Факультатив по математике «Признаки делимости натуральных чисел»

Факультативные занятия по математике

«Итоговое повторение школьного курса математики» (10 класс)

Занятие № 1. Признаки делимости натуральных чисел

Основные определения, теоремы, формулы и опорные примеры

В некоторых случаях, не производя деление натурального числа 13 EMBED Equation.3 1415 на натуральное число 13 EMBED Equation.3 1415, можно ответить на вопрос, выполнимо ли деление 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415 без остатка или нет. Ответ на этот вопрос получается с помощью различных признаков делимости.
1. Делимость суммы. Если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Доказательство.13 EMBED Equation.3 1415
Так, не выполняя сложения, можно установить, что сумма 48+64+96 делится на 16 – ведь каждое слагаемое этой суммы делится на 16.
Не следует считать, однако, что если каждое слагаемое суммы не делится на какое-то число, то и сумма не делится на это число. Например, сумма 37 + 19 делится на 4, хотя ни 37, ни 19 ре являются кратными числа 4. Таким образом, сформулированное условие является достаточным, но не является необходимым, для делимости суммы 13 EMBED Equation.3 1415 на число 13 EMBED Equation.3 1415.
Делимость произведения. Если в произведении хотя бы один из сомножителей делится нацело на некоторое число, то и произведение делится на это число.
Доказательство.13 EMBED Equation.3 1415.
Так, не выполняя умножения, можно утверждать, что произведение 13 EMBED Equation.3 1415делится на 5 – ведь 105 делится на 5.
Как и в предыдущем случае, сформулированное условие является достаточным для делимости произведения 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415, но не является необходимым. Например, произведение 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 36, в то время, как ни 12, ни 18 на 36 не делятся.

