Урок по математике для 10 класса по теме «Бенефис одного тригонометрического уравнения»
10класс.
Тема урока: Методы решения тригонометрических уравнений.
« Правильному применению методов можно научиться только применяя их на разнообразных примерах.»
Г. Цейтен
Цели :
Образовательные- Повторение, обобщение и систематизация материала темы; сформировать умение применять при решении уравнений нужный способ.
Развивающие –способствовать формированию умений применять приемы: сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию; развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.
Воспитательные- Содействовать воспитанию интереса к математике, воспитание настойчивости в приобретении знаний и умений, умения принимать самостоятельные решения.
Оборудование: интерактивная доска.
Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.
Ход урока: I Организационный момент. Вступительное слово учителя:
Сегодня ребята мы поговорим с вами о различных методах решения тригонометрических уравнений, научимся проводить анализ заданий и способов их выполнения, будем находить наиболее рациональные способы решения уравнений и попытаемся самостоятельно оценить свои знания. Прежде чем перейти непосредственно к нашей работе, мы сформируем экспертную группу (3 человека), участники которой на каждом этапе нашего урока помогут мне оценить ваши знания, проверят домашние задания и решения примеров классной работы, подведут итоги предстоящей работы.
II. Устная работа. На интерактивной доске появляется слайд.
Учитель: «Исправьте ошибки на доске и подумайте об их причинах».
Уравнение
Ответ с ошибкой
Правильный ответ
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
Нет корней
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415
III Групповая работа. Игра-Домино. (раздаю карточки)
Начальная карточка.
-1
1
5[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]/6
arccos(-[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]/2)
13 INCLUDE
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·–
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·Тестирование . (групповая работа)
На интерактивной доске появляется слайд со следующим тестом.
Классификация тригонометрических уравнений по методам решения.
уравнения
Уравнения
методы
ответ
1
4sinІx - cos 2x = 1
А) Метод замены переменной
Е
2
4 tg x – 12ctg x + 13 = 0
Б) Метод разложения на множители
А
3
3sinІx – 4sinxcosx + cosІx = 0
В) Метод преобразования разности в произведение
Г
4
3sinІx – 5sinx – 2 = 0
Г) Метод однородных уравнений
А
5
sin 5x – sin x = 0
Д) Другой способ
В
6
sin x - cos x = 1
Е) Метод понижение степени
Д
7
14cosІ x – 2cos 2x = 9sin 2x – 2
Ж) Уравнения ,приводимые к квадратным уравнениям
Г
8
13 EMBED Equation.3 1415
Б
9
3cos2x – sinx – 1 =0
Ж
1группа – описывает алгоритм метода Ж и решает уравнение №9, 2группа –метод Г и решает уравнение№5, 3группа –метод Б и уравнение№8.
1группа рассказывает о методе решения уравнений ,приводимых к квадратным.
3cos2x – sinx – 1 =0
3 (1 – sin2x) – sinx –1 = 0
3 – 3 sin2x – sinx –1 = 0
– 3 sin2x – sinx + 2 = 0
3 sin2x + sinx – 2 = 0
Пусть sinx = y
3y2 + y – 2 = 0 D = b2 – 4ac = 1 – 4
·3
·(–2) = 25
y1,2 = (– 1 ± 5)/6 = 2/3; – 1
sinx = 2/3 или sinx = – 1
x = (– 1)n arcsin(2/3) +
·n, n Z x = –
·/2+ 2
·k, k Z
Ответ: x1= (– 1)n arcsin(2/3) +
·n; x 2= –
·/2+ 2
·k, n, k Z
2группа о решении однородных уравнений. (Решение однородных уравнений (уравнения, в которых у всех слагаемых сумма показателей одинакова) и приводимых к ним сводится к решению алгебраических относительно tgx путём деления обеих частей уравнения на cosx
·0 и cos2 x
·0 соответственно.)
3sinІx
–
4sinxcosx
+
cosІx
= 0
cosІx
cosІx
cosІx
3tgІx – 4tgx + 1 = 0
Учитель предлагает учащимся по желанию выйти к доске и решить полученное уравнение. Желающие выходят к доске, на местах решают в тетрадях.
Решение: пусть tgx = y
3yІ – 4y + 1 = 0
D = 16 – 4·3·1 = 4
Y1,2 = (4 ± 2)/6 = 1; 1/3
tgx = 1 или tgx = 1/3
x =
·/4 +
·n, n Z x = arctg(1/3) +
·k, k Z
Ответ: x 1=
·/4 +
·n, n Z , x2 = arctg(1/3) +
·k, k Z
3гр.Рассказывает о методе разложения на множители.( Решение с помощью разложения на множители сводится к решению двух элементарных уравнений.)
13 EMBED Equation.3 1415
13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415
IV.Гимнастика для глаз.Учитель показывает уравнение из второго столбца, решениями которых являются выражения из первого столбца. Если учитель показал верный ответ , учащиеся смотрят вверх, если неправильно ,то учащиеся опускают глаза.
На интерактивной доске появляется слайд.
.[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
V .Новая тема: Решение тригонометрических уравнений. Учитель называет вид уравнения, оставшегося ся на доске: sin x - cos x = 1. Какими методами еще можно решать данное уравнение?
