Урок по математике на тему Признаки делимости Натуральных чисел (5 класс)
На тему: Признаки делимости
Натуральных чисел.
Содержание
Введение…………………………………………………………………...3
1. Немного истории…………………………………………………….4 -5
2. Признаки делимости натуральных чисел на 2, на 3(9) на 5, на 10,
изучаемые в школе…….……………………………………………….5-6
3. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные самостоятельно…………………………………………..6-7
4. Признаки делимости на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37, описанные в разных источниках..................................................................................................8-11
5. Применение признаков делимости натуральных чисел при решении задач……..................................................................................................11-14
6. Заключение. Выводы………………………………………………15
Введение
Актуальность проекта: При изучении темы: «Признаки делимости натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10» нас заинтересовал вопрос о делимости чисел. Известно, что не всегда одно натуральное число делится на другое натуральное число без остатка. При делении натуральных чисел, мы получаем остаток, допускаем ошибки, в результате - теряем время. Признаки делимости помогают, не выполняя деление, установить, делится ли одно натуральное число на другое. Мы решили написать исследовательскую работу по данной теме.
Гипотеза: Если можно определить делимость натуральных чисел на 2, 3, 5, 9, 10, то должны быть признаки, по которым можно определить делимость натуральных чисел на другие числа.
Объект исследования: Делимость натуральных чисел.
Предмет исследования: Признаки делимости натуральных чисел.
Цель: Дополнить уже известные признаки делимости натуральных чисел, изучаемые в школе и дополнить свои знания о признаках делимости чисел.
Задачи:
Изучить историографию вопроса.
Повторить признаки делимости на 2, 3. 5, 9, 10, изучаемые в школе.
Исследовать самостоятельно признаки делимости натуральных чисел
на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000.
Изучить дополнительную литературу, подтверждающую правильность гипотезы о существовании других признаков делимости натуральных чисел и правильность выявленных нами признаков делимости.
Выписать найденные из дополнительной литературы признаки делимости натуральных чисел на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37.
Сделать вывод.
Составить слайдовую презентацию на тему: «Признаки делимости».
Составить брошюру «Признаки делимости натуральных чисел».
Методы исследования: Сбор материала, обработка данных, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение.
I. Немного из истории.
Признак делимости – это правило, по которому, не выполняя деления можно определить, делится ли одно натуральное число на другое. Признаки делимости всегда интересовали ученых разных стран и времен.
Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10, были известны с давних времен. Признак делимости на 2 знали древние египтяне за 2 тысячи лет до нашей эры, а признаки делимости на 2, 3, 5 были обстоятельно изложены итальянским математиком Леонардо Фибоначчи (1170-1228г.г.).
При изучении темы: «Простые и составные числа» нас заинтересовал вопрос о составлении таблицы простых чисел, так как простые числа играют важную роль в изучении всех остальных чисел. Оказывается, над этим же вопросом в свое время задумался живший в 3 веке до нашей эры александрийский ученый Эратосфен. Его метод составления списка простых чисел назвали «решето Эратосфена». Пусть надо найти все простые числа до 100. Напишем подряд все числа до 100.
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79,80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
Оставив число 2, зачеркнем все остальные четные числа. Первым уцелевшим числом после 2 будет 3. Теперь, оставив число 3, зачеркнем числа, делящиеся на 3. Затем зачеркнем числа, делящиеся на 5. В результате все составные числа окажутся вычеркнутыми и останутся только простые числа: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. По этому методу можно составлять списки простых чисел, больших 100.
Вопросы делимости чисел рассматривались пифагорейцами. В теории чисел ими была проведена большая работа по типологии натуральных чисел. Пифагорейцы делили их на классы.
Выделялись классы:
совершенных чисел (число равное сумме своих собственных делителей, например: 6=1+2+3),
дружественных чисел (каждое из которых равно сумме делителей другого, например 220 и 284: 284=1+2+4+5+10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142),
фигурных чисел (треугольное число, квадратное число),
простых чисел и др.
Блез Паскаль Пифагор. Леонардо Пизанский Эратосфен (Фибоначчи)
Большой вклад в изучение признаков делимости чисел внес Блез Паскаль (1623-1662г.г.). Юный Блез очень рано проявил выдающиеся математические способности, научившись считать раньше, чем читать.
Свой первый математический трактат «Опыт теории конических сечений» он написал в 24 года. Примерно в это же время он сконструировал механическую суммирующую машинку, прообраз арифмометра. В ранний период своего творчества (1640-1650г.г.) разносторонний ученый нашел алгоритм для нахождения признаков делимости любого целого числа на любое другое целое число, из которого следуют все частные признаки. Его признак состоит в следующем: Натуральное число а разделится на другое натуральное число b только в том случае, если сумма произведений цифр числа a на соответствующие остатки, получаемые при делении разрядных единиц на число b, делится на это число.
II. Признаки делимости натуральных чисел,
изучаемые в школе.