2. Признаки делимости на числа, оканчивающиеся цифрами 1, 3, 7, 9. Они удобны для не особо больших чисел.
Делимость данного числа на какое-либо из чисел, оканчивающихся цифрами 1, 3, 7, 9, сведем к делимости на это число некоторой суммы, задаваемой определенным образом. Продемонстрируем это на примерах.
Так, при выяснении вопроса о делимости конкретного целого числа на 19 надо рассмотреть сумму из двух слагаемых, первое из которых будет представлять произведение постоянного множителя 2 на цифру единиц данного числа, а второе – число его десятков. Замечаем: если полученная при этом сумма будет делиться на 19, то и испытываемое число будет делиться на 19; если же полученная при этом сумма не будет делиться на 19, то и испытываемое число не будет делиться на 19. Например, числу 247 соответствует построенная указанным способом сумма 2
·7 + 24 = 38, 38 делится на 19, следовательно, на 19 делится и 247. Условимся это записывать так: 13 EMBED Equation.3 1415 Приведем еще несколько примеров.
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Таким образом, есть гипотеза: 13 EMBED Equation.3 1415
В случае выяснения вопроса о делимости чисел на 29 также будем представлять их в виде аналогичной суммы, как и при делимости на 19, но с другим постоянным множителем: теперь он будет равен 3. Например:
13 EMBED Equation.3 1415
Возникает вторая гипотеза: 13 EMBED Equation.3 1415
Совершенно также можно рассмотреть примеры делимости чисел на 39, 49, 59, с постоянными множителями соответственно 4, 5, 6,
Проведем в общем виде рассуждения о делимости чисел на числа, оканчивающиеся на 9, т. е. на числа вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415. Сформулируем признак делимости на числа вида 13 EMBED Equation.3 1415 в виде теоремы (при этом будем использовать тот факт, что любое целое число можно представить в виде 13 EMBED Equation.3 1415).
Теорема 1. Число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. на число, оканчивающееся цифрой 9, тогда и только тогда, когда на это число делится сумма 13 EMBED Equation.3 1415
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим тождество 13 EMBED Equation.3 1415= 10(13 EMBED Equation.3 1415) – 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415). Так как 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415) делится на 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 10(13 EMBED Equation.3 1415) одновременно либо делятся, либо не делятся на 13 EMBED Equation.3 1415.
Итак, теорема 1 доказана. Гипотезы верны. Следовательно, чтобы определить, делится ли 13 EMBED Equation.3 1415 на 13 EMBED Equation.3 1415, надо рассмотреть число 13 EMBED Equation.3 1415 и проверить его делимость на 13 EMBED Equation.3 1415.
Например, пусть 13 EMBED Equation.3 1415 т. е. проверим делимость некоторых чисел на 59:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
17813 EMBED Equation.3 1415
В этом случае 13 EMBED Equation.3 1415
Сформулируем теперь признак делимости на числа, оканчивающиеся на цифру 1, т. е. на числа вида 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415
· множество, состоящее из всех натуральных чисел и нуля).
Теорема 2. Число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 13 EMBED Equation.3 1415 тогда и только тогда, когда на 13 EMBED Equation.3 1415 делится 13 EMBED Equation.3 1415.
Доказательство теоремы 2 следует из тождества
13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415) –10(13 EMBED Equation.3 1415).
Действительно, так как 13 EMBED Equation.3 1415(13 EMBED Equation.3 1415) делится на 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 10(13 EMBED Equation.3 1415) одновременно либо делятся, либо не делятся на 13 EMBED Equation.3 1415. Теорема 2 доказана.
Итак, чтобы определить, делится ли данное число 13 EMBED Equation.3 1415 на число 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. на число, оканчивающееся на 1, необходимо проверить делимость на него числа 13 EMBED Equation.3 1415. Приведем примеры.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 т. е. рассматриваем признак делимости на 71:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В этом случае 13 EMBED Equation.3 1415
Аналогично можно доказать признаки делимости на числа, оканчивающиеся на 3 и на 7.
Теорема 3. Число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. на число, оканчивающееся на цифру 3, тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Так как 13 EMBED Equation.3 1415=1013 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 одновременно или делятся, или не делятся на 13 EMBED Equation.3 1415, что и требовалось доказать.
Обратим внимание, что здесь постоянный множитель 13 EMBED Equation.3 1415
Из теоремы 3 можно получить многочисленные следствия. В частности, удобно пользоваться на практике следующим признаком делимости на 13.
Следствие. Число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 13 тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 13. Действительно, при 13 EMBED Equation.3 1415 получаем: ((13 EMBED Equation.3 1415)13 EMBED Equation.3 1415 Другое доказательство этого следствия основывается на представлении 13 EMBED Equation.3 1415 в виде 13 EMBED Equation.3 1415
Теорема 4. Число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. на число, оканчивающееся на цифру 7, тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 13 EMBED Equation.3 1415, где13 EMBED Equation.3 1415.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415, то 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 одновременно или делятся, или не делятся на 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. утверждение доказано.
Заметим, что и здесь постоянный множитель 13 EMBED Equation.3 1415
Из теоремы 4 можем получить практические следствия. Так, очень удобно пользоваться следующим признаком делимости на 7.
Следствие. Число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 7 тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 7. Действительно, при 13 EMBED Equation.3 1415 получаем: 13 EMBED Equation.3 1415Другой способ доказательства этого следствия можно получить так. Запишем данное число по-другому: 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Первое из двух полученных слагаемых делится на 7. Сумма будет делиться на 7 тогда и только тогда, когда и второе слагаемое будет делиться на 7. А это возможно тогда и только тогда, когда 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 7
Приведем примеры:
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
В этом случае 13 EMBED Equation.3 1415
Использование признаков делимости на числа, оканчивающиеся на цифру 1, 3, 7, 9, позволяет последовательно переходить к числам, имеющим на один разряд меньше, к которым снова следует применять тот же признак (например, признак делимости на 7) до тех пор, пока не доберемся до числа, делимость которого (например, на то же число 7) проверяется элементарно. Таким образом, получен вполне определенный алгоритм.

3. Признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 18, 24, 25, 125 и общий признак делимости.
Для вывода признаков делимости на 2 («чет-нечет»), 4, 5, 8, 25, 125 воспользуемся десятичной записью чисел. Так, число 7018 = 7
·1000 + 0
·100 + 1
· 10 + 8 = 7
· 13 EMBED Equation.3 1415+ 0
· 13 EMBED Equation.3 1415+ 1
· 10 + 8. В общем виде в позиционной десятичной записи число а = (черта наверху показывает, что мы рассматриваем не произведение чисел 13 EMBED Equation.3 1415а десятичную запись числа а).
Лемма. Если 13 EMBED Equation.3 1415 делится на то число делится на 13 EMBED Equation.3 1415 в том и только в том случае, когда на делится число 13 EMBED Equation.3 1415.
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Если существует такое натуральное число 13 EMBED Equation.3 1415 что делится на , то на делятся все числа 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 Поэтому число а имеет при делении на тот же остаток, что и число 13 EMBED Equation.3 1415что и требовалось доказать.
Так как число 10 делится на 2, то по лемме имеем: число делится на 2 в том и только в том случае, когда на 2 делится число 13 EMBED Equation.3 1415(т. е. цифра в разряде единиц равна 0, 2, 4, 6 или 8).
Аналогично из того, что 10 делится на 5, из леммы вытекает: число делится на 5 в том и только в том случае, когда на 5 делится число 13 EMBED Equation.3 1415(т. е. цифра в разряде единиц равна 0 либо 5).
Далее, число 100 делится на 4 и на 25. Согласно лемме: число делится на 4 в том и только в том случае, когда на 4 делится число 13 EMBED Equation.3 1415(т. е. двузначное число, составленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а); число делится на 25 в том и только в том случае, когда на 25 делится число 13 EMBED Equation.3 1415(т. е. двузначное число, составленное из цифр в разрядах десятков и единиц числа а).
Аналогично, так как число 1000 делится на 8 и на 125, то согласно лемме: число делится на 8 в том и только в том случае, когда на 8 делится число 13 EMBED Equation.3 1415(т. е. трехзначное число, составленное из цифр в разрядах сотен, десятков и единиц числа а); число делится на 125 в том и только в том случае, когда на 125 делится число 13 EMBED Equation.3 1415(т. е. трехзначное число, составленное из цифр в разрядах сотен, десятков и единиц числа а).
Докажем теперь следующий общий признак делимости, принадлежащий французскому ученому Блезу Паскалю (1623 – 1662 г.г.):
Если остаток от деления на равен 13 EMBED Equation.3 1415где 13 EMBED Equation.3 1415, то остаток от деления числа на совпадает с остатком от деления на числа 13 EMBED Equation.3 1415(в частности, если 13 EMBED Equation.3 1415 делится на , то и число а делится на ).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
В самом деле, так как остаток от деления числа 13 EMBED Equation.3 1415 на равен 13 EMBED Equation.3 1415 то 13 EMBED Equation.3 1415 можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 Поэтому имеем: а = 13 EMBED Equation.3 1415 = 13 EMBED Equation.3 1415 Слагаемое 13 EMBED Equation.3 1415делится на . Поэтому числа а и имеют одинаковые остатки при делении на . Признак делимости Паскаля доказан.
Заметим, что остатки от деления на 3 чисел 10, 100, 1000, и т. д. равны 1. Поэтому по признаку Паскаля получаем: число делится на 3 в том и только в том случае, когда на 3 делится сумма 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. сумма цифр десятичной записи этого числа.
Аналогично остатки от деления на 9 чисел 10, 100, 1000, и т. д. равны тоже 1. Поэтому по признаку Паскаля получаем: число делится на 9 в том и только в том случае, когда на 9 делится сумма 13 EMBED Equation.3 1415, т. е. сумма цифр десятичной записи этого числа.
Существуют и другие признаки делимости на 7 и на 13. Заметим, что 7
· 11
· 13 = 1001. Но 1001 = 1000 + 1, 1 000 000 = 1001
· 999 + 1, 1 000 000 000 = 1001
· 999 001 – 1 и т. д. Применяя рассуждения, аналогичные проведенным при выводе признака делимости Паскаля, получаем признаки делимости на 7 и на 13 в таком виде: чтобы узнать, делится ли натуральное число а на 7 или на 13, надо разбить его десятичную запись справа налево на группы по три цифры в каждой (самая левая группа может содержать две или одну цифру) и взять группы с нечетными номерами со знаком минус, а с четными номерами со знаком плюс. Если значение получившегося выражения делится на 7 (соответственно на 13), то и заданное число делится на 7 (соответственно на 13). Например, число 459 348 965 866 делится на 7, но не делится на 13, так как выражение 459 – 348 + 965 – 866 = 210, а 210 делится на 7, но не делится на 13.