Предлагает учащимся уравнение, которое можно решить несколькими способами, и вместе разбирает эти способы. Дети, предложившие тот или иной способ, решают задания у доски.
Поиск способов решения. В результате наблюдения и обсуждения могут быть выявлены следующие способы решения.
1 способ. ( Сведением к однородному уравнению, выразив sin x, cos x и 1 через функции половинного аргумента)
Приведение к однородному уравнению.
cos x – sin x=1,
cosІ13 EMBED Equation.3 1415– sinІ13 EMBED Equation.3 1415–2sin 13 EMBED Equation.3 1415 cos13 EMBED Equation.3 1415=sinІ 13 EMBED Equation.3 1415 + cosІ13 EMBED Equation.3 1415 ,
2sinІ13 EMBED Equation.3 1415+2sin 13 EMBED Equation.3 1415 cos13 EMBED Equation.3 1415=0.
sin13 EMBED Equation.3 1415( sin13 EMBED Equation.3 1415+ cos13 EMBED Equation.3 1415)=0.
1) sin13 EMBED Equation.3 1415=0, 2) sin13 EMBED Equation.3 1415+ cos13 EMBED Equation.3 1415=0,
13 EMBED Equation.3 1415=
·k, kZ. tg13 EMBED Equation.3 1415= –1,
x=2
·k, kZ. 13 EMBED Equation.3 1415= – 13 EMBED Equation.3 1415 +
·n, nZ,
x= – 13 EMBED Equation.3 1415+2
·n, nZ.
Ответ: x1=2
·k, kZ. X2= – 13 EMBED Equation.3 1415+2
·n, nZ.
2 способ.. 3 способ.
Разложение Введение
на множители вспомогательного угла
cos x – sin x=1, cos x – sin x=1,
(cos x – 1) - sin x = 0, 13 EMBED Equation.3 1415(cos x13 EMBED Equation.3 1415– sin x13 EMBED Equation.3 1415)=1,
(1- cos x) + sin x = 0, sin13 EMBED Equation.3 1415 cos x – cos13 EMBED Equation.3 1415 sin x=13 EMBED Equation.3 1415
2sinІ13 EMBED Equation.3 1415 + 2sin 13 EMBED Equation.3 1415 cos13 EMBED Equation.3 1415 = 0, sin(13 EMBED Equation.3 1415 – x)= 13 EMBED Equation.3 1415.
sin13 EMBED Equation.3 1415( sin13 EMBED Equation.3 1415+ cos13 EMBED Equation.3 1415) = 0. sin(x-13 EMBED Equation.3 1415)= -13 EMBED Equation.3 1415.
1) sin13 EMBED Equation.3 1415=0, 2) sin13 EMBED Equation.3 1415+ cos13 EMBED Equation.3 1415=0, х=(-1)к+1 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415+
·k, kZ
13 EMBED Equation.3 1415=
·k, kZ. tg13 EMBED Equation.3 1415= –1, Ответ: х=(-1)к+1 13 EMBED Equation.3 1415+ 13 EMBED Equation.3 1415+
·k, kZ
x=2
·k, kZ. 13 EMBED Equation.3 1415= – 13 EMBED Equation.3 1415 +
·n, nZ,
x= – 13 EMBED Equation.3 1415+2
·n, nZ.
Ответ: x1=2
·k, kZ. X2= – 13 EMBED Equation.3 1415+2
·n, nZ.
VI. Домашнее задание: Учащиеся выбирают уровень А или В, и решают уравнения, которые можно решить несколькими способами..
УРОВЕНЬ А.
Решите уравнение:
а) 1 + sin x = 0;
б) 3cos x – 2sin2 x = 0.
в) 13 EMBED Equation.3 1415;
г) sin 4x + sin 2x = 0.
УРОВЕНЬ В
Решите уравнение:
а) 13 EMBED Equation.3 1415;
б) sin 4x – sin 2x = 0.
в) 2sin xcos x = cos 2x – 2sin2 x;
г) 2sin2 x – 3sin 2x – 4cos 2x = 4
д) sin x + 4 cos x = 1,
VII. Итог урока: Итак, подведем итоги. Сегодня мы повторили способы решения тригонометрических уравнений, вспомнили формулы , решали тригонометрические уравнения разными способами и поняли, что при решении разными способами необязательно получаются одинаковые ответы.
Далее учитель отмечает хорошую работу одних учащихся, недостаточную активность других. Выставляются оценки.
В конце урока можно дать ребятам небольшую анкету, которая позволяет осуществить самоанализ, дать качественную и количественную оценку уроку. Некоторые пункты можно варьировать, дополнять, это зависит от того, на какие элементы урока обращается особое внимание. Можно попросить учащихся аргументировать свой ответ.
1.На уроке я работал 2.Своей работой на уроке я 3.Урок для меня показался 4. Материал урока мне был 5.Домашнее задание мне кажется
активно / пассивно доволен / не доволен коротким / длинным понятен / не понятен интересен / скучен легким / трудным
Северо-Казахстанская область
Акжарский район
С..Ленинградское
Ул. Сейфуллина №18 кв.2
Охрименко Нина Михайловна
Учитель математики 1 категории Ленинградской средней школы №1
Педстаж - 32 года
87154631168 номер телефона
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Root Entry