При изучении данной темы необходимо знать понятия делитель, кратное, простое и составное числа.
Делителем натурального числа а называют натуральное число b, на которое а делится без остатка.
Часто утверждение о делимости числа а на число b выражают другими равнозначными словами: а кратно b, b - делитель а, b делит а.
Простыми называются натуральные числа, которые имеют два делителя: 1 и само число. Например, числа 5,7,19 – простые, т.к. делятся на 1 и само себя.
Числа, которые имеют более двух делителей, называются составными.Например, число 14 имеет 4 делителя: 1, 2, 7, 14, значит оно составное.
III. Признаки делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000, полученные нами самостоятельно.
Выполняя действия деления, умножения натуральных чисел, наблюдая за результатами действий, мы нашли закономерности и получили следующие признаки делимости.
Признак делимости на 4.
25·4=100; 56·4=224; 123·4=492; 125·4=500; 2345·4=9380; 2500·4=10000; …
Умножая натуральные числа на 4, мы заметили, что числа образованные из двух последних цифр числа делятся на 4 без остатка.
Признак делимости на 4 читается так:
Натуральное число делится на 4 тогда, когда две его последние цифры 0 или образуют число, делящееся на 4.
Признак делимости на 6.
Заметим, что 6=2·3Признак делимости на 6:
Если натуральное число одновременно делится на 2 и на 3, то оно делится на 6.
Примеры:
216 делится на 2 (оканчивается 6) и делится на 3 (8+1+6=15, 15׃3), значит, число делится на 6.
625 не делится ни на 2, ни на 3, значит, не делится на 6.
2120 делится на 2 (оканчивается 0), но не делится на 3 (2+1+2+0=5, 5 не делится на 3), значит, число не делится на 6.
279 делится на 3 (2+7+9=18, 18:3), но не делится на 2 (оканчивается нечетной цифрой), значит, число не делится на 6.
Признак делимости на 8.
125·8=1000; 242·8=1936; 512·8=4096; 600·8=4800; 1234·8=9872; 122875·8=983000;…
Умножая натуральное число на 8, мы заметили такую закономерность, числа оканчиваются тремя нулями, или три последние цифры составляют число, которое делится на 8.
Значит, признак таков:
Натуральное число делится на 8 тогда, когда три его последние цифры нули или составляют число, делящееся на 8.
Признак делимости на 15.
Заметим, что 15=3·5Если натуральное число одновременно делится и на 5 и на 3, то оно делится на 15.
Примеры:
346725 делится на 5 (оканчивается 5) и делится на 3 (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), значит, число делится на 15.
48732 делится на 3 (4+8+7+3+2=24, 24:3), но не делится на 5,значит, число не делится на 15.
87565 делится на 5 (оканчивается 5), но не делится на 3 (8+7+5+6+5=31, 31 не делится на 3), значит, число не делится на 15.
Признак делимости на 25.
Выполняя умножение натуральных различных чисел на 25, я увидел такую закономерность: произведения оканчиваются на 00, 25, 50, 75.
Значит, натуральное число делится на 25, если оканчивается цифрами 00, 25, 50, 75.
Признак делимости на 50.
На 50 делятся числа: 50, 100, 150, 200, 250, 300,… Они оканчиваются либо на 50, либо на 00.
Значит, натуральное число делится на 50 тогда и только тогда, когда оканчивается двумя нулями или 50.
Объединенный признак делимости на 10, 100, 1000, …
Если в конце натурального числа стоят столько же нулей сколько в разрядной единице, то это число делится на эту разрядную единицу.
Примеры:
25600 делится на 100, т.к. числа оканчиваются на одинаковое количество нулей.
8975000 делится на 1000, т.к. оба числа оканчиваются на 000.
IV. Признаки делимости натуральных чисел
на 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37,
описанные в различных источниках.
Из дополнительной литературы мы нашли подтверждение правильности сформулированных нами признаков делимости натуральных чисел на 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000. Так же мы нашли несколько признаков делимости на 7:
1. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда разность числа тысяч и числа, выражаемого последними тремя цифрами, делится на 7.
Примеры:
478009 делится на 7, т.к. 478-9=469, 469 делится на 7.
479345 не делится на 7, т.к. 479-345=134, 134 не делится на 7.
2. Натуральное число делится на 7, если сумма удвоенного числа, стоящего до десятков и оставшегося числа делится на 7.
Примеры:
4592 делится на 7, т.к. 45·2=90, 90+92=182, 182 делится на 7.
57384 не делится на 7, т.к. 573·2=1146, 1146+84=1230, 1230 не делится на 7.
3. Трехзначное натуральное число вида аbа будет делиться на 7, если а+b делится на 7.
Примеры:
252 делится на 7, т.к. 2+5=7, 7/7.
636 не делится на 7, т.к. 6+3=9, 9 не делится на 7.
4. Трехзначное натуральное число вида bаа будет делиться на 7, если сумма цифр числа делится на 7.