Выведем теперь признак делимости на 11. Имеем:
13 EMBED Equation.3 1415
и т. д. Следовательно, при 13 EMBED Equation.3 1415 по признаку делимости Паскаля 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415 Таким образом, на 11 делятся все те и только те числа, у которых разность между суммой цифр, стоящих на четных местах, и суммой остальных цифр делится на 11.
Приведем и более строгое обоснование признака делимости на 11 с использованием формулы 13 EMBED Equation.3 1415. Справедливость этой формулы устанавливается непосредственным раскрытием скобок и приведением подобных членов в ее правой части. А сама формула показывает, что число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 11. Но тогда делится на 11 и число 13 EMBED Equation.3 1415, а потому число 13 EMBED Equation.3 1415 дает при делении на 11 остаток 10. Далее число 13 EMBED Equation.3 1415 можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415Так как 13 EMBED Equation.3 1415то 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 11. Но 13 EMBED Equation.3 1415 и поэтому 13 EMBED Equation.3 1415дает при делении на 11 остаток 1. Применяя признак делимости Паскаля, получаем, что числа 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 имеют один и тот же остаток при делении на 11. Заметим, что 10 = 11 – 1, а потому 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 Отсюда видно, что число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 11 в том и только в том случае, когда делится на 11 выражение 13 EMBED Equation.3 1415
Из общего признака Паскаля можно вывести и другие частные признаки делимости. Представляется целесообразным установить, например, еще такой признак делимости на 7, 11, 13: на 7, 11 или 13 делятся те и только те числа, у которых разность между числом, выраженным тремя последними цифрами, и числом, выраженным остальными цифрами (или наоборот), делится соответственно на 7, на 11 или на 13. Найдут применение и признаки делимости на 6, 12, 18, 24 и т. д. Например, на 6 делятся те и только те числа, которые делятся на 2 и на 3; на 12 делятся те и только те числа, которые делятся на 3 и на 4; на 18 делятся те и только те числа, которые делятся на 2 и на 9.
Полезно доказать самостоятельно в общем виде следующие признаки.
Для делимости числа а на целый делитель 13 EMBED Equation.3 1415 числа 13 EMBED Equation.3 1415 необходимо и достаточно, чтобы на 13 EMBED Equation.3 1415 делилась последняя грань числа а из 13 EMBED Equation.3 1415 цифр.
Для делимости числа а на целый делитель 13 EMBED Equation.3 1415 числа 13 EMBED Equation.3 1415 необходимо и достаточно, чтобы на 13 EMBED Equation.3 1415 делилась сумма 13 EMBED Equation.3 1415-цифирных граней числа а. Например, 999 13 EMBED Equation.3 141527. Для делимости числа на 27 нужно, чтобы его сумма трехцифирных граней делилась на 27.
Для делимости числа а на целый делитель 13 EMBED Equation.3 1415 числа 13 EMBED Equation.3 1415 необходимо и достаточно, чтобы на 13 EMBED Equation.3 1415 делилась сумма его 13 EMBED Equation.3 1415-цифирных граней, взятых со знаком «плюс», если грань стоит на нечетном месте, и со знаком «минус»
· если на четном (т. е. знаки граней чередуются).
Тогда, чтобы вывести признак делимости на заданное число, например, на 11, можно представить 11 как 13 EMBED Equation.3 1415, а можно рассматривать 11 как делитель числа 99 = 13 EMBED Equation.3 1415. Аналогично придется поступать и в случае других чисел. Так, число 13 – делитель числа 1001 = 13 EMBED Equation.3 1415.
Запомним, что целое число делится:
-на 2, если последняя его цифра делится на 2;
-на 3, если сумма его цифр делится на 3;
-на 4, если число, состоящее из двух его последних цифр, делится на 4;
-на 5, если его последняя цифра либо 0, либо 5;
-на 9, если сумма его цифр делится на 9;
-на 10, если его последняя цифра 0;
-на 11, если разность суммы цифр, стоящих на четных местах, и суммы цифр, стоящих на нечетных местах, делится на 11.
4. Применение признаков делимости при решении задач.
Пример 1. Можно ли представить число 2005! в виде суммы 2005 нечетных натуральных чисел? (Обозначение: 13 EMBED Equation.3 1415! = 1
· 2
· 3
·
· 13 EMBED Equation.3 1415)
Нет. Число 2005! четно, а требуемая сумма нечетна.

