на 13.
Применение признаков делимости при решении задач.
Задача:
Ученики 5 класса купили 203 учебника. Сколько было пятиклассников и сколько учебников купил каждый из них.
Решение:
Обе величины , должны быть целыми числами.
Разложим 203 на простые множители: 203=1*7*29. Учебников не может быть 29, так же число
учебников не может равняться 1,т.к. В этом случае учеников было бы 203. Значит 5 –ов 29 и каждый из них купил по 7 учебников.

Спасибо за внимание.