Примеры:
455 делится на 7, т.к. 4+5+5=14, 14/7.
244 не делится на 7, т.к. 2+4+4=12, 12 не делится на 7.
5. Трехзначное натуральное число вида ааb будет делиться на 7, если 2а-b делится на 7.
Примеры:
882 делится на 7,т.к. 8+8-2=14, 14/7.
996 не делится на 7, т.к. 9+9-6=12, 12 не делится на 7.
6. Четырехзначное натуральное число вида bаа , где b-двухзначное число, будет делиться на 7, если b+2а делится на 7.
Примеры:
2744 делится на 7, т.к. 27+4+4=35, 35/7.
1955 не делится на 7, т.к. 19+5+5=29, 29 не делится на 7.
7. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда результат вычитания удвоенной последней цифры из этого числа без последней цифры делится на 7.
Примеры:
483 делится на 7, т.к. 48-3·2=42, 42/7.
564 не делится на 7, т.к. 56-4·2=48, 48 не делится на 7.
8. Натуральное число делится на 7 тогда и только тогда, когда сумма произведений цифр числа на соответствующие остатки получаемые при делении разрядных единиц на число 7, делится на 7.
Примеры:
10׃7=1 (ост 3)
100׃7=14 (ост 2)
1000׃7=142 (ост 6)
10000׃7=1428 (ост 4)
100000׃7=14285 (ост 5)
1000000׃7=142857 (ост 1) и снова повторяются остатки.
Число 1316 делится на 7, т.к. 1·6+3·2+1·3+6=21, 21/7(6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3- ост. от деления 10 на 7).
Число 354722 не делится на7,т.к. 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81, 81 не делится на 7(5-ост. от деления 100 000 на 7; 4 -ост. от деления 10 000 на 7; 6-ост. от деления 1000 на 7; 2-ост. от деления 100 на 7; 3-ост. от деления 10 на 7).
Признаки делимости на 11.
1. Число делится на 11, если разность суммы цифр стоящих на нечетных местах, и суммы цифр, стоящих на четных местах, кратна 11.
Разность может быть отрицательным числом или 0, но обязательно должна быть кратной 11. Нумерация идет слева направо.
Пример:
2135704 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 не кратно 11, значит, это число не делится на 11.
1352736 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 кратно 11, значит, это число делится на 11.
2. Натуральное число разбивают справа налево на группы по 2 цифры в каждой и складывают эти группы. Если получаемая сумма кратна 11, то испытуемое число кратно 11.
Пример: Определим, делится ли число 12561714 на 11.
Разобьем число на группы по две цифры в каждой: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 делится на 11, значит, данное число делится на 11.
3I. Трехзначное натуральное число делится на 11, если сумма боковых цифр числа равна цифре, которая в середине. Ответ будет состоять из тех самых боковых цифр.
Примеры:
594 делится на11, т.к. 5+4=9, 9-в середине.
473 делится на 11, т.к. 4+3=7, 7- в середине.
861 не делится на 11, т.к. 8+1=9, а в середине 6.
Признак делимости на 12
Натуральное число делится на 12 тогда и только тогда, когда оно делится на 3 и 4 одновременно.
Примеры:
636 делится на 3 и на 4, значит, оно делится на 12.
587 не делится ни на 3, ни на 4, значит, оно не делится на 12.
27126 делится на 3, но не делится на 4, значит, оно не делится на 12.
Признаки делимости на 13
1. Натуральное число делится на 13, если разность числа тысяч и числа, образованного последними тремя цифрами, делится на 13.
Примеры:
Число 465400 делится на 13, т.к. 465 – 400 = 65, 65 делится на 13.
Число 256184 не делится на 13, т.к. 256 – 184 = 72, 72 не делится на 13.
2. Натуральное число делится на 13 тогда и только тогда, когда результат вычитания последней цифры, умноженной на 9, из этого числа без последней цифры , делится на 13.
Примеры:
988 делится на 13, т.к. 98 - 9·8 = 26, 26 делится на 13.
853 не делится на 13, т.к. 85 - 3·9 = 58, 58 не делится на 13.
Признак делимости на 14
Натуральное число делится на 14 тогда и только тогда, когда оно делится на 2 и на 7 одновременно.
Примеры:
Число 45826 делится на 2, но не делится на 7, значит, оно не делится на 14.
Число 1771 делится на 7, но не делится на 2, значит, оно не делится на 14.
Число 35882 делится на 2 и на 7, значит, оно делится на 14.
Признак делимости на 19
Натуральное число делится на 19 без остатка тогда и только тогда, когда число его десятков, сложенное с удвоенным числом единиц, делится на 19.
Следует учесть, что число десятков в числе надо считать не цифру в разряде десятков, а общее число целых десятков во всем числе.
Примеры:
1534 десятков-153, 4·2=8, 153+8=161, 161 не делится на 19,значит, и 1534 не делится на 19.
1824 182+4·2=190, 190/19, значит, число 1824/19.
КОНЕЦ!