Пример 2. Найти общие делители чисел: 247247, 612612, 538538, 759759, 173173.
Ясно, что все они делятся на 1. Далее, любое из них можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415. Последнее число можно прочитать как 13 EMBED Equation.3 1415 тысяч и 13 EMBED Equation.3 1415 единиц, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415
· 1000 + 13 EMBED Equation.3 1415 = 1001
· 13 EMBED Equation.3 1415 = 7
· 11
· 1313 EMBED Equation.3 1415. Значит, числа данного вида делятся не только на 1, но и на 7, на 11, на 13, на 77, на 91, на 143, на 1001. Это – натуральные общие делители данных чисел. Отрицательными общими делителями данных пяти чисел являются соответственно – 1, – 7, – 11, – 13, – 77, – 91, – 143, – 1001.

Пример 3. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 2 дает остаток 1, при делении на 3 – остаток 2, при делении на 4 – остаток 3, при делении на 5 – остаток 4, при делении на 6 – остаток 5, при делении на 7 – остаток 6, при делении на 8 – остаток 7 и при делении на 9 – остаток 8.
Обратим внимание на то, что делитель каждый раз всего лишь на 1 больше остатка, т. е. искомое число 13 EMBED Equation.3 1415 можно записать следующими способами: 13 EMBED Equation.3 1415 = 213 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 Прибавим теперь к обеим частям каждого из записанных равенств по 1. Получим: 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда натуральное число 13 EMBED Equation.3 1415 по условию задачи является наименьшим из делящихся на 2, 3, , 9. Но произведение 2
· 3
· 4
· 5
· 6
· 7
· 8
· 9 кратно числам 9, 8, 7, 5. Стало быть, наименьшим числом из делящихся на 2, 3, , 9 будет число, равное произведению 9
· 8
· 7
· 5 = 2520. Значит, 13 EMBED Equation.3 1415 = 2520, а 13 EMBED Equation.3 1415 = 2519.

Пример 4. Найти наименьшее натуральное число, которое при делении на 4, 5, 9, и 11 дает остатки соответственно 3, 4, 8 и 10. Ответ: 1979.
Пример 5. Кузнечик прыгает по прямой, причем в первый раз он прыгнул на 1 см в какую-то сторону, во второй – на 2 см, в третий – на 3 см и т. д. Докажите, что после 125 прыжков он не сможет оказаться в том месте, откуда начинал прыгать в первый раз.
По прямой можно двигаться в двух противоположных направлениях. Ясно, что ответ должен годиться для любого варианта последовательности прыжков. Заметим, что кузнечику за 125 прыжков предстоит преодолеть расстояние 1 + 2 + 3 + + 124 + 125 = (1 + 125)
·125/2 = 7875 см. Но на сколько бы ни отдалился кузнечик от начальной точки, возвращаясь, ему придется преодолеть это же самое расстояние. Значит, сумма «пропрыганных» им расстояний туда и обратно должна выражаться четным числом, а число 7875 – нечетное. Поэтому кузнечик не сможет после 125 прыжков вернуться в ту же точку, из которой он начинал прыгать.

