ПРИЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ В СТЕРЕОМЕТРИИ

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 28
ПРИЛОЖЕНИЕ ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

Цель:
- сформировать навыки вычисления векторного произведения векторов;
- закрепить знания о способах вычисления определителей второго и третьего порядка;
- развить умение применения векторного произведения к вычислению площади параллелограмма и момента силы;
Материально – техническое обеспечение: методические указания по выполнению работы;
Время выполнения: 2 академических часа;
Ход занятия:
Изучить краткие теоретические сведения;
Выполнить задания;
Сделать вывод по работе;
Подготовить защиту работы по контрольным вопросам.
Краткие теоретические сведения:
Векторное произведение двух векторов a=х1;у1;z1и b=х2;у2;z2 вычисляется как определитель третьего порядка методом разложения по элементам первой строки:
a×b=ijkx1y1z1x2y2z2=iy1z1y2z2-jx1z1x2z2+kx1y1x2y2 1;Пример 1. Найти векторное произведение векторов a=2i+4j+3k и b=3i+J+2k.Решение. 1. Определим координаты векторов: a=2;4;3и b=3;1;2.
2. Найдём векторное произведение двух векторов по формуле (1), подставив в неё соответствующие координаты:
a×b=ijk243312=i4312-j2332+k2431=8-3i-4-9j+2-12k=5i+5j-10k.
Итак, векторное произведение двух векторов a×b=5i+5j-10k.
Пример 2. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах
c=3i+5j+4k и d=i+2J+3k.Решение. Площадь параллелограмма, построенного на векторах
c=х1;у1;z1 и d=х2;у2;z2, равна модулю векторного произведения этих векторов, т.е. S=c×d.
1. Определим координаты векторов: c=3;5;4 и d=1;2;3.
2. Вычислим векторное произведение двух векторов по формуле (1), подставив в неё соответствующие координаты:
c×d=ijk354123=i5423-j3413+k3512=15-8i-9-4j+6-5k=7i-5j+k.
3. Найдём площадь параллелограмма как модуль векторного произведения:
S=c×d=72+(-5)2+12=75=53 кв.ед.
Пример 3. Найти момент силы m0F относительно начала координат и углы, составляемые моментом с координатными осями, если F=(2;3;-1)и точка её приложения А(-1;-1;3).
Решение. Пусть F- сила, действующая на тело, а r – радиус-вектор точки её приложения, имеющий начало в точке О, тогда момент силы F относительно точки О есть вектор, равный векторному произведению r на F, т.е. m0F=r×F.
1. Вектор силы F направлен из начала координат в точку А, значит, радиус-вектор точки её приложения имеет те же координаты, что и сама точка А:
r=-1;-1;3.2. Найдём момент силы m0F как векторное произведение радиус-вектора r=-1;-1;3 точки приложения силы на силу F=2;3;-1: m0F=r×F=ijk-1-1323-1=i-133-1-j-132-1+k-1-123=1-9i-1-6j+-3+2k=-8i+5j-k.Итак, момент силы m0F=-8i+5j-k.3. Вычислим модуль момента: m0F=-82+52+(-1)2=90.4. Определим углы, составляемые моментом силы с координатными осями:
с осью ОХ : cosα=хm0F=-890; α=arccos(-890)=147°5!с осью ОY : cosβ=ym0F=590; β=arccos590=58°2!с осью ОZ : cosγ=zm0F=-190; γ=arccos(-190)=96°Итак, углы, составляемые моментом силы с координатными осями, равны
α=147°5!, β=58°2!, γ=96°.Задания для самостоятельного выполнения:
Найти векторное произведение векторов a×b .
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах c и d.Найти момент силы m0F относительно начала координат и углы, составляемые моментом с координатными осями .
Вариант 1.
1. a=-3i+4j+2k и b=4i+5J-7k.2. c=4i-j+6k и d=-2i+9J+5k.3. F=(5;-3;2) и A(9;-1;4).
Вариант 2.
1. a=-5i+j-3k и b=2i-3J+4k.2. c=-2i-4j+7k и d=7i+9J-3k.3. F=(-4;3;-1) и A(-2;3;5).
Вариант 3.
1. a=2i-3j+k и b=-i-2J+6k.2. c=8i+2j-5k и d=4i+7J-k.3. F=(-1;2;-7) и A(-8;-2;3).
Вариант 4.
1. a=-7i+j+k и b=3i+4J-k.2. c=8i+2j-5k и d=4i+7J-k.3. F=(1;-5;2) и A(4;-1;2).
Вариант 5.
1. a=3i-2j+2k и b=-5i+J-3k.2. c=-2i+j-4k и d=i+6J+k.3. F=(3;-1;4) и A(2;4;-1).
Вариант 6.
1. a=-5i+3j-4k и b=2i-6J+8k.2. c=-2i+j-4k и d=i+9J+k.3. F=(-2;-5;3) и A(-3;-1;4).
Вариант 7.
1. a=-4i+3j-7k и b=5i-6J+2k.2. c=-3i+8j-k и d=2i+J-k.3. F=(-9;4;3) и A(-6;-2;4).
Вариант 8.
1. a=7i+4j-k и b=5i-3J+2k.2. c=i+3j-2k и d=5i+J-3k.3. F=(-8;3;1) и A(5;9;2).
Вариант 9.
1. a=-3i+5j-k и b=7i-J+9k.2. c=i-j-6k и d=3i+2J-k.3. F=(-1;-8;0) и A(-3;5;8).
Вариант 10.
1. a=4i+j-6k и b=5i-6J+2k.2. c=i+5j-3k и d=2i+3J-2k.3. F=(-5;2;1) и A(1;6;0).
Вариант 11.
1. a=i+6 j-3k и b=9i-4J+k.2. c=4i+8j-2k и d=2i+9J+7k.3. F=(0;9;-1) и A(5;0;10).
Вариант 12.
1. a=12i+2j-3k и b=9i-8J+7k.2. c=2i+3j-5k и d=2i-7J-3k.3. F=(4;-2;9) и A(8;4;0).
Вариант 13.
1. a=5i-4j+7k и b=9i+2J+4k.2. c=9i+j-2k и d=7i+8J+3k.3. F=(1;0;1) и A(-1;-9;5).
Вариант 14.
1. a=7i-8j-5k и b=5i+3J+6k.2. c=5i+2j-9k и d=3i-4J-8k.3. F=(-2;-7;0) и A(2;-3;0).
Вариант 15.
1. a=3i-2j-k и b=3i+2J-4k.2. c=4i+2j-8k и d=-i+2J-2k.3. F=(-4;-2;6) и A(-5;0;3).
Вопросы для самоконтроля:
Дать определение векторному произведению векторов.
Запишите формулу его вычисления.
Как найти площадь параллелограмма и треугольника, построенного на данных векторах?
Как найти момент силы, направленной из начала координат в заданную точку?