Пример 6. Может ли сумма попарных произведений трех последовательных чисел быть равной 3000?
Нет. 13 EMBED Equation.3 1415 не делится на 3.

Пример 7. Докажите, что разность квадрата нечетного числа и единицы кратна 4.
При любом натуральном 13 EMBED Equation.3 1415 число 13 EMBED Equation.3 1415 является нечетным. По условию задачи 13 EMBED Equation.3 1415т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 кратно 4.

Заметим также, что рассмотренные признаки делимости чисел существенно связаны с представлением чисел именно в десятичной системе исчисления. Эти признаки, вообще говоря, неприменимы при других системах исчисления. Так, если основание системы исчисления обозначить 13 EMBED Equation.3 1415, то любое число N можно записать в виде: N = 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда, рассуждая, как и в случае десятичной системы исчисления, получим теорему: Данное число N делится на число 13 EMBED Equation.3 1415 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа N на остатки, полученные от деления соответствующих степеней основания системы исчисления (13 EMBED Equation.3 1415) на число 13 EMBED Equation.3 1415, делится на это число 13 EMBED Equation.3 1415. Например, на любое данное число, большее единицы, для чисел, записанных в системе исчисления, основанием которой является это же число, делятся те и только те числа, которые оканчиваются цифрой 0.
Литература.
Мазаник А. А. Делимость чисел и сравнения: Учебный материал для факультативных занятий. – Мн.: Народная асвета, 1971. – 64 с.

Упражнения.
1. Установить без калькулятора,
а) делится ли 380023 на 7? б) делится ли 380023 на 233?
Решение. а)38002313 EMBED Equation.3 1415
Попробуйте установить то же самое с помощью рассмотренных выше других признаков делимости на 7.
2. Верно ли, что если а) в трехзначном числе средняя цифра равна сумме крайних, то число кратно 11? б) в пятизначном числе сумма крайних и средней цифр равна сумме остальных цифр, то 11 делит это число?
Поиск решения а) приводит к следующим рассуждениям.
Пусть, например, таким числом будет 385. Убедиться, что это число делится на 11, можно либо непосредственным делением, либо разложением числа на простые множители, либо представлением числа в десятичной системе исчисления. Представим число 385 в виде: 3
· 100 + 8
· 10 + 5. Вспомним об условии задачи и используем его: 3
· 100 + (3 + 5)
· 10 + 5 = (3
· 100 + 3
· 10) + (5
· 10 + 5) = 30(10 + 1) + 5(10 + 1) = 30
· 11 + 5
· 11 = 11
· 35, т. е. 38513 EMBED Equation.3 1415Частный случай обнажил способ решения задачи в общем виде. При 13 EMBED Equation.3 1415 для трехзначного числа 13 EMBED Equation.3 1415, записанного в общем виде, аналогично имеем: 13 EMBED Equation.3 1415 Другой способ (с использованием теоремы 2 при 13 EMBED Equation.3 1415) ведет к рассуждениям сразу в общем виде: 13 EMBED Equation.3 1415 Третий способ: разность между цифрой, стоящей на четном месте, и суммой остальных цифр равна 0, 013 EMBED Equation.3 141511, значит, и трехзначное число, обладающее указанным свойством, делится на 11.
3. Докажите, что число 13 EMBED Equation.3 1415 делится и на 73, и на 137. (Указание: 73
· 137 = 10001).
4. Назовем шестизначное число «хорошим», если сумма его цифр делится на 7. Быть «хорошими» могут и пары соседних шестизначных чисел. Например, 950 000 и 949 999. Таких пар 12. Найдите остальные пары «хороших» шестизначных чисел.
5. Докажите, что а) число 2006 можно представить в виде частного от деления квадрата некоторого натурального числа на куб некоторого натурального числа; б) любое натуральное число можно представить в таком же виде, как и 2006.
Решение. а) 13 EMBED Equation.3 1415
6. а) На математическом конкурсе было предложено несколько простых и несколько сложных задач. Участнику давали 3 очка за решение сложной и 2 очка за решение простой задачи. Кроме того, за каждую нерешенную простую задачу списывалось 1 очко. Саша решил 10 задач и набрал 14 очков. Сколько было простых задач?
б) Вдоль забора растут 8 кустов малины. Число ягод на соседних кустах отличается на 1. Может ли на всех кустах вместе быть 225 ягод? (Ответ: нет.)
Решение. а) Если бы все задачи на конкурсе были сложными, то Саша набрал бы 3
·10 = 30 очков. На каждой же простой задаче, независимо от того, решил ее Саша или нет, он теряет одно очко (т. е. получает на одно очко меньше, чем в том случае, если бы та же задача считалась сложной). Так как 14 = 30 – 16, то простых задач было 16.
7. а) Билет на транспорте считается «счастливым», если сумма первых трех цифр его шестизначного номера совпадает с суммой последних трех цифр. Докажите, что сумма номеров всех «счастливых» билетов делится на 13.
б) Можно ли из стержней с длинами 1, 2, 3, , 199 используя их все, изготовить каркас куба? (Ответ: нет.)
Решение. а) Пусть 13 EMBED Equation.3 1415трехзначные грани «счастливого» номера. Если 13 EMBED Equation.3 1415, то номер 13 EMBED Equation.3 1415 (разность трехзначных граней 13 EMBED Equation.3 1415 должна делиться на 13). Если13 EMBED Equation.3 1415, то номер 13 EMBED Equation.3 1415сложим с номером 13 EMBED Equation.3 1415: 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415= 13 EMBED Equation.3 1415+13 EMBED Equation.3 1415, их сумма делится на 13.
8. Запишите любое 10-значное число и определите с помощью признаков деления натуральных чисел, делится ли оно на 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12,13.
9. Докажите, что 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3.
10. Докажите, что квадрат нечетного числа есть число нечетное.
11. Докажите, что сумма двух четных (нечетных) чисел есть число четное.
12. Докажите, что произведение двух нечетных чисел нечетно. Верно ли обратное утверждение?
13. Докажите, что разность 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 9, если разность 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3, где 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415натуральные числа.
Решение 1. При доказательстве делимости какого-либо натурального числа, заданного формулой, часто может помочь разложение его на множители. Попробуем реализовать эту идею. В данном случае имеем:
13 EMBED Equation.3 1415.
Применим свойство делимости суммы: если каждое из слагаемых суммы делится на данное число, то и сумма делится на это число. Так как 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3, то 13 EMBED Equation.3 1415тоже делится на 3. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 также делится на 3.
Далее используем свойство делимости произведения: если каждый из двух множителей произведения делится на данное число, то произведение делится на квадрат данного числа. Значит, 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415делится на 9, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 9.
Решение 2. Заметим, что число, кратное трем, можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда 13 EMBED Equation.3 1415а 13 EMBED Equation.3 1415 Подставим полученное представление 13 EMBED Equation.3 1415 в рассматриваемое выражение:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 9.
Решение 3. Представим разность кубов 13 EMBED Equation.3 1415 в следующем виде:
13 EMBED Equation.3 1415
Так как 13 EMBED Equation.3 1415делится на 9 и 13 EMBED Equation.3 1415 тоже делится на 9, то число 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 9.
Решение 4. Прежде всего, заметим, что если разность двух чисел делится на некоторое данное число, то каждое из этих чисел при делении на данное число дает один и тот же остаток. Поскольку 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 3, то каждое из чисел 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 при делении на 3 дает один и тот же остаток, скажем, 13 EMBED Equation.3 1415т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 При этом 13 EMBED Equation.3 1415может равняться 0, 1 или 2. Поэтому все натуральные числа можно разбить на три множества – на числа вида 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415и проверить, верно ли утверждение для каждого случая отдельно.
Если 13 EMBED Equation.3 1415то 13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415делится на 9.
Если 13 EMBED Equation.3 1415то 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 9.
Если 13 EMBED Equation.3 1415то13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415Значит, и в этом последнем случае 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 9.
Таким образом, требуемое доказано полностью.
Решение 5. Пусть13 EMBED Equation.3 1415 где 13 EMBED Equation.3 1415 Тогда 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415т. е.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 9.
14. Доказать, что 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 6, где 13 EMBED Equation.3 1415
Решение 1. Преобразуем данный двучлен:
13 EMBED Equation.3 1415
В этой сумме первое слагаемое, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415произведение трех последовательных натуральных чисел, из которых одно делится на 3, и хотя бы одно делится на 2, следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415делится на 6. Второе слагаемое, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 при всех 13 EMBED Equation.3 1415 также делится на 6. Отсюда следует, что 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 6 при всех 13 EMBED Equation.3 1415.
Первое приведенное решение доступно учащимся, начиная с 7 класса.
Решение 2. При делении числа 13 EMBED Equation.3 1415 на 6 могут получиться остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, поэтому оно может быть представлено в виде 13 EMBED Equation.3 1415 Проверим делимость на 6 данного выражения, т. е. 13 EMBED Equation.3 1415 во всех случаях.
Если 13 EMBED Equation.3 1415то 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 6.
Если 13 EMBED Equation.3 1415то
13 EMBED Equation.3 1415делится на 6.
Если 13 EMBED Equation.3 1415то 13 EMBED Equation.3 1415делится на 6.
Если 13 EMBED Equation.3 1415то13 EMBED Equation.3 1415делится на 6.
Итак, при любом натуральном 13 EMBED Equation.3 1415 выражение 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 6.
Решение 3. Так как 6 = 2·3, где 2 и 3 – взаимно простые числа, то вопрос о делимости выражения 13 EMBED Equation.3 1415на 6 сводится к вопросу о делимости его на 2 и на 3.
Рассматриваемое произведение 13 EMBED Equation.3 1415 при любом 13 EMBED Equation.3 1415 делится на 2, так как при 13 EMBED Equation.3 1415 первый множитель, а при 13 EMBED Equation.3 1415 второй множитель делится на 2.
Проверим делимость данного выражения на 3.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415тогда 13 EMBED Equation.3 1415делится на 3.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415тогда
(13 EMBED Equation.3 1415делится на 3.
Значит, выражение 13 EMBED Equation.3 1415 при любом 13 EMBED Equation.3 1415делится и на 2 и на 3, следовательно, оно делится на 6.
Второе и третье приведенные решения доступны учащимся, начиная с 8 класса. В 10 – 11 классах доказательство может быть проведено методом математической индукции.
15. Что собой представляют множество натуральных чисел и множество целых чисел?
Ответ: множество натуральных чисел N = 13 EMBED Equation.3 1415, множество целых чисел Z = 13 EMBED Equation.3 1415.
16. Любое целое число записывается с помощью цифр. Как записывается любое трехзначное число, состоящее из 13 EMBED Equation.3 1415 сотен(13 EMBED Equation.3 1415), 13 EMBED Equation.3 1415десятков и 13 EMBED Equation.3 1415 единиц?
Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415. Например, 327 = 13 EMBED Equation.3 1415.
17. Как записывается формула деления натурального числа А на натуральное число В с остатком 13 EMBED Equation.3 1415? Как записываются формулы четных и нечетных чисел?
Ответ: если натуральное число А делится на натуральное число В с остатком 13 EMBED Equation.3 1415, то это значит, что А = В13 EMBED Equation.3 1415, где А – делимое, В – делитель, 13 EMBED Equation.3 1415частное. Остаток 13 EMBED Equation.3 1415 может равняться 0, 1, 2, , В – 1. Например, при делении на 2 возможны только остатки 13 EMBED Equation.3 1415= 0 и 13 EMBED Equation.3 1415= 1. Поэтому все четные числа можно записать так: А = 213 EMBED Equation.3 1415, а нечетные – следующим образом: А = 213 EMBED Equation.3 1415 + 1.

Д.з. 1) Знать признаки делимости на 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11; 2) Уметь выполнять упражнения 1 – 17.

13PAGE 15


13PAGE 141